【正文】 但是這些算法并沒有綜合考慮時間相關(guān)性和空間相關(guān)性，文獻 [46]將融合了這兩種相關(guān)性的分布式信源編碼運用到傳感網(wǎng)的數(shù)據(jù)壓縮中。下面將介紹已有的基于相關(guān)性的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)，并闡明利用 CS 壓縮數(shù)據(jù)的優(yōu)勢。對壓縮感知理論實現(xiàn)的兩個前提要求 ——信號稀疏性及觀測矩陣和稀疏表示基之間滿足不相干性進行了詳細的論述，著重介紹了信號稀疏變換、觀測矩陣設(shè)計和重構(gòu)算法三個方面的最新研究進展情況。此外，基于生物體基因序列稀疏特性， Sheikh等驗證了可以通過置信傳播的方法實現(xiàn)壓縮感知 DNA芯片中的信號重構(gòu)。 Laska等人進一步發(fā)展了基于隨機采樣系統(tǒng)的模擬 /信息轉(zhuǎn)換器，并給出了隨機抽樣系統(tǒng)的兩種實現(xiàn)模型：第一種模型采用多個并行低采樣率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器，每個模數(shù)轉(zhuǎn)換器之間有等間隔的位移，通過隨機控制來自不同的模數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣，實現(xiàn)隨機采樣。 模擬信息轉(zhuǎn)換 對于帶寬非常高的信號，比如雷達和通信信號處理系統(tǒng)涉及的射頻信號，根據(jù)奈奎斯特定理，要獲得完整的信號信息，所采用的模數(shù)轉(zhuǎn)換器必須具有很高的采樣頻率。而且壓縮感知技術(shù)也可以應(yīng)用于雷達成像領(lǐng)域，與傳統(tǒng)雷達成像技術(shù)相比，壓縮感知雷達成像主要實現(xiàn)了兩個重要改進：在接收端省去了脈沖壓縮匹配濾波器；同時因為避開了對原始信號的直接采樣，降低了接收端對模數(shù)轉(zhuǎn)換器件帶寬的要求?，F(xiàn)有的應(yīng)用主要包括壓縮感知成像、模擬信息的轉(zhuǎn)換、生物傳感等方面。具體步驟如下： 1）首先傳感節(jié)點能夠計算測量值 kijjiji XAV 1, }{ ?? ； 2）然后這些測量值可以經(jīng)過聚合在簇頭節(jié)點得到所有測量值 V=Ax，然后對這些值進行編碼傳至 sink節(jié)點。 以上步驟是以完全分散的形式將感知數(shù)據(jù)的 k個隨機投影在 k次傳輸中傳給 sink節(jié)點?，F(xiàn)在將分別講述壓縮感知在傳感網(wǎng)中的兩種觀測方式。即使將 0范數(shù)轉(zhuǎn)化為 1 范數(shù)，由于不可微性（ indifferentiable），算法的計算復(fù)雜度仍然很高。由于感知到的測量值中的任何一項都是重要的，或者說不重要的， 所以如果測量值丟失了其中的某幾項，仍然可以完美重構(gòu)信號。這種優(yōu)勢在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域體現(xiàn)的愈為明顯，因為采集數(shù)據(jù)的過程往往是對病人帶來很大麻煩甚至身體傷害的過程。貪婪追蹤算法在運行時間和采樣效率上都位于另兩種算法 之間。 （ 2）凸松弛法：這類方法通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題求解找到信號的逼近， 如 BP算法，內(nèi)點法，梯度投影方法和迭代閾值法。 Gilbert等人在 2021 年 4 月提出了鏈?zhǔn)阶粉櫍?CP， Chaining Pursuit）方法來恢復(fù)可壓縮信號。 E. Hale， W. Yin基于分裂算子和同倫算子提出了求解最小 1范數(shù)大規(guī)模問題的方法，適合于糾錯編碼、磁共振成像、 NMR波譜研究等領(lǐng)域的大規(guī)模問題求解。匹配追蹤類算法都是基于貪婪迭代算法，以多于 BP算法需要的采樣數(shù)目換取計算復(fù)雜度的降低。 另一類基于貪婪思想的迭代算法以更多的觀測數(shù)量作為代價達到了更加快速重構(gòu)的目的。盡管 BP算法可行，但在實際應(yīng)用中存在兩個問題：第一，即使對常見的圖像尺寸，算法的計算復(fù)雜度也難以忍受，在采樣點個數(shù)滿足cKM?