20xx屆湖北省七市(州)教研協(xié)作體高三下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題(含解析)-在線瀏覽
2025-04-05 05:57本頁面
【正文】 ﹣a2＝2，∴an＝a2+（n﹣2）d＝2n+1；（2）∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝1+（2n﹣1）2n，∴當時，a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1＝1+（2n﹣3）2n﹣1，兩式相減得：anbn＝（2n+1）?2n﹣1，即：，∴，又當n＝1時，有a1b1＝3b1＝1+2，解得：b1＝1，適合上式，∴，∴，∴＝＝．【點睛】結(jié)論點睛：裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.19．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，．（1）求證：平面；（2）設(shè)，當二面角的余弦值為時，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明出平面，可得出，利用勾股定理證明出，然后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，分別以、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的方程，結(jié)合可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）取的中點，連接，四邊形為直角梯形，且為的中點，且，所以，四邊形為矩形，，，平面，平面，平面；（2）由（1）可知，、兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、所以，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，.，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，由于二面角的余弦值為，則，整理可得，解得.【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點的坐標；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面，直接取法向量即可）；（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.20．已知橢圓C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是雙曲線C2：＝1的左、右頂點，且橢圓C1的上頂點到雙曲線C2的漸近線的距離為．（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)橢圓C1的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），經(jīng)過左焦點F1的直線l與橢圓C1交于M，N兩點，且滿足的點P也在橢圓C1上，求四邊形F2MPN的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）橢圓的左右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），由題意可得c＝1，再利用點到直線的距離公式可得求出b＝1，即求.（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty﹣1，（t一定存在），代入橢圓方程，設(shè)P（x0，y0），利用韋達定理以及向量的坐標表示可得，將點代入橢圓方程求出t2＝14，再由即可求解.【詳解】（1）橢圓的左右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），而雙曲線C2：的頂點分別為（﹣1，0），（1，0），所以c＝1．又橢圓的上頂點為（0，b），而雙曲線C2：的一條漸近線為y＝2x，則有，解得b＝1．∴a2＝12+12＝2，所以橢圓E的方程為．（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty﹣1，（t一定存在），代入x2+2y2＝2，并整理得（t2+2）y2﹣2ty﹣1＝0，＝4t2+4（t2+2）＞0恒成立，設(shè)M（ty1﹣1，y1），N（ty2﹣1，y2），則，．設(shè)P（x0，y0），由，得，即，又點P在橢圓C1上，故，即t4﹣12t2﹣28＝0，解得t2＝14（舍負），因為滿足的點P也在橢圓C1上，所以四邊形F2MPN是平行四邊形，設(shè)四邊形F2MPN的面積為S，則有，
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