算法、框圖、復(fù)數(shù)、推理與證明11-3推理與證明-在線瀏覽
2025-07-17 03:42本頁面
【正文】 從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)，是一種執(zhí)果索因的方法． ? 分析法的特點(diǎn)是：從 “ 未知 ” 看需知，逐步靠攏 “ 已知 ” ，其每步推理都是尋求使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸納為判定一個明顯成立的條件為止． ? 綜合法的特點(diǎn)是：從 “ 已知 ” 看 “ 可知 ” ，逐步推向 “ 未知 ” ，其每步推理都是尋找使每一步結(jié)論成立的必要條件． ? 5． 反證法 ? 一般地，由證明 p?q，轉(zhuǎn)向證明172。q?r?? ?t，而 t與已知矛盾或與某個真命題矛盾，從而判定 172。 ＋ sin265176。 ＝32. sin230176。 ＋ sin21 50176。 ＋ sin2105176。 ＝32. 歸納猜想出一個一般性命題，并給出證明． 解析： 一般性的命題為： sin2α ＋ sin2( 60176。 ＋ α ) ＝32. 證明如下： 左邊＝1 － c os2 α2＋1 － c os ( 120176。 ＋ 2 α )2 ＝32－12[ c os2 α ＋ c os( 120176。 ＋ 2 α )] ＝32－12[ c os2 α ＋ c os120176。 sin2 α ＋c os240176。 s in2 α ] ＝32＝右邊． 所以命題得證． 在 △ ABC 中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立， 在四邊形 AB CD 中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立， 在五邊形 AB CDE 中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，猜想在 n 邊形 A1A2? An中，有怎樣的不等式成立？ 解析： 根據(jù)已知特殊的數(shù)值：9π，162π，253π， ? ，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：n2( n － 2 ) π( n ≥ 3) ． ∴ 在 n 邊形 A1A2? An中：1A1＋1A2＋ ? ＋1An≥n2( n － 2 ) π( n ≥ 3) ． ? 點(diǎn)評： 歸納出的一般性結(jié)論，要能使已知的結(jié)論為其特殊情形 . ? [例 3] (文 )在平面幾何里，有勾股定理：“ 設(shè)△ ABC的兩邊 AB， AC互相垂直，則AB2＋ AC2＝ BC2.” 拓展到空間，類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是： “ 設(shè)三棱錐 A－ BCD的三個側(cè)面 ABC、 ACD、 ADB兩兩相互垂直，則 ________． ” 解析： 設(shè) AB ＝ a ， AC ＝ b ， AD ＝ c . ∵ 三個側(cè)面 ABC 、 ACD 、 AD B 兩兩垂直， ∴ AB 、 AC 、 AD 兩兩垂直． ∴ S △ABC2＋ S △A C D2＋ S △A D B2＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE ⊥ DC 于 E ，連接 AE ，則 CD ⊥ AE . 在 Rt △ CAD 中， AE ＝bcb2＋ c2. 在 Rt △ BAE 中， BE ＝ a2＋b2c2b2＋ c2＝a2b2＋ a2c2＋ b2c2b2＋ c2. ∴ S △B C D＝12DC a2b2＋ a2c2＋ b2c2b2＋ c2. ∴ S △B C D2＝14( a2b2＋ b2c2＋ a2c2) ． 即 S △B C D2＝ S △A B C2＋ S △A C D2＋ S △A D B2. ? 答案： S△ ABC2＋ S△ ACD2＋ S△ ADB2＝ S△ BCD2 ? (理 )如圖 (1)，過四面體 V－ ABC的底面內(nèi)任一點(diǎn) O分別作 OA1∥ VA， OB1∥ VB，OC1∥ VC， A1， B1， C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn)． 求證：OA 1VA＋OB 1V B＋OC 1VC為定值． 分析： 考慮平面上的類似命題： “ 過 △ ABC 底邊 AB上任一點(diǎn) O 分別作 OA1∥ AC ， OB1∥ BC ，分別交 BC ， AC于 A1， B1，求證OA1AC＋OB1BC為定值 ” ． 這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值 1. 另外，過 A ， O 分別作 BC垂線，過 B ， O 分別作 AC 垂線，則用面積法也不難證明定值為 1. 于是類比到空間圖形，也可用兩種方法證明其定值為 1. ? 證明： 如圖 (2)，設(shè)平面 OA1VA∩BC＝ M，平面 OB1VB∩AC＝ N，平面 OC1VC∩AB＝ L，則有△ MOA1∽ △ MAV，△ NOB1∽ △ NBV，△ LOC1∽ △ OA1VA＋OB1VB＋OC1VC＝OMAM＋ONBN＋OLCL. 在底面 △ ABC 中，由于 AM ， BN ， CL 交于一點(diǎn) O ， ∴OMAM＋ONBN＋OLCL＝S △OB CS △ABC＋S △OA CS △ABC＋S △OA BS △ABC＝S △ABCS △ABC＝ 1. ∴OA1VA＋OB1VB＋OC1VC為定值 1. ? 點(diǎn)評： (1)用現(xiàn)代的眼光看，類比就是兩個同構(gòu)關(guān)系的模型間的推理，模型間的同構(gòu)關(guān)系，即它們結(jié)構(gòu)或功能上存在的某種對應(yīng)性(相似性 )，它是進(jìn)行類比推理的依據(jù)． ? (2)本例中的三角形與四面體就是平面與空間中的兩個常見具有同構(gòu)關(guān)系的模型，因而四面體中的很多性質(zhì)及證明方法都可以通過三角形中的性質(zhì)及證明方法類比得到． ? (3)數(shù)學(xué)中其他一些常見的具有同構(gòu)關(guān)系的模型有：等式與不等式、分?jǐn)?shù)與分式、橢圓與雙曲線、
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