【正文】 （ ） 經(jīng)過等式變換，可得（ ）等價(jià)于下式： {[ ] [ ( ) ] }p c f p x kp ?? ? ? ? ?? （ ） 其中，優(yōu)勢(shì)公司的收入是由大括號(hào)內(nèi)的函數(shù)表示，由（ ）可得：經(jīng)過對(duì)價(jià)格 p 求微分，得到價(jià)格 p 的邊際收益與競爭公司銷售數(shù)量的影子價(jià)格的比值為負(fù)數(shù)，該比值常數(shù)對(duì)（ ）式中競爭對(duì)手來說，它是競爭對(duì)手衡量 p 與p 兩個(gè)價(jià)格間的差價(jià)的響應(yīng)系數(shù)。 設(shè)定在問題的所有 解中，是存在穩(wěn)態(tài)解的，并記該穩(wěn)態(tài)解為 ss px, ，記 s? 是跟它們相對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格。 綜上，我們還可得： ( , , ) [ ] ( ) 2 ( ) 0ppH x p p c f p f p? ??? ? ? ? （ ） 應(yīng)用案例 1， 三點(diǎn)一線的最優(yōu)問題 ：生產(chǎn) — 庫存 — 銷售 目標(biāo)：在這里，我們所要分析解決的是最優(yōu)管理的問題，對(duì)于這個(gè)問題要解決的是生產(chǎn)量，庫存量和銷售量三量的平衡問題，即把三個(gè)量控制在一個(gè)合理的水平。 注釋： ??xt ， ??ut， ??st分別代表第 t 時(shí)刻的真實(shí)庫存量，真實(shí)的生產(chǎn)率，真實(shí)的銷售率。生產(chǎn)成本為 C 與時(shí)間 t 的函數(shù) ??ut 相關(guān)，因此把生產(chǎn)成本記為： ? ?? ?,C u t t ，同理，把庫存成本記為： ? ?? ?,H x t t 。 （ 2）控制論中最優(yōu)生產(chǎn)率 ??ut，根據(jù)自身的實(shí)際生產(chǎn)能力和以往的數(shù)據(jù)記錄，假定最合理的生產(chǎn)率和庫存量分別為 ? ? ? ?ddu t x t和 ，即達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。 求解： uU?? ，滿足 ? ?? ?? ? ? ?? ?m inu t UJ u t J u t? ??， .st ? ? ? ? ? ?? ?? ?00x t u t s tx t xu t U??????? ?? 求 解 ? ? ? ?? ?,u i x i??，滿足： 天津科技大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 10 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?221m in n ddiJ u i k x i x i h u i u i? ? ??? ? ? ???? .st ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?0101 fx i x i u i s ixxx i x iu i U? ? ? ??? ??? ???? ?? 均衡狀態(tài)和它的穩(wěn)定性 往下我們將會(huì)研究穩(wěn)定性以及均衡狀態(tài)。對(duì)（ ）等式兩邊求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，則： 0)](2)()[ ???????? ???? kxppfpfcp（ （ ） 也可以由式（ ）中解得： ])()()[(1 xpfpfcpk ?????? ?? （ ） 將式（ ）、（ ）和（ ）依次代入式（ ），在消去 ???,x 后，可得： )(2)()( )(])()()[( pfpfcp pckxpfpfcpp ????? ??????? ?? （ ） ][ ppkx ??? （ ） 接著求解（ ）、（ ）兩個(gè)微分方程組的穩(wěn)態(tài)解，把 0?p? ， 0?x?分別代入可得： 0)(])()()[( ??????? pckxpfpfcpr （ ） 0??pp （ ） 0pp?? （ ） 若用帶有右上標(biāo) s 表示穩(wěn)態(tài)解（均衡解），則 pps? （ ） 代到（ ）式可得： 天津科技大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 11 )](][[)( 1 pfkcppfx s ????? ?? （ ） 因此優(yōu)勢(shì)公司所占市份額的穩(wěn)態(tài)值如下： 0)( )](][[)()( 1 ??????? ? pf pfkcppf xpfm ss ? （ ） 從上面穩(wěn)態(tài)值的等式中易得：假如優(yōu)勢(shì)公司相對(duì)對(duì)手公司來說，沒有一定的成本優(yōu)勢(shì)，即 cp? ，那么從（ ）、（ ）可得： )()](][[)( 1 pfpfkcppfx s ?????? ?? 