【正文】 發(fā)送給用戶。這些數(shù)據(jù)將會被傳輸?shù)揭粋€控制中心 ,也會在各個節(jié)點(diǎn)之間傳輸，在這種分布式傳感網(wǎng)絡(luò)中，數(shù)據(jù)傳輸功耗和帶寬需求非常大，所以，如何對這樣的分布式信號進(jìn)行壓縮，從而減小通信開銷已經(jīng)成為非常緊迫的需求。 在該理論框架下，采樣速率不決定于信號的帶寬，而決定于信息在信號中的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。s， Romberg ， Tao 和 Donoho 等人構(gòu)造了具體的算法并且通過研究表明了這一理論的巨大應(yīng)用前景。 多尺度幾何分析是繼小波分析后的新一代信號分析工具，它具有多分辨、局部化和多方向性等優(yōu)良特性，更適合于處理圖像等高維信號。顯然，在壓縮感知理論中，圖像 /信號的采樣和壓縮同時以低速率進(jìn)行，使傳感器的 7 采樣和計算成本大大降低，而信號的恢復(fù)過程是一個優(yōu)化計算的過程。 由于從理論上講任何信號都具有可壓縮性，只能找到其相應(yīng)的稀疏表示空間，就可以有效地進(jìn)行壓縮采樣，這一理論必將給信號采樣方法帶來一次新的革命。數(shù)據(jù)壓縮的對象很廣泛，可以是通信時間、傳輸帶寬、存儲空間甚至發(fā)射能量。 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)壓縮技術(shù) 前較成熟的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)有許多種，按照壓縮后對信息的失真程度 ,主要分為無損壓縮和有損壓縮。數(shù)據(jù)中間存在的一些多余成分，稱之為冗余度 。這種無損壓縮機(jī)制可以完全恢復(fù)原始數(shù)據(jù)而不引起任何失真，但是壓縮率卻受到數(shù)據(jù)統(tǒng)計冗余度的理論限制，一般為2:1 到 5:1。它的主要壓縮機(jī)制包括 Huffman 編碼、算術(shù)編碼、游程編碼和字典編碼等系列。有損壓縮廣泛應(yīng)用于語音，圖像和視頻數(shù)據(jù)的壓縮。 綜合無損壓縮和有損壓縮的優(yōu)點(diǎn)，還出現(xiàn)了第三類壓縮技術(shù)：混合壓縮。 壓縮感知理論（ Compressed/Compressive Sensing/Sampling, CS） 在傳統(tǒng)理論的指導(dǎo)下，信號主要的一些壓縮方法都要基于奈奎斯特采樣定律進(jìn)行采樣，即信息采樣速率至少為信號帶寬 的兩倍。解壓縮僅是編碼過程的逆變換。 采 樣壓 縮 傳 輸信 號 X 采 樣 數(shù) 據(jù) N 壓 縮 數(shù) 據(jù) K壓 縮 數(shù) 據(jù) K 采 樣 數(shù) 據(jù) N信 號解 壓 縮 CS 理論的信號編解碼框架和傳統(tǒng)的框架大不一樣，如圖 所示。測量值并非信號本身，而是從高維到低維的投影值，從數(shù)學(xué)角度看，每個測量值是傳統(tǒng)理論下的每個樣本信號的組合函數(shù)，即一個測量值已經(jīng)包含了所有樣本信號的少量信息。 壓縮感知的核心思想是壓縮和采樣合并進(jìn)行，并且測量值遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法的數(shù)據(jù)量，突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸，使高分辨率的信號采 集成為可能。稀疏表示是應(yīng)用壓縮感知的先驗條件，隨機(jī)測量是壓縮感知的關(guān)鍵過程，重構(gòu)算法是獲取最終結(jié)果的必要手段。 信號在某種表示方式下的稀疏性，是壓縮感知應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，經(jīng)典的稀疏化的方法有離散余弦變換（ DCT）、傅里葉變換（ FFT）、離散小波變換（ DWT）等。 這是一種全新的信號表示理論：用超完備的冗余函 數(shù)庫取代基函數(shù)，稱之為冗余字典，字典中的元素被稱為原子。目前常用的稀疏分解算法大致可分為匹配追蹤（ Matching Pursuit）和基追蹤（ Basis Pursuit）兩大類。觀測器的設(shè)計目的是如何采樣得到 M 個觀測值，并保證從中能重構(gòu)出長度為 N 的信號 X 或者稀疏基基?下等價的稀疏 系數(shù)向量。 