【正文】 F，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45176。+45176?！郋G2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如圖所示，延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。時(shí)，此時(shí)A、B′、E三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB，B′N(xiāo)⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N(xiāo)=，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D=；如圖2，當(dāng)∠AFB′=90176。時(shí)，此時(shí)A、B′、E三點(diǎn)共線，∵∠B=90176。由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB，B′N(xiāo)⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N(xiāo)=，∴AN=B′M=，∴DN=ADAN==，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D= = ；如圖2，當(dāng)∠AFB′=90176。．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）四邊形BCGD是矩形，理由如下，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折疊可知，BC＝DG，∴四邊形BCGD是平行四邊形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90176?！逜B∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度7．現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB＝4cm，BC＝6cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將紙片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B′，過(guò)E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置關(guān)系；（2）求線段B′C的長(zhǎng)，并求△B′EC的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）S△B′EC＝．【解析】【分析】（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可證得△B39。即可得到AE⊥EF；（2）連接BB′，通過(guò)折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點(diǎn)，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長(zhǎng)求出，在Rt△BB′C中，根據(jù)勾股定理可將B′C的值求出.【詳解】（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B39。EC的角平分線，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180176。即∠AEF＝90176。交AE于點(diǎn)O，由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB39?！唷螧B39。；∵點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2將AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝ cm，∴BO＝＝cm，∴BB′＝2BO＝cm，∴在Rt△BB39。＜α＜180176?；?5176?；?35176。．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；（3）分類(lèi)討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，∴ME=GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=GE，∴CD=GE，∴四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90176?！邔⒄叫蜲EFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90176?！唷螦NO=∠AON=176。∴α=∠ANO∠ADO=176。∴∠ANO=90176。45176。；②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點(diǎn)N，如圖4，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45176。∵∠ADO=45176。=176?！唷螦NO=90176。+45176。Ⅲ、當(dāng)AN=AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90176。綜上所述：若△AON是等腰三角形時(shí)，176。176。176。時(shí)，求BC與A′B′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)α＝60176。時(shí)，延長(zhǎng)OA′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45176。時(shí)，如圖①，延長(zhǎng)OA′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∵OB＝6，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45176?！唷螼C′M＝90176?！唷鱋MC′≌△C′N(xiāo)B′（AAS），當(dāng)α＝60176。OC′＝6，∴∠C′OM＝30176。∴∠AEF+∠DEC=90176。∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90176。F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45176。,點(diǎn)E.若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時(shí)，仍有EF=BE+DF；(3)聯(lián)想拓展如圖3,在△ABC中,∠BAC=90176。猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程。至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176?！鰾DF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．試題解析：(1)理由是：如圖1，∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F. D. G共線，則∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴EF=FG=BE+DF；(2)∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=