0)( )](][[)()( 1 ??????? ? pf pfkcppf xpfm ss ? 有上述的推導(dǎo)可說明，優(yōu)勢(shì)公司因?qū)嵤﹥r(jià)格最優(yōu)策略的原因，最終會(huì)造成它退出市場 。要想證明該定論，我們首先計(jì)算： cpcps pfkpfcppfpx??? ??????????? ))](()()()([ 1? 0)(2 1 ???? ? kcf ? （ ） 因 )(cfx cps ?? ， pxs ?? / 是連續(xù)的，而且由（ ）方程式可得，對(duì)于全部超過 c 卻極其靠近 c 的 p ，能夠滿足 )(pfxs ? 。 往下為解說穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性，需要計(jì)算（ ）、（ ）兩個(gè)方程組的Jacob 矩陣 ???????? ?????????????????????????0),(),(0,0kcpHxxpxxpppxpJ ppxpss???????? （ ） 注意，由 （ ） 得 0)(2)()(),( ??????? pfpfcpcpH pp ， 則0),(det ?ss xpJ ， 意味著 穩(wěn)態(tài) ),( ss xp 為鞍點(diǎn)。 要在 x p 平面上畫相圖，首先假設(shè) 0?p? 可得（ ）式，對(duì)（ ）式的左端求關(guān)于 p 的微導(dǎo)，求導(dǎo)后在 ),( ss xp 點(diǎn)取值可得： 0),()](2)()[( ??????? cpHpfpfcp pp? 根據(jù)隱函數(shù)定理，在某個(gè) ),( ss xp 的相關(guān)鄰域內(nèi)沿 0?p? ，標(biāo)注 )(xpp? 。再者因?yàn)闈M足條件： 00,0 ???? ?? ?xppp ??? 0),(0,0 ????? ?? cpHxp ppxp ???? 圖 1 的相圖中 0?p? 線來移動(dòng) p? ，有兩種方式移動(dòng)，一種方式以 p 遞增的方向增加，另一種方式是以 x 遞增 方向增加，目的都是由 0 增加到正數(shù)，所以 0p? 位于 0?p? 線的右上方， p 隨時(shí)間流而遞增， 0p? 位于 0?p? 線的左下方， 此時(shí) p 隨時(shí)間流而遞減。 天津科技大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 13 圖 1 相圖中帶箭頭的粗直線是 x p 平面的最優(yōu)軌線，則可得： sxx?0 為初始條件，優(yōu)勢(shì)公司的最優(yōu)價(jià)格策略是，將它的初價(jià)定于限價(jià)之上，滿足 ), 00 xp（ 位于穩(wěn)定臂上，在時(shí)間的增加過程中，設(shè)定的價(jià)格隨之而下滑，并且下滑截止于 p 。反之的情況下，起始條件滿足 sxx?0 ，優(yōu)勢(shì)公司采用的最優(yōu)價(jià)格策略前面策略相反，這會(huì)把它的初價(jià)定于限價(jià)之下，同樣滿足), 00 xp（ 位于穩(wěn)定臂上，在時(shí)間的整個(gè)推進(jìn)過程中，價(jià)格慢慢回升至限價(jià) p 。 比較靜態(tài)分析 往下我們將會(huì)對(duì)穩(wěn)態(tài)的比較靜態(tài)進(jìn)行分析，這里我們將會(huì)納入 kc, 兩個(gè)參數(shù)來分析穩(wěn)態(tài)的比較靜態(tài)。 k 值越大，意味著競爭對(duì)手對(duì)價(jià)格變動(dòng)的靈敏度就越高，式（ ）的右端值小于零，說明它的市場份額將會(huì)漸漸減少，式（ ）右端值大于零，說明占優(yōu)勢(shì)公司的穩(wěn)態(tài)市場占有 率將會(huì)逐漸回升。這種現(xiàn)象在比較動(dòng)態(tài)分析中會(huì)更容易解釋清楚。從（ ）得到 ， 0?x? 這條線 與成本 c 的變化沒有關(guān)系，即該直線不會(huì)隨成本 c 提高而移動(dòng)，但（ ）式說明，以上這種情況下，競爭性公司的市場銷售額升高了，同時(shí)（ ）式說明，優(yōu)勢(shì)公司產(chǎn)品的穩(wěn)態(tài)價(jià)格不會(huì)隨之而變，這樣一來可能變化的結(jié)果就是， 0?p? 這條曲線向上移動(dòng)，可以解釋這一點(diǎn)的是由隱函數(shù)定理得的下式： 0),( )(/ / 0,00,0 ?????? ?????? ???? cpH kpfpp cpcpppxpxp ?????? ? ? 綜上說明，沿著 0?p? 這條曲線， c 和 p 的變化方向相同，即同增同減。