2021 年 Candes 等研究者建立了著名的約束等距性（ RIP）理論，即要想使信號完全重構(gòu)，必須保證觀測矩陣不會把兩個不同的 K 項稀疏信號映射到同一個采樣集合中，這就要求從觀測矩陣中抽取的每 M 個列向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的。 目前常用的測量矩陣包括： （ 1）隨機(jī)高斯矩陣。 （ 2）隨機(jī)貝努利矩陣。 （ 3）部分正交矩陣。 （ 4）部分哈達(dá)瑪矩陣。 （ 5）托普利茲和循環(huán)矩陣。 （ 6）稀疏隨機(jī)矩陣。 壓縮感知的重構(gòu)算法主要分為兩大類，一是貪婪算法，它是通過選擇合適的原子并經(jīng)過一系列的逐步遞增的方法實現(xiàn)信號矢量的逼近，此類算法主要包括匹配跟蹤算法、正交匹配追蹤算法、補(bǔ)空間匹配追蹤算法等。凸優(yōu)化算法算法比貪婪算法所求的解更加精確，但是需要更高的計算復(fù)雜度。但是，迭代閾值法對于迭代初值和閾值的選取均較敏感，且不能保證求出的解是稀疏的。 目前，上述理論已經(jīng)應(yīng)用到各個領(lǐng)域，如傳感 網(wǎng)、頻譜感知、雷達(dá)、醫(yī)學(xué)信號處理、信道預(yù)測等方面 ,取得了很好的效果。 無線傳感器網(wǎng)絡(luò) 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)是計算、通信和傳感器這三項技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，一開始在軍事應(yīng)用中收集數(shù)據(jù)，對戰(zhàn)場情況和威脅及其重要程度進(jìn)行適時的完整評價，后發(fā)展到民事運(yùn)用，如監(jiān)控大型設(shè)備，災(zāi)區(qū)臨時通信，衛(wèi)生保健等等。每一個傳感器節(jié)點(diǎn)由數(shù)據(jù)采集模塊（傳感器、 A/D 轉(zhuǎn)換器）、數(shù)據(jù)處理和控制模塊（微處理器、存儲器）、通信模塊（無線收發(fā)器）和供電模塊（電池、 DC/DC 能量轉(zhuǎn)換器等）組成，如圖 13 所示。 根據(jù)節(jié)點(diǎn)在傳感網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)體系中所起作用的不同，節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中可以充當(dāng)數(shù)據(jù)采集者、數(shù)據(jù)處理中轉(zhuǎn)站或簇頭節(jié)點(diǎn)幾 種角色： （ 1）數(shù)據(jù)采集者，這類節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)采集模塊專門采集周圍的環(huán)境數(shù)據(jù)（如溫度、壓力），然后通過通信路由協(xié)議直接或間接地將采集到的數(shù)據(jù)傳輸給遠(yuǎn)方基站（ Base Station， BS）或匯聚節(jié)點(diǎn)（ Sink） 。 （ 3）簇頭節(jié)點(diǎn)，這類節(jié)點(diǎn)負(fù)責(zé)收集節(jié)點(diǎn)采集的數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)據(jù)融合后，發(fā)送到基站或匯聚節(jié)點(diǎn)。這些信息一經(jīng)采集，就將通過嵌入式系統(tǒng)進(jìn)行處理，最終通過隨機(jī)自組織無線通信網(wǎng)絡(luò)以多跳中繼方式將所感知信息傳送到 圖 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖 12 用戶終端，使人們無論在何時、何地、何種情況下都能獲取大量詳實可靠的信息 ,實現(xiàn)人、物和事件之間的無縫連接，從而真正實現(xiàn)“無處不在的計算”理念。為了節(jié)約能量，延長傳感器網(wǎng)絡(luò)的壽命，需要采用能效高的網(wǎng)絡(luò)通信協(xié)議和數(shù)據(jù)局部處理策略（如數(shù)據(jù)融合技術(shù)、數(shù)據(jù)壓 縮技術(shù)）。相對于數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)壓縮這兩項功能，數(shù)據(jù)傳輸所需要的能量是最多的，所以，如果要節(jié)約傳感器節(jié)點(diǎn)的電池能量，必定要減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，因此在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)用數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)來減少數(shù)據(jù)量一直是一個值得深入研究的問題。