【正文】 數(shù)為整數(shù)或整式時(shí)，把被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因數(shù)或因式分解，根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替移到根號(hào)外面去。最簡(jiǎn)二次根式定義中第(1)條說(shuō)明被開(kāi)方數(shù)不含有分母；分母是1的例外。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入1．把下列各根式化簡(jiǎn)，并說(shuō)出化簡(jiǎn)的根據(jù)：2．引導(dǎo)學(xué)生觀察考慮：化簡(jiǎn)前后的根式，被開(kāi)方數(shù)有什么不同？化簡(jiǎn)前的被開(kāi)方數(shù)有分?jǐn)?shù)，分式；化簡(jiǎn)后的被開(kāi)方數(shù)都是整數(shù)或整式，且被開(kāi)方數(shù)中開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被移到根號(hào)外。定義。(1)經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中．(2)可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式，解決在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問(wèn)題．(四)練習(xí)和作業(yè)練習(xí)：1．填空注意第(4)題需有2m≥0，m≥0，又需有3m≥0，即m≤0，故m=0．2．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示：分析：通過(guò)本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．3．計(jì)算二、作業(yè)教材P．172習(xí)題11．1；A組3；B組2．補(bǔ)充作業(yè)：下列各式中的字母滿足什么條件時(shí)，才能使該式成為二次根式？分析：要使這些式成為二次根式，只要被開(kāi)方式是非負(fù)數(shù)即可，啟發(fā)學(xué)生分析如下：(1)由｜a2b｜≥0，得a2b≤0，但根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，有｜a2b｜≥0，∴｜a2b｜=0，即a2b=0，得a=2b．(2)由(m21)(mn)≥0，(m2+1)(mn)≥0∴(m2+1)(mn)≤0，又m2+1＞0，∴mn≤0，即m≤n．二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)7教學(xué)目的1．使學(xué)生掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義，并會(huì)應(yīng)用此定義判斷一個(gè)根式是否為最簡(jiǎn)二次根式；2．會(huì)運(yùn)用積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式。因此，以后遇到，應(yīng)寫(xiě)成，而不宜寫(xiě)成。我們知道如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方形式了．例1計(jì)算：分析：這個(gè)例題中的四個(gè)小題，主要是運(yùn)用公式。將符號(hào)“”看作開(kāi)平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個(gè)數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開(kāi)平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問(wèn)學(xué)生，a可以代表一個(gè)代數(shù)式嗎？請(qǐng)分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時(shí)才成立。四、教學(xué)準(zhǔn)備：課件五、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)1．什么叫二次根式？2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實(shí)數(shù)．(二)二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義，并了解了第一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)我們知道，正數(shù)a有兩個(gè)平方根，分別記作零的平方根是零。二、教學(xué)重點(diǎn)：二次根式成立的條件，雙重非負(fù)性；用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。（二）過(guò)程與方法：體驗(yàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，感受由特殊到一般的方法。三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)為了解二次根式的概念，知道被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個(gè)非負(fù)數(shù)，會(huì)求二次根式中被開(kāi)方數(shù)字母的取值范圍．教學(xué)難點(diǎn)為：理解二次根式的雙重非負(fù)性、四、教學(xué)過(guò)程活動(dòng)1【導(dǎo)入】活動(dòng)一問(wèn)題1你能用帶有根號(hào)的的式子填空嗎？（1）面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______，面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______．（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m？，則它的寬為_(kāi)_____m．（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開(kāi)始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h =5t？，如果用含有h的式子表示t，則t= _____．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上述問(wèn)題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)。二、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整式”、“平方根”、“算術(shù)平方根”等知識(shí)，已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)二次根式的知識(shí)基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)，但學(xué)生剛認(rèn)識(shí)二次根式，學(xué)習(xí)將有一定難度。理解二次根式的基本性質(zhì)。（學(xué)生總結(jié)，百花齊放，老師不做限定，沒(méi)說(shuō)到的，老師補(bǔ)充。四、變式練習(xí)(先讓學(xué)生獨(dú)立完成，老師做必要的板書(shū)準(zhǔn)備后巡回指導(dǎo)，了解情況； 然后讓有一定問(wèn)題的學(xué)生匯報(bào)展示，發(fā)動(dòng)學(xué)生評(píng)價(jià)完善，老師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵地方，總結(jié)思想方法。