曲線移動(dòng)后得到一個(gè)新的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)也就是新的穩(wěn)態(tài)解，我們把穩(wěn)態(tài)解均稱為鞍點(diǎn)。一旦提高產(chǎn)品成本，則優(yōu)勢(shì)公司 的穩(wěn)態(tài)水平發(fā)生變化，直至處在新的穩(wěn)態(tài)水平。 圖 2 的相圖中，老穩(wěn)態(tài)至新穩(wěn)態(tài)的優(yōu)化過程表明：當(dāng)產(chǎn)品成本提高時(shí)，也就說它高于限價(jià)，此時(shí)，該產(chǎn)品的價(jià)格會(huì)瞬間超出新鞍點(diǎn)的穩(wěn)定臂上跟 soldx 相對(duì)應(yīng)的價(jià)格，此時(shí)在 soldx 能夠固定競爭性公司的銷售數(shù)額。這樣一來：雖然穩(wěn)態(tài)價(jià)格對(duì)優(yōu)勢(shì)公司來說恒定不變，但在達(dá)到新穩(wěn)態(tài)的整個(gè)變化中，優(yōu)勢(shì)公司把售價(jià)定于限價(jià)之上，這樣就會(huì)使對(duì)手有更大的銷售額，占有更大的市場比例。從（ ）式可得， k 值不影響直線 0?x? 的變 化，顯然增大 k 值時(shí)，直線 pp? 的位置不會(huì)發(fā)生變化。 從以上情況可得， 凡是依賴于 0?p? 的曲線，都會(huì)發(fā)生向下位移 。也就意味著，對(duì)于同一個(gè) x 值， k 與 p 的變化方向相反，意味著 k 較大時(shí)，依賴于 0?p? 的曲線將會(huì)發(fā)生向下位移。我們?cè)诜治? 運(yùn)行經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，主要考慮這個(gè)穩(wěn)定性能不能達(dá)到新的預(yù)期目標(biāo)。討論穩(wěn)定性問題一般有系統(tǒng)漸漸穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定這三種可能。 若有 ex ，且 nnexR?? ， 則有下式： ? ?=eex f x () 我們把 ? ? 0ex k x??叫做 ()式均衡穩(wěn)態(tài)。 如下對(duì)（ ）和（ ）做 z變換得： ? ? ( 0 ) A x ( z ) ( z )zx z zx B u? ? ? （ ） 天津科技大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 18 ? ? x(z)y z C? （ ） 解得： ? ? ? ? ? ? ? ?110 ( z )x z zI A zx zI A B u??? ? ? ? （ ） ? ? ? ? ? ? ? ?110 ( z )y z C zI A zx C zI A B u??? ? ? ? （ ） 接著對(duì) z 做反變換： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111 10 ( z )x k Z zI A z x Z zI A B u???? ? ? ? （ ） 綜上來解析，在系統(tǒng)里有一個(gè)內(nèi)部狀態(tài)變量，而這個(gè)變量也就是式中的 ??xk ，它可分為兩部分變化：其一，當(dāng)代入 ??uk時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致強(qiáng)烈的震動(dòng)；其二，系統(tǒng)本身它自己的自由性運(yùn)動(dòng)。 穩(wěn)定性的應(yīng)用案例分析 為了體現(xiàn)科學(xué)理論在實(shí)際案例中的具體應(yīng)用，我們列舉出以下的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的解答分析 ? ?? ? ? ?? ?11221 0 .5 0 .20 .3 0 .72x k x kx k x k?? ? ? ????? ? ? ???? ??? ? ? ?? ? ? ? 接下來將對(duì)該經(jīng)濟(jì) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性能 進(jìn)行分析 解： 對(duì)上述等式做 Z變換 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 12 2 20 0 .5 0 .20 .3 0 .70x z x x zzzx z x x z? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 求解如下： 天津科技大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 19 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1111 22212122 0 0 0 0 0 9xz