利用這兩種相關(guān)性，可以對感知數(shù)據(jù)采取相應(yīng)的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)。人們將傳感器節(jié)點(diǎn)采集的大量數(shù)據(jù)采用某種壓縮技術(shù)壓縮，壓縮后的少量數(shù)據(jù)傳送到 sink 節(jié)點(diǎn) (或者是融合中心 )，再由 sink 節(jié)點(diǎn)按照對應(yīng)的恢復(fù)算法恢復(fù)出采集的數(shù)據(jù)。 13 本文主要工作和內(nèi)容安排 本文在介紹壓縮感知理論 /分布式壓縮感知理論的基礎(chǔ)上，將它們應(yīng)用到無線傳感數(shù)據(jù)壓縮領(lǐng)域，用于壓縮傳感節(jié)點(diǎn)采集的信號，降低傳輸能耗，節(jié)約電池能量。 第二章 詳細(xì)闡述了壓縮感知理論，深入介紹了壓縮感知理論的核心思想 — 可壓縮信號（信號稀疏化）、測量矩陣和重構(gòu)算法 ,總結(jié)了壓縮感知理論的優(yōu)勢及不足。 第四章 將傳感網(wǎng)中數(shù)據(jù)傳輸與壓縮感知理論結(jié)合，分別利用壓縮感知和分布式壓縮感知框架下的信號壓縮、重構(gòu)方法對實際的感知數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，給出了實際的應(yīng)用效果，并重點(diǎn)研究了量化對于算法的影響。 圖 無線傳感網(wǎng)通信體系結(jié)構(gòu) 14 第 2 章 壓縮感知理論 傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中的采樣遵循的是奈奎斯特抽樣定理，該定理指出，為防止在獲得信號時損失信息，抽樣速率必須大于信號帶寬的兩倍。壓縮感知則是保存原始信號結(jié)構(gòu)的線性投影，然后再從這些投影中將信號重構(gòu)出來，其速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于奈奎斯特抽樣率。 壓縮感知理 論主要由三部分構(gòu)成：稀疏信號、觀測矩陣和重構(gòu)算法。 壓縮感知的前提條件 —稀疏性和不相干性 CS隱含的兩個基本前提：稀疏性和不相關(guān)性。 稀疏性：稀疏性表達(dá)了這樣一個思想，一個連續(xù)時間信號的“信息速率”可能比由帶寬所決定的香農(nóng)采樣率要低很多，或者，一個離散時間信號所依賴的自由度數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于它的長度。 不相關(guān)性：不相關(guān)性說明用于采 樣信號的波在基 Ψ下有很稠密的表達(dá)。 圖 CS 理論系統(tǒng)與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)的類似關(guān)系 CS 測量 CS 恢復(fù) 15 1 稀疏性 眾所周知，任意長度為 N 的離散信號 X 都可以表示為一系列基函數(shù)的疊加， 即可以在任何正交基下用下式表示： （式 ） 其中?由一組基向量? ?Nii 1??構(gòu)成的正交基，例如， sinusoids，尖峰 spikes、Bsplines， wavelets。展開系數(shù)大，說明信號和基足夠相似。本章我們將集中研究具有稀疏表示的信號，其中 X是 K個基向量的線性組合， KN。 許多自然信號在一些基下有簡潔的表達(dá)。圖 （ b）是 coins圖像的 9/7小波系數(shù)在一維下的表示 。由此可見，盡管原圖中幾乎所有的像素都是非零值，它在 9/7小波域中卻是稀疏的：大部分小波系數(shù)都很小，少數(shù)的大系數(shù)（ 1/16）就可以捕獲信號的大部分信息。該向量從嚴(yán)格意義上說是稀疏的，因為 KN ，即除了極少數(shù)項外其余均為 0。圖 （ c）所示告訴我們，可以丟棄除了少數(shù)幾個系數(shù)外的所有小系數(shù)而不會帶來視覺上的損失。稀疏性原理是大部分現(xiàn)代有損壓縮編碼算法和許多其它應(yīng)用的基礎(chǔ)。更一般地，稀疏性是一個基本的建模工具，可以進(jìn)行信號的精確統(tǒng)計估計和分類、有效的數(shù)據(jù)壓縮等等。