【正文】 an＋ 1}為等比數(shù)列，公比 q＝ 3， 又 a1＋ 1＝ 2， ∴ an＋ 1＝ 23n－ 1－ 1. (2)∵ an＝ n－ 1n an－ 1(n≥ 2)， ∴ an－ 1＝ n－ 2n－ 1an－ 2， ? ， a2＝ (n－ 1)個(gè)式子相乘得 an＝ a123n－ 1n ＝ a1n ＝ 1n. (3)∵ an＋ 1－ an＝ 3n＋ 2， ∴ an－ an－ 1＝ 3n－ 1(n≥ 2)， ∴ an＝ (an－ an－ 1)＋ (an－ 1－ an－ 2)＋ ? ＋ (a2－ a1)＋ a1＝ n?3n＋ 1?2 (n≥ 2)．當(dāng) n＝ 1 時(shí)，a1＝ 12 (3 1＋ 1)＝ 2 符合公式， ∴ an＝ 32n2＋ n2. 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解．當(dāng)出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ m 時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn) an＝ xan－ 1＋ y 時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) anan－ 1＝ f(n)時(shí)，用累乘法求解． 【訓(xùn)練 3】 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列 {an}的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式． (1)a1＝ 1， an＝ an－ 1＋ 3n－ 1(n≥ 2)； (2)a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ ln??? ???1＋ 1n . 解 (1)∵ an＝ an－ 1＋ 3n－ 1(n≥ 2)， ∴ an－ 1＝ an－ 2＋ 3n－ 2， an－ 2＝ an－ 3＋ 3n－ 3， ? a2＝ a1＋ 31， 以上 (n－ 1)個(gè)式子相加得 an＝ a1＋ 31＋ 32＋ ? ＋ 3n－ 1＝ 1＋ 3＋ 32＋ ? ＋ 3n－ 1＝ 3n－ 12 . (2)∵ an＋ 1＝ an＋ ln??? ???1＋ 1n ， ∴ an＋ 1－ an＝ ln??? ???1＋ 1n ＝ lnn＋ 1n ， ∴ an－ an－ 1＝ ln nn－ 1， an－ 1－ an－ 2＝ lnn－ 1n－ 2， ? a2－ a1＝ ln21， 以上 (n－ 1)個(gè)式相加得 ， ∴ an－ a1＝ ln nn－ 1＋ lnn－ 1n－ 2＋ ? ＋ ln21＝ ln n． 又 a1＝ 2， ∴ an＝ ln n＋ 2. 考向四 數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【例 4】 ?已知數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an＝ (n＋ 1)??? ???1011 n(n∈ N＋ )，試問(wèn)該數(shù)列 {an}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由． [審題視點(diǎn) ] 作 差： an＋ 1－ an，再分情況討論． 解 ∵ an＋ 1－ an＝ (n＋ 2)??? ???1011 n＋ 1－ (n＋ 1)??? ???1011 n＝ ??? ???1011 n9－ n11 . 當(dāng) n＜ 9 時(shí)， an＋ 1－ an＞ 0，即 an＋ 1＞ an； 當(dāng) n＝ 9 時(shí)， an＋ 1－ an＝ 0，即 an＋ 1＝ an； 當(dāng) n＞ 9 時(shí)， an＋ 1－ an＜ 0，即 an＋ 1＜ an； 故 a1＜ a2＜ a3＜ ? ＜ a9＝ a10＞ a11＞ a12＞ ? ，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)為第 9,10 項(xiàng)． (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的思想方法來(lái)解決． (2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用 ① 作差法， ② 作商法， ③結(jié)合函數(shù)圖象等方法． 【訓(xùn)練 4】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝－ n2＋ 24n(n∈ N*)． (1)求 {an}的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng) n 為何值時(shí)， Sn 達(dá)到最大？最大值是多少？ 解 (1)n＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ 23. n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝－ n2＋ 24n＋ (n－ 1)2－ 24(n－ 1)＝－ 2n＋ ， a1＝23 符合 an＝－ 2n＋ 25， ∴ an＝－ 2n＋ 25(n∈ N*)． (2)法一 ∵ Sn＝－ n2＋ 24n， ∴ n＝ 12 時(shí)， Sn 最大且 Sn＝ 144. 法二 ∵ an＝－ 2n＋ 25， ∴ an＝－ 2n＋ 25＞ 0，有 n＜ 252 .∴ a12＞ 0， a13＜ 0， 故 S12最大，最大值為 144. 難點(diǎn)突破 13—— 數(shù)列中最值問(wèn)題的求解 從近幾年新課標(biāo)高考可以看出，對(duì)求數(shù)列中的最大項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)，一般難度較大．