小波變換課件ch1小波分析及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用-在線瀏覽
2025-07-13 03:55本頁(yè)面
【正文】 間 ? 如果 將 Euclidean空間中的內(nèi)積定義具體化為 則稱以滿足 的 f(x)為元素的線性空間為 平方可積空間 ，記為 。 ????????nnn dcd,c222|| || nnc? ? ??c)(2 Zl西北大學(xué)信息學(xué)院 Schwartz（施瓦茨 ）不等式 證明：過(guò)程見(jiàn) p3. 用到的理論： 內(nèi)積的性質(zhì) 判別式的性質(zhì) ,f g f g? ? ?西北大學(xué)信息學(xué)院 絕對(duì)可積空間與絕對(duì)可和空間 ? 若定義 則稱以滿足 ∞ 的 f 為元素的線性空間為 絕對(duì)可積空間 ，記為 。 ? 平方可積不一定絕對(duì)可積 例：考察函數(shù) 1|| || | |f f d x?? ?1f)(1 ?L211)(xxf??221| ( ) |1f x d x d xx ???? ? ? ?????? ???????dxx 211)(2 RLf ? )(1 RLf ?西北大學(xué)信息學(xué)院 L2(R)空間的基函數(shù) 正交基 ? 信號(hào)的分解與重構(gòu) f(x) 分解 ??? nn efc ,重構(gòu) ??nnn xecxf )(~)(信號(hào) 分解系數(shù) 基函數(shù)的對(duì)偶 完全重構(gòu) 西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 如果 則重構(gòu)公式為 當(dāng)下式成立時(shí)， 上面的重構(gòu)公式成立。 ? 一個(gè)完備的正交歸一化函數(shù)系稱為 正交歸一化基 。 A、 B分別稱為框架的下界和上界。 2( ) ( )f x L R?2 2 222 , nnA f f B f?? ? ? ?????? BA0}{ n?}{ n?西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 設(shè) 為框架，其界為 A和 B。 由 定義的 對(duì)偶框架 滿足 ? 框架一般不是線性無(wú)關(guān)的，其對(duì)偶也不唯一。式中 0A≤B， A、B分別稱為 Riesz下界和上界 。 { ( )}n x?{ ( )}n x?2}{ ??nc????222n n n nn{ } ( x ) { } A c c B c西北大學(xué)信息學(xué)院 連續(xù) Fourier變換與 Fourier級(jí)數(shù) ? 若函數(shù) ，則稱 為 的 Fourier變換 （ FT） 。 2 /x x T??0 39。) jxkkf x c e ??? ? ?? ?0239。) 39。 ? 對(duì)于 SFT, 如下 逆變換 成立： Znf n ?,????Znjnn eff?? )(?{}nf1 ? ()2jnnf f e d?????? ?? ?西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)序列 ,稱 為它的 離散 Fourier變換 (Discrete Fourier Transform, DFT)。 0 , 1 , ... 1 }nf n N?????? ???102 1,1,0,?NnNnkjnk Nkeff ??????102?1NkNnkjkn efNf?西北大學(xué)信息學(xué)院 在過(guò)去 200年里， Fourier分析在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，但 Fourier分析也有不足： ? 用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。 ? 傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號(hào)的突變成分。 西北大學(xué)信息學(xué)院 (a) (b) (c) 對(duì) f(x)作 FT得如圖 (b)所示的振幅譜 , 從中可以看到 處存在譜峰 , 但無(wú)法知道這一頻率成分在時(shí)域信號(hào)中僅僅出現(xiàn)在 x＝ 0附近的一個(gè)短暫的時(shí)段內(nèi) . 圖 (c)所示的信號(hào)看起來(lái)與圖 (a)毫無(wú)共同之處 , 但它確有與如圖 (b)完全相同的振幅譜 . 00 0 001 /( 2 )( ) si n /( 2 ) /( 2 )1 /( 2 )xf x xx??? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ??0?缺乏時(shí)域定域性 西北大學(xué)信息學(xué)院 又例：歌聲信號(hào) 歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù) ， 其傅立葉變換就是將這個(gè)波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂(lè)譜 。 西北大學(xué)信息學(xué)院 其他實(shí)際問(wèn)題： ? 對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波； ? 圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理
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