【正文】 照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。設(shè)在一個(gè) M 進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是 s1， s2， … ， si， … ， sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能量相等。 ? 判決準(zhǔn)則 當(dāng)發(fā)送碼元為“ 0‖，波形為 so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 當(dāng)發(fā)送碼元為“ 1‖，波形為 s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡化，得到： ? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTkn20 000 )()(1e x p21)(??r? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTkn20 101)()(1e x p21)(??r17 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 若 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)；若 則判為發(fā)送碼元是 s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即 所以上式還可以進(jìn)一步簡化。 W0和 W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子。 ?由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。因此，在發(fā)送碼元為 s1(t)時(shí)，若上式成立，則將發(fā)生錯(cuò)誤判決。此條件概率的計(jì)算結(jié)果如下 ? ? ? ?? ? ????? s sT T dttstrPndttstrPn 0 0 202110 )()()0(1ln)()()1(1ln? ?????? axdxeaPP22221)()1/0( ??????23 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 式中 同理，可以求出發(fā)送 s0(t)時(shí)，判決為收到 s1(t)的條件錯(cuò)誤概率 式中 ? ?????? axdxeaPP 22221)()1/0( ??????? ??? sT dttstsPPna 0 2021 )]()([21)1( )0(ln2? ??? sT dttstsnD 0 20212 )]()([2)( ?? ?? ?????? bxdxebPP22221)()0/1( ??????? ??? ST dttstsPPnb 0 2100 )]()([21)0( )1(ln224 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 因此，總誤碼率為 ? 先驗(yàn)概率對(duì)誤碼率的影響 當(dāng)先驗(yàn)概率 P(0) = 0及 P(1) = 1時(shí)， a = ?及 b = ?，因此由上式計(jì)算出總誤碼率 Pe = 0。因此，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。 21)0(21)1()0/1()0()1/0()1(222222?????????????????????? ??????dxePdxePPPPPPbxaxe?? ???? ????25 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ?當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)： P(0) = P(1) = 1/2， a = b。差別越大， c 值越小，誤碼率 Pe也越小。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個(gè)參量，即碼元的相關(guān)系數(shù) ? ，其定義如下： 式中 E0、 E1為信號(hào)碼元的能量。所以 ? 的取值范圍在 1 ? ? ? +1。 上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對(duì)不可能超過它。 ? 碼元能量 Eb與噪聲功率譜密度 n0之比，實(shí)際上相當(dāng)于信號(hào)噪聲功率比 Ps/Pn。對(duì)于已調(diào)信號(hào)，若采用的是2PSK或 2ASK信號(hào)，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號(hào)帶寬的兩倍，即恰好是 (1/Ts) Hz。 nssssssbPPBnPTnPnTPnE ????0000 )/1(32 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 相關(guān)系數(shù) ? 對(duì)于誤碼率的影響很大。這時(shí)的誤碼率 Pe = 1/2。當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即 ? = 1時(shí)，誤碼率最小。 ? 當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) ? 等于 0時(shí)，誤碼率等于 ? 例如， 2FSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。 ??? sT dttsc 0 20 )]([21????????????????? ??00 4214121nEe r f cnEe r fP bbe34 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 多進(jìn)制通信系統(tǒng) ? 若不同碼元的信號(hào)正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計(jì)算結(jié)果如下： 式中， M － 進(jìn)制數(shù)； E － M 進(jìn)制碼元能量； n0 － 單邊噪聲功率譜密度。 ? ???????????????????????????? dyedxePyMnEyxe212/12220221211??MEE b 2lo g/?knEMnEnE b0200 l og??35 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ?誤碼率曲線 由此曲線看出，對(duì)于 給定的誤碼率，當(dāng) k 增大時(shí)，需要的信噪 比 Eb/n0減小。 Pe Eb/n0 36 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收 ? 假設(shè)： ? 2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)； ? 