解決這類問(wèn)題時(shí)，要利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的最值，但要注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同，其自變量的取值是不連續(xù)的，只能取正整數(shù)，所以在求數(shù)列中的最大 (小 )項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的，故不應(yīng)漏掉等號(hào)． 【示例 1】 ? (2020浙江 )若數(shù)列 ????? ?????n?n＋ 4???? ???23 n 中的最大項(xiàng)是第 k項(xiàng)，則 k＝ ________. 第 2 講 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 【高考會(huì)這樣考】 1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問(wèn)題． 2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前 n 項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式等． 2． 掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法． 基礎(chǔ)梳理 1．等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 同一個(gè)常數(shù) ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差 ，通常用字母 d 表示． 2． 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)是 a1，公差是 d，則其通項(xiàng)公式為 an＝ a1＋ (n－ 1)d. 3． 等差中項(xiàng) 如果 A＝ a＋ b2 ，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)． 4． 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣 ： an＝ am＋ (n－ m)d(n， m∈ N*)． (2)若 {an}為等差數(shù)列，且 m＋ n＝ p＋ q， 則 am＋ an＝ ap＋ aq(m， n， p， q∈ N*)． (3)若 {an}是等差數(shù)列，公差為 d，則 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， ? (k， m∈ N*)是公差為 md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， ? 也是等差數(shù)列． (5)S2n－ 1＝ (2n－ 1)an. (6)若 n 為偶數(shù)，則 S 偶 － S 奇 ＝ nd2 ； 若 n 為奇數(shù)，則 S 奇 － S 偶 ＝ a 中 (中間項(xiàng) )． 5． 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 若已知首項(xiàng) a1 和末項(xiàng) an，則 Sn＝ n?a1＋ an?2 ，或等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)是 a1，公差是 d，則其前 n 項(xiàng)和公式為 Sn＝ na1＋ n?n－ 1?2 d. 6． 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝ d2n2＋ ??? ???a1－ d2 n，數(shù)列 {an}是等差數(shù)列的充要條件是 Sn＝ An2＋ Bn(A， B為常數(shù) )． 7． 最值問(wèn)題 在等差數(shù)列 {an}中， a1＞ 0， d＜ 0，則 Sn 存在 最大值 ，若 a1＜ 0， d＞ 0，則 Sn 存在 最小值． 一個(gè)推導(dǎo) 利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式： Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ ? ＋ an， ① Sn＝ an＋ an－ 1＋ ? ＋ a1， ② ① ＋ ② 得： Sn＝ n?a1＋ an?2 . 兩個(gè)技巧 已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元． (1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為 ? ， a－ 2d， a－ d， a， a＋ d， a＋ 2d， ? . (2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為 ? ， a－ 3d， a－ d， a＋ d， a＋3d， ? ，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元． 四種方法 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：對(duì)于 n≥ 2 的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 an－ an－ 1為同一常數(shù)； (2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證 2an－ 1＝ an＋ an－ 2(n≥ 3， n∈ N*)都成立； (3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 an＝ pn＋ q； (4)前 n 項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證 Sn＝ An2＋ Bn. 