s等人提出的壓縮感知理論使得稀疏 性有了更加令人驚奇的深遠(yuǎn)含義，即信號稀疏性對采樣本身有重要意義，稀疏性決定了我們可以擺脫奈奎斯特采樣頻率的約束，并可以做到高效地非自適應(yīng)地采樣信號。s， Romberg等人已經(jīng)證明一個降維的投影集合包含了重構(gòu)稀疏信號的足夠信息。在 CS中，假定信號在某個變換域的系數(shù)是 K項稀疏的，我們不直接對 K個重要的系數(shù) i?直接編碼，而是將信號的系數(shù)向量投影到另一個基函數(shù)集合? ?Mmm ,...,1, ??上，觀測得到 M (N)個投影 ??? XyTmm ,?然后 再編碼。其中 Y 是一個1?M的列向量，觀測矩陣?是一個以每個基向量 m作為行向量的N矩陣。 CS理論告訴我們，當(dāng)滿足一定條件時，也即是基 n?不能稀疏表示 m?（該條件被稱為兩組基不相關(guān)）并且觀測值個數(shù) M足夠大，那么就可以從一個相似規(guī)模的集合??m中恢復(fù)大系數(shù)集合??n?，繼而也就可以得到信號 X。重要的是，任意一個固 定的基和一個隨機(jī)產(chǎn)生的基也以高概率滿足這種不相關(guān)。在框架下或者基下可以找到稀疏表示的信號都可以以同樣的方式從不相關(guān)觀察中恢復(fù)。 定義 ：觀測系統(tǒng)?和表示系統(tǒng)?之間的相關(guān)性度量用?表示，則有如下式子成立： （ 式 ） 簡單來講，相關(guān)性度量的是兩個矩陣 和 的元素之間的最大相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)取值范圍為(a)512x512 的 coins 原始圖像 （ b） coins 圖像的 9/7 小波系數(shù)在一 維下的表示 圖 稀疏重構(gòu)圖像案例 ?????? ?? jkNjkn ??? ,max),( ,1（ c） 1/16 系數(shù)重構(gòu)圖像（ PSNR=） 17 ],1[),( N????。下面 給出一些例子。進(jìn)一步講，尖峰信號和正弦信號不僅在一維而且在任何維，例如 2D，3D空間都具有最大的不相關(guān)性。這里， noiselet和 Haar小波基間的相關(guān)系數(shù)是2，noiselet和 Daubechies db4及 db8小波基間的相關(guān)性分別是 。 noiselets也和尖峰信號及傅立葉基高度不相關(guān)。 noiselet變換的時間復(fù)雜度為 O(N)，而且類似于傅立葉變換，noiselet矩陣不需要存儲。如果沒有高效的計算， CS的實用性就會大打折扣。此時它們之間具有極大不相關(guān)。各項服從獨(dú)立同分布的隨機(jī)波形? ?)(tk?，例如高斯分布或者1?，也表現(xiàn)出和任何固定基?具有很小的相關(guān)性。不相關(guān)性越強(qiáng)，所需的個數(shù)越少；反之，相關(guān)性越強(qiáng)，例如?，則需要采樣所有的系數(shù)才能保證精確重構(gòu)。 信號的稀疏表示是指當(dāng)將信號投影到某個正交變換基時，一般情況下絕大多數(shù)的變換系數(shù)的絕對值都是很小的，得到的變換向量也是稀疏的或者是近似稀 疏的，這是原始信號的一種簡潔的表達(dá)方式，也是壓縮傳感理論的先驗條件。通常我們可以選取的變換基有離散傅里葉變換基（ DFT）、離散余弦變換基（ DCT）、離散小波變換基（ DWT）、 Curvelet 變換基、Gabor 變換基還有冗余字典等。通過原始 18 信號與觀測矩 陣相乘我們可以獲得原始信號的線性投影值。 所以對壓縮感知理論的研究也主要是基于這三個方面的內(nèi)容： （ 1）信號的稀疏表示。 （ 2）觀測矩陣的設(shè)計。這個過程也就是壓縮感知理論中信號的低速采樣過程。即如何設(shè)計快速有效且穩(wěn)定的重構(gòu)算法，從所得到的低維觀測向量中準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號。 信號的稀疏表示 從傅立葉變換到小波變換再到后來興起的多尺度幾何分析（ Ridgelet， Curvelet，Bandelet， Contourlet），科學(xué)家們的研究目的均是為了研究如何在不同的函數(shù)空間為信號提供一種更加簡潔、直接的分 析方式，所有這些變換都旨在發(fā)掘信號的特征并稀疏表示它，進(jìn)一步研究用某空間的一組基函數(shù)表示信號的稀疏程度或分解系數(shù)的能量集中程度。文獻(xiàn) [34]給出另一種定義：如果變換系數(shù) ???? 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