通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲； ? 接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的 f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件： ? ? ??s sT T bEdttsdtts0 0 121020 ),(),( ???? ? ???20 00000 )/()()( dfff rr?? ? ???20 11111 )/()()( dfff rr38 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 若接收矢量 r 使 M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“ 0‖， 若接收矢量 r 使 M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“ 1‖。 ,20200 YXM ?? ,21211 YXM ???? ST t dttrX 0 00 c o s)( ? ?? ST t d ttrY 0 00 s i n)( ??? ST t dttrX 0 11 c os)( ? ?? ST t d ttrY 0 11 s i n)( ?39 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu) 相關(guān)器 平 方 cos?0t 相 加 相關(guān)器 平 方 sin?0t 相關(guān)器 平 方 cos?1t 相 加 相關(guān)器 平 方 sin?1t 比 較 r(t) Y0 X1 Y1 X0 40 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 誤碼率： 隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率，用類似 法，可以計(jì)算出來，結(jié)果如下： ? 最后指出，上述最佳接收機(jī)及其誤碼率也就是 2FSK確知信號(hào)的非相干接收機(jī)和誤碼率。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號(hào)。 )2/e xp (21 0nEP be ??41 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收 ? 仍以 2FSK信號(hào)為例簡要地討論其最佳接收問題。 ? 2FSK信號(hào)的表示式 式中， A0和 A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )c os (),()c os (),(111111000000??????????tAAtstAAts2,1,0,2e xp)( 222 ?????????? ?? iAAAVfisisii ??42 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 式中， ?s2為信號(hào)的功率； 而且 ?0和 ?1的概率密度服從均勻分布： 此外，由于 Ai是余弦波的振幅，所以信號(hào) si(t, ?i, Ai)的功率 ?s2和其振幅 Ai的均方值之間的關(guān)系為 2,1,0,2e xp)( 222 ?????????? ?? iAAAVfisisii ??2,1,20,2/1)( ???? if ii ????22 2][ siAE ??43 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 接收矢量的概率密度 : ?由于接收矢量不但具有隨機(jī)相位，還具有隨機(jī)起伏的振幅，故此概率密度 f0(r)和 f1(r)分別可以表示為： ? ? ?? ? ???20 0000000 00 ),/()()()( ddAAffAff rr? ? ?? ? ???20 1111110 11 ),/()()()( ddAAffAff rr44 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 經(jīng)過繁復(fù)的計(jì)算，上兩式的計(jì)算結(jié)果如下： 式中 n0 － 噪聲功率譜密度； ?n2 － 噪聲功率。020??????????????? ??? )( 2e xp39。)( 2002122001sssss TnnMTnnKf???r45 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 誤碼率： 實(shí)質(zhì)上，和隨相信號(hào)最佳接收時(shí)一樣，比較 f0(r)和f1(r)仍然是比較 M02和 M12的大小。但是，這時(shí)的最佳誤碼率則不同于隨相信號(hào)的誤碼率。 )/(210nEP e ??E46 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 誤碼率曲線 由此圖看出，在有衰落時(shí)， 性能隨誤碼率下降而迅速 變壞。 47 相干 2ASK信號(hào) 非相干 2ASK信號(hào) 相干 2FSK信號(hào) 非相干 2FSK信號(hào) 相干 2PSK信號(hào) 差分相干 2DPSK信號(hào) 同步檢測 2DPSK信號(hào) 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較 4/21 re r f c 04/21 nEe r f c b? ?4/e xp21 r? ? ?04/e xp21 nE b?2/21 re r f c 02/21 nEe r f c b? ?2/e xp21 r? ? ?02/e xp21 nE b?rerfc21 0/21 nEe r f c b? ?r?exp21 ? ?0/e xp21 nE b??????? ? re r f cre r f c 211 ???????? ? 00 211 nEe r f Ee r f c bb實(shí)際接收機(jī)的 Pe 最佳接收機(jī)的 Pe 48 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法 ? 什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對(duì)接收信號(hào)濾波時(shí)，使抽樣時(shí)刻上輸出信號(hào)噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。 ? 輸出電壓 ?假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓 r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸出電壓 y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào) so(t)和輸出噪聲 no(t)兩部分，即 式中 )()()( tntsty oo ??? ???? dfefSfHts ftjo ?2)()(