注 后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列． 雙基自測(cè) 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )已知 {an}為等差數(shù)列， a2＋ a8＝ 12，則 a5等于 ( )． A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 解析 a2＋ a8＝ 2a5， ∴ a5＝ 6. 答案 C 2．設(shè)數(shù)列 {an}是等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a6＝ 2 且 S5＝ 30，則 S8等于 ( )． A． 31 B． 32 C． 33 D． 34 解析 由已知可得 ??? a1＋ 5d＝ 2，5a1＋ 10d＝ 30，解得????? a1＝ 263，d＝－ 43. ∴ S8＝ 8a1＋ 8 72 d＝ 32. 答案 B 3． (2020杭州質(zhì)檢 )設(shè) Sn 是等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，已知 a2＝ 3， a6＝ 11，則S7等于 ( )． A． 13 B． 35 C． 49 D． 63 解析 ∵ a1＋ a7＝ a2＋ a6＝ 3＋ 11＝ 14， ∴ S7＝ 7?a1＋ a7?2 ＝ 49. 答案 C 5．在等差數(shù)列 {an}中， a3＝ 7， a5＝ a2＋ 6，則 a6＝ ________. 解析 設(shè)公差為 d. 則 a5－ a2＝ 3d＝ 6， ∴ a6＝ a3＋ 3d＝ 7＋ 6＝ 13. 答案 13 考向一 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 【例 1】 ?(2020湖北 )《九章算術(shù)》 “ 竹九節(jié) ” 問(wèn)題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面 4 節(jié)的容積共 3 升，下面 3 節(jié)的容積共 4升，則第 5 節(jié)的容積為 ________升． 解析 設(shè)竹子從上到下的容積依次為 a1， a2， ? ， a9，由題意可得 a1＋ a2＋ a3＋a4＝ 3， a7＋ a8＋ a9＝ 4，設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，則有 4a1＋ 6d＝ 3① ， 3a1＋21d＝ 4② ，由 ①② 可得 d＝ 766， a1＝ 1322，所以 a5＝ a1＋ 4d＝ 1322＋ 4 766＝ 6766. 答案 6766 考向二 等差數(shù)列的判定或證明 【例 2】 ?已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn 且滿足 an＋ 2SnSn－ 1， ∴ Sn－ 1－ Sn＝ 2Sn??? ???－ 53 ＝－ 56n2＋ 1256 n ＝－ 56??? ???n－ 252 2＋ 3 12524 . ∵ n∈ N*， ∴ 當(dāng) n＝ 12 或 13 時(shí)， Sn有最大值， 且最大值為 S12＝ S13＝ 130. 法三 同法一得 d＝－ 53. 又由 S10＝ S15，得 a11＋ a12＋ a13＋ a14＋ a15＝ 0. ∴ 5a13＝ 0，即 a13＝ 0. ∴ 當(dāng) n＝ 12 或 13 時(shí)， Sn 有最大值， 且最大值為 S12＝ S13＝ 130. 考向四 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【例 4】 ?設(shè)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知前 6 項(xiàng)和為 36， Sn＝ 324，最后 6 項(xiàng)的和為 180(n＞ 6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n. [審題視點(diǎn) ] 在等差數(shù)列 {an}中，若 m＋ n＝ p＋ q，則 am＋ an＝ ap＋ aq(m， n， p，q∈ N*)用此性質(zhì)可優(yōu)化解題過(guò)程． 解 由題意可知 a1＋ a2＋ ? ＋ a6＝ 36① an＋ an－ 1＋ an－ 2＋ ? ＋ an－ 5＝ 180② ① ＋ ② 得 (a1＋ an)＋ (a2＋ an－ 1)＋ ? ＋ (a6＋ an－ 5)＝ 6(a1＋ an)＝ 216. ∴ a1＋ an＝ Sn＝ n?a1＋ an?2 ＝ 324， ∴ 18n＝ 324. ∴ n＝ 18. 本題的解題關(guān)鍵是將性 質(zhì) m＋ n＝ p＋ q? am＋ an＝ ap＋ aq與前 n 項(xiàng)和公式 Sn＝ n?a1＋ an?2 結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過(guò)程． 【訓(xùn)練 4】 (1)設(shè)數(shù)列 {an}的首項(xiàng) a1＝－ 7，且滿足 an＋ 1＝ an＋ 2(n∈ N＋ )，則 a1＋a2＋ ? ＋ a17＝ ________. (2)等差數(shù)列 {an}中， a1＋ a2＋ a3＝－ 24， a18＋ a19＋ a20＝ 78，則此數(shù)列前 20 項(xiàng)和等于 ________． 解析 (1)∵ an＋ 1－ an＝ 2， ∴ {an}為等差數(shù)列． ∴ an＝－ 7＋ (n－ 1)安徽改編 )已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ 2n2＋ 2n，數(shù)列 {bn}的前n 項(xiàng)和 Tn＝ 2－ {an}與 {bn}的通項(xiàng)公式． 錯(cuò)因 求 an、 bn 時(shí)均未驗(yàn)證 n＝ 1. 實(shí)錄 ∵ an＝ Sn－ Sn－ 1， ∴ an