，)1/(log2 ?? KNc時，重構(gòu)計算復(fù)雜度的量級在)( 3NO；第二，由于 1范數(shù)無法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度的位置，所以盡管整體上重構(gòu)信號在歐氏距離上逼近原信號，但存在低尺度能量搬移到了高尺度的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)一些人工效應(yīng)，如一維信號會在高頻出現(xiàn)振蕩。 定理 2已證明：對于一個 K項 稀疏（ KN）長度為 N的信號僅僅需要投影到另一個不相關(guān)基上的 K+1個系數(shù)就可以以高概率被重構(gòu)。已經(jīng)證明，如果 )/log(),(2 ?? NSCM ??????，那么重構(gòu)成功的概率超過??。 不過， 1范數(shù)最小化不是尋找稀疏解的唯一方法；其它方法，例如貪婪算法也已被提出。因此，求解（式 ）式的數(shù)值計算極不穩(wěn)定而且是 NP難問題。然而，文獻 [2326， 28]的近期研究結(jié)果表明如果信號 X 是稀疏的，那么（ 1）精確恢復(fù)是可能的；（ 2）真 實信號實際上就是一個簡單凸優(yōu)化問題的解。它指出，在模擬系統(tǒng)中，觀測噪聲也是影響觀測次數(shù)的重要因素 ，為說明這一點，作者 22 從信息論的角度研究了稀疏信號的率失真函數(shù)，給出了觀測噪聲對信號重建效果的影響。在該理論中，對 觀測矩陣的約束是比較寬松的， Donoho在文獻 [23]中給出了觀測矩陣所必需具備的三個條件，并指出大部分一致分布的隨 機矩陣都具備這三個條件，均可作為觀測矩陣，如：部分 Fourier集、部分 Hadamard集、一致分布的隨機投影（ uniform Random Projection）集等，這與對 RIP條件進行研究得出的結(jié)論相一致。因此可以從 M個觀測值),... ,( 21 MyyyY ?中以很高的概率去恢復(fù)長度為 N的 K項稀疏信號。不相干性越強，互相表示時所需的系數(shù)越多；反之，相關(guān)性則越強。 然而，判斷給定的CSA是否具有 RIP性質(zhì)是一個組合復(fù)雜度問題。這個充要條件和 Cand232。 對于給定的 Y從（式 ）中求出?是一個線性規(guī)劃問題，但由于 M N，即方程（ a） （ b） 圖 觀測矩陣的圖形表示 21 的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，這一欠定問題一般來講無確定解。觀測過程實際就是利用N?觀測矩陣 的 M個行向量? ?Mjj 1??對稀疏系數(shù)向量進行投影，即計算 和各個觀測向量? ?Mjj 1??之間的內(nèi)積，得到 M個觀測值， ),...,2,1(, Mjy jj ????? ?，記觀測向量),... ,( 21 MyyyY ?，即 XAXYCST ??????? （式 ） 圖 （ a）是（式 ）的形象描述。進一步講，使用優(yōu)化方法可以收集到的少量的觀測值中重構(gòu)信號。之后又出現(xiàn)了一系列同樣基于貪婪迭代思想的改進算法，如正交匹配追蹤算法（ OMP），樹形匹配追蹤（ TMP），分段匹配追蹤（ StOMP）算法等。 從稀疏分解算法角度來講，在音視頻信號處理方面，基于貪婪迭代思想的 MP算法表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性，但不是全局最優(yōu)解 。這兩個問題也一直是該領(lǐng)域研究的熱點，學(xué)者們對此已做了一些探索，其中，以非相干字典為基礎(chǔ)的一系列理論證明得到了進一步改進 。從 從過完備字典中找到具有最佳線性組合的 K項原子來表示一 個信號，稱作信號的稀疏逼近或高度非線性逼近。把變換基是正交基的條件擴展到了由多個正交基構(gòu)成的正交基字典。s 和 Tao通過研究發(fā)現(xiàn)，滿足冪定律衰減的信號，可利用壓縮感知理論進行恢復(fù)，并且重構(gòu)誤差滿足： rrCS NKCXXE ????? ))/(log( 6 （式 ） RppNi ip ?? ?? /11 )( ? 19 其中 r=1/p1/2， 0p1。