【正文】 點C的坐標，并求出△ABC的面積；（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，是否存在這樣的點P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸正半軸上運動，當以點C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積． 【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標為（5，－5）；（4）或5．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進行求解即可；（2）先求出拋物線的對稱軸，利用對稱性即可寫出點C的坐標，利用三角形面積公式即可求面積；（3）利用三角形的面積以及點P所處象限的特點即可求；（4）分情況進行討論，確定點M、N，然后三角形的面積公式即可求.試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y(tǒng)＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，∴拋物線的表達式為y＝－x2＋4x．（2）∵拋物線的表達式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．又C，B關于對稱軸對稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝23＝3．（3）存在點P．作PQ⊥BH于點Q，設P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋（m－1）（3＋m2－4m）＝33＋（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點P的坐標為（5，－5）．（4）或5．提示：①當以M為直角頂點，則S△CMN＝；②當以N為直角頂點，S△CMN＝5；③當以C為直角頂點時，此種情況不存在．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求解析式，三角形面積、直角三角形的判定等，能正確地根據(jù)題意確定圖形，分情況進行討論是解題的關鍵.5．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和點B(﹣3，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．(4)如圖2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合條件的點P，其坐標為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）， .【解析】【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據(jù)M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：①當CP＝PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標關鍵是求P的縱坐標，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的長，可根據(jù)M的坐標得出，CQ＝3﹣x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x，由此可得出P的坐標．②當CM＝MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標，也就得出了P的坐標（要注意分上下兩點）．③當CM＝CP時，因為C的坐標為（0，3），那么直線y＝3必垂直平分PM，因此P的縱坐標是6，由此可得出P的坐標；（3）根據(jù)軸對稱﹣最短路徑問題解答；（4）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如答圖1，∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其對稱軸為x＝＝﹣1，∴設P點坐標為（﹣1，a），當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴當CP＝PM時，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，∴P點坐標為：P1（﹣1，）；∴當CM＝PM時，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝177?！唷螰PC+∠CPE=90176?！鄖與x之間的關系式為：。答：當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元。（2）根據(jù)“利潤=（售價﹣成本）售出件數(shù)”，可得利潤W與銷售價格x之間的二次函數(shù)關系式，然后求出其最大值。即OM為y=x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點M．【詳解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c得，解得，所以拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）圖1，過P點作PQ平行y軸，交AC于Q點，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC解析式為y＝x+3，設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點坐標為（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△PAC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．當x＝﹣1時，P點坐標為（﹣1，4），當x＝﹣2時，P點坐標為（﹣2，3），綜上所述：若△PAC面積為3，點P的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過D點作DF垂直x軸于F點，過A點作AE垂直BC于E點，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點，∴D點坐標為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當∠AOM＝∠CAB＝45176。、∠AFP=90176。三種情況考慮．根據(jù)等腰直角三角形的性質結合點A、F點的坐標找出點P的坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出關于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點P坐標中即可得出結論．試題解析：（1）當中y=0時，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左側，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當中x=0時，則y=3，∴C（0，3）．∵=，∴頂點D（﹣1，4）．（2）作點C關于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設直線C′D的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當y=﹣7x﹣3中y=