數(shù)理統(tǒng)計與隨機過程ch(3)-在線瀏覽
2025-07-16 02:13本頁面
【正文】 就是樣本。 對一個總體，如果用 X表示其數(shù)量指標，那么， X的值對不同的個體就取不同的值。 所以， X是一個隨機變量 ! 既然總體是隨機變量 X，自然就有其概率分布。 總體的特性是由總體分布來刻畫的。 . 總體分布 例 3 (例 l 續(xù) )： 在例 l中，若農(nóng)戶年收入以萬元計，假定 N戶的收入 X只取以下各值 : , , , 。則 X為離散型分布，分布律為 : X 1 1 ?? p k n 1 /N n 2 /N n 3 /N n 4 /N n 5 /N 例 4 ( 例 2續(xù) )： 在例 2中，假定物體真實長度為?(未知 )。 如果測量過程沒有系統(tǒng)性誤差，則 X取大于 ? 和小于 ? 的概率也會相等。 ?2反映了測量的精度。 說明： 這里有一個問題，即物體長度的測量值總是在其真值 ? 的附近，它不可能取負值。那么，怎么可以認為測量值 X服從正態(tài)分布呢 ? 回答這個問題，有如下兩方面的理由。 X 落在 (?4?,?+4?)之外的概率就更小了。 這時 ,(?3?,?+3?)=(,)。 可見，用正態(tài)分布 N(10,)去描述測量值 X是適當?shù)?。那?, a和 b到底取什么值呢？測量者事先很難確定。與其這樣，還不如干脆就把取值區(qū)間放大到 (∞ ,∞ ),并用正態(tài)分布來描述測量值。 (2).另外，正態(tài)分布取值范圍是 (∞ ,∞ )， 這樣 還可以解決規(guī)定測量值取值范圍上的困難。有限總體的分布顯 然是離散型的，如例 3。限總體的分布可以 是連續(xù)型的，如例 4；也可是離散型的。因為其分布是離散型的，且分布律與總體中所含個體數(shù)量有關(guān)系。 例 5： 研究某大城市年齡在 1歲到 10歲之間兒童的身高。因此，該總體 X只能是有限總體。 然而，為便于處理問題，我們將有限總體近似地看成一個無限總體，并用正態(tài)分布來逼近這個總體的分布。 樣本的二重性 ● 假設(shè) X1, X2, ? , Xn 是總體 X中的樣本，在一 次具體的觀測或試驗中，它們是一批測量值 , 是已經(jīng)取到的一組數(shù)。 ● 由于在具體試驗或觀測中，受各種隨機因素 的影響，在不同試驗或觀測中，樣本取值可 能不同。因此，可將樣本看成隨 機變量。 樣本 X1,X2,? ,Xn既被看成數(shù)值，又被看成隨機變量，這就是所謂的樣本的二重性。 將上述結(jié)論推廣到一般的分布 :如果在相同條件下對總體 X 進行 n 次重復、獨立觀測，就可以認為所獲得的樣本 X1,X2,? ,Xn是 n 個獨立且與總體 X 有同樣分布的隨機變量。 既然樣本 X1,X2,? ,Xn 被看作隨機向量 ,自然需要研究其聯(lián)合分布。 統(tǒng)計量 這種 不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量。 167。 定理 1： 設(shè) X1,X2,?,Xn是來自均值為 ? ,方差為 ?2 的總體的樣本，則當 n 充分大時 , 近似地有 ? ? . / , 2 nNX ??～抽樣分布定理 證明： 因 X1,X2,? ,Xn是來自均值為 ? ，方差為 ?2 的 總體的樣本 。 據(jù)中心極限定理，有 對充分大的 n，近似地有 ).1,0( / 1 NnXnnXnii～近似即????????? ? . / , 2 nNX ??～● 樣本均值分布函數(shù)的近似計算 定理應(yīng)用 , ),1,0( / RaNnX ??? 所以近似～因???????? ????????nanXPaXP//}{ ????./ ?????? ???na??總有 ● 樣本均值與 ? 的偏差在一定范圍內(nèi)的概率的 近似計算 ? ? ///?????? ???????ncnXncPcXP?????? ? ? ?? ? .1/ 2/ / ???????????從上式可以看出： 對給定的 ?2和給定的 c0， 當樣本大小 n 增大時，上面的概率也隨之增大； n 趨于無窮時，上式趨近于 1。 但實際灌裝量總有一定波動 。 求 這 25 瓶洗凈劑的平均灌裝量與標定值 ? 相差不超過 ；又如果每箱裝 50瓶時呢 ? 解： 記一箱中 2
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