文獻 [34]給出另一種定義：如果變換系數(shù) ???? XTii ,?的支撐域? ?0: ?i?的勢小于等于 K，則可以說信號 X 是 K 項稀疏。即如何設(shè)計快速有效且穩(wěn)定的重構(gòu)算法，從所得到的低維觀測向量中準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號。 （ 2）觀測矩陣的設(shè)計。通過原始 18 信號與觀測矩 陣相乘我們可以獲得原始信號的線性投影值。 信號的稀疏表示是指當(dāng)將信號投影到某個正交變換基時，一般情況下絕大多數(shù)的變換系數(shù)的絕對值都是很小的，得到的變換向量也是稀疏的或者是近似稀 疏的，這是原始信號的一種簡潔的表達方式，也是壓縮傳感理論的先驗條件。各項服從獨立同分布的隨機波形? ?)(tk?，例如高斯分布或者1?，也表現(xiàn)出和任何固定基?具有很小的相關(guān)性。如果沒有高效的計算， CS的實用性就會大打折扣。 noiselets也和尖峰信號及傅立葉基高度不相關(guān)。進一步講，尖峰信號和正弦信號不僅在一維而且在任何維，例如 2D，3D空間都具有最大的不相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)取值范圍為(a)512x512 的 coins 原始圖像 （ b） coins 圖像的 9/7 小波系數(shù)在一 維下的表示 圖 稀疏重構(gòu)圖像案例 ?????? ?? jkNjkn ??? ,max),( ,1（ c） 1/16 系數(shù)重構(gòu)圖像（ PSNR=） 17 ],1[),( N????。在框架下或者基下可以找到稀疏表示的信號都可以以同樣的方式從不相關(guān)觀察中恢復(fù)。 CS理論告訴我們，當(dāng)滿足一定條件時，也即是基 n?不能稀疏表示 m?（該條件被稱為兩組基不相關(guān)）并且觀測值個數(shù) M足夠大，那么就可以從一個相似規(guī)模的集合??m中恢復(fù)大系數(shù)集合??n?，繼而也就可以得到信號 X。在 CS中，假定信號在某個變換域的系數(shù)是 K項稀疏的，我們不直接對 K個重要的系數(shù) i?直接編碼，而是將信號的系數(shù)向量投影到另一個基函數(shù)集合? ?Mmm ,...,1, ??上，觀測得到 M (N)個投影 ??? XyTmm ,?然后 再編碼。s等人提出的壓縮感知理論使得稀疏 性有了更加令人驚奇的深遠含義，即信號稀疏性對采樣本身有重要意義，稀疏性決定了我們可以擺脫奈奎斯特采樣頻率的約束，并可以做到高效地非自適應(yīng)地采樣信號。稀疏性原理是大部分現(xiàn)代有損壓縮編碼算法和許多其它應(yīng)用的基礎(chǔ)。該向量從嚴(yán)格意義上說是稀疏的，因為 KN ，即除了極少數(shù)項外其余均為 0。圖 （ b）是 coins圖像的 9/7小波系數(shù)在一維下的表示 。本章我們將集中研究具有稀疏表示的信號，其中 X是 K個基向量的線性組合， KN。 圖 CS 理論系統(tǒng)與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)的類似關(guān)系 CS 測量 CS 恢復(fù) 15 1 稀疏性 眾所周知，任意長度為 N 的離散信號 X 都可以表示為一系列基函數(shù)的疊加， 即可以在任何正交基下用下式表示： （式 ） 其中?由一組基向量? ?Nii 1??構(gòu)成的正交基，例如， sinusoids，尖峰 spikes、Bsplines， wavelets。 稀疏性：稀疏性表達了這樣一個思想，一個連續(xù)時間信號的“信息速率”可能比由帶寬所決定的香農(nóng)采樣率要低很多，或者，一個離散時間信號所依賴的自由度數(shù)目遠遠低于它的長度。 壓縮感知理 論主要由三部分構(gòu)成：稀疏信號、觀測矩陣和重構(gòu)算法。 圖 無線傳感網(wǎng)通信體系結(jié)構(gòu) 14 第 2 章 壓縮感知理論 傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中的采樣遵循的是奈奎斯特抽樣定理，該定理指出，為防止在獲得信號時損失信息，抽樣速率必須大于信號帶寬的兩倍。 第二章 詳細闡述了壓縮感知理論，深入介紹了壓縮感知理論的核心思想 — 可壓縮信號（信號稀疏化）、測量矩陣和重構(gòu)算法 ,總結(jié)了壓縮感知理論的優(yōu)勢及不足。人們將傳感器節(jié)點采集的大量數(shù)據(jù)采用某種壓縮技術(shù)壓縮，壓縮后的少量數(shù)據(jù)傳送到 sink 節(jié)點 (或者是融合中心 )，再由 sink 節(jié)點按照對應(yīng)的恢復(fù)算法恢復(fù)出采集的數(shù)據(jù)。相對于數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)壓縮這兩項功能，數(shù)據(jù)傳輸所需要的能量是最多的，所以，如果要節(jié)約傳感器節(jié)點的電池能量，必定要減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，因此在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中運用數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)來減少數(shù)據(jù)量一直是一個值得深入研究的問題。這些信息一經(jīng)采集，就將通過嵌入式系統(tǒng)進行處理，最終通過隨機自組織無線通信網(wǎng)絡(luò)以多跳中繼方式將所感知信息傳送到 圖 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點結(jié)構(gòu)圖 12 用戶終端，使人們無論在何時、何地、何種情況下都能獲取大量詳實可靠的信息 ,實現(xiàn)人、物和事件之間的無縫連接，從而真正實現(xiàn)“無處不在的計算”理念。 根據(jù)節(jié)點在傳感網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)體系中所起作用的不同，節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中可以充當(dāng)數(shù)據(jù)采集者、數(shù)據(jù)處理中轉(zhuǎn)站或簇頭節(jié)點幾 種角色： （ 1）數(shù)據(jù)采集者，這類節(jié)點的數(shù)據(jù)采集模塊專門采集周圍的環(huán)境數(shù)據(jù)（如溫度、壓力），然后通過通信路由協(xié)議直接或間接地將采集到的數(shù)據(jù)傳輸給遠方基站（ Base Station， BS）或匯聚節(jié)點（ Sink） 。 無線傳感器網(wǎng)絡(luò) 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)是計算、通信和傳感器這三項技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，一開始在軍事應(yīng)用中收集數(shù)據(jù)，對戰(zhàn)場情況和威脅及其重要程度進行適時的完整評價，后發(fā)展到民事運用，如監(jiān)控大型設(shè)備，災(zāi)區(qū)臨時通信，衛(wèi)生保健等等。但是，迭代閾值法對于迭代初值和閾值的選取均較敏感，且不能保證求出的解是稀疏的。 壓縮感知的重構(gòu)算法主要分為兩大類，一是貪婪算法，它是通過選擇合適的原子并經(jīng)過一系列的逐步遞增的方法實現(xiàn)信號矢量的逼近，此類算法主要包括匹配跟蹤算法、正交匹配追蹤算法、補空間匹配追蹤算法等。 （ 5）托普利茲和循環(huán)矩陣。 （ 3）部分正交矩陣。 目前常用的測量矩陣包括： （ 1）隨機高斯矩陣。觀測器的設(shè)計目的是如何采樣得到 M 個觀測值，并保證從中能重構(gòu)出長度為 N 的信號 X 或者稀疏基基?下等價的稀疏 系數(shù)向量。 這是一種全新的信號表示理論：用超完備的冗余函 數(shù)庫取代基函數(shù)，稱之為冗余字典，字典中的元素被稱為原子。稀疏表示是應(yīng)用壓縮感知的先驗條件，隨機測量是壓縮感知的關(guān)鍵過程，重構(gòu)算法是獲取最終結(jié)果的必要手段。測量值并非信號本身，而是從高維到低維的投影值，從數(shù)學(xué)角度看，每個測量值是傳統(tǒng)理論下的每個樣本信號的組合函數(shù)，即一個測量