師畫(huà)龍點(diǎn)睛強(qiáng)調(diào):(1)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序跟有理數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減。教學(xué)過(guò)程：一、情境誘導(dǎo)《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)楊桂花二、練習(xí)指導(dǎo)(學(xué)生完成練習(xí)提綱,可以討論,老師做必要的板書(shū)準(zhǔn)備,然后巡回指導(dǎo),了解情況、)練習(xí)提綱：《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)楊桂花三、展示歸納學(xué)生匯報(bào)解題過(guò)程,生說(shuō)師寫(xiě)。教學(xué)重點(diǎn)：二次根式混合運(yùn)算算理的理解。五、作業(yè)把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)4通過(guò)二次根式混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步了解二次根式運(yùn)算法則，知道二次根式混合運(yùn)算順序，會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。 [ ]A、2 B、3C、1 D、0把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：答案：BB四、小結(jié)最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。如果被開(kāi)方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解因式或分解因數(shù)，然后把開(kāi)得盡方的因式或因數(shù)開(kāi)出來(lái)，從而將式子化簡(jiǎn)。通過(guò)例例3，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)出把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的方法。例2 把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式：分析：把被開(kāi)方數(shù)分解因式或因數(shù)，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)例3 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：分析：題（1）的被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)把它變成假分?jǐn)?shù)，然后將分母有理化，把原式化成最簡(jiǎn)二次根式。指出：從（1），（2），（6）題可以看到如下兩個(gè)結(jié)論。因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)中的因數(shù)8=22因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)的因式5x開(kāi)不盡方，而且是整式。因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)的因式a－b開(kāi)不盡方，而且是整式。因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)的因式x2＋y2開(kāi)不盡方，而且是整式。整數(shù)。因?yàn)閍3=a2滿足上面兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。一、導(dǎo)入新課計(jì)算：我們?cè)倏聪旅娴膯?wèn)題：簡(jiǎn)，得到從上面例子可以看出，如果把二次根式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，會(huì)對(duì)解決問(wèn)題帶來(lái)方便。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法。2第10，11題?！驹O(shè)計(jì)意圖】綜合運(yùn)用二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。對(duì)于分母含二次根式的處理，要結(jié)合整式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算?！驹O(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)?！驹O(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的概念的理解。師生活動(dòng) 提問(wèn) 本題是以長(zhǎng)方形面積為背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題，二次根式的除法運(yùn)算在此發(fā)揮什么作用？再提問(wèn) 章引言中的問(wèn)題現(xiàn)在能解決了嗎？【設(shè)計(jì)意圖】鞏固性練習(xí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算法則解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生用總結(jié)出的結(jié)論進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。要總結(jié)出：（1）這些根式的被開(kāi)方數(shù)都不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；（3）分母中不含根號(hào)；【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，提出最簡(jiǎn)二次根式的概念，要強(qiáng)調(diào)，在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式?；顒?dòng)3【活動(dòng)】例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用例1 計(jì)算： （1） ； （2） ； （3） 。問(wèn)題5 對(duì)比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒(méi)有類(lèi)似性質(zhì)？師生活動(dòng) 學(xué)生類(lèi)比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 。問(wèn)題4 對(duì)例題的運(yùn)算你有什么看法？是如何進(jìn)行的？師生活動(dòng) 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算，一般根號(hào)下不含分母和開(kāi)得盡方的因數(shù)。學(xué)生能說(shuō)明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道，分母不為零就可以了?；顒?dòng)2【講授】觀察思考，理解法則問(wèn)題2 教材第8頁(yè)“探究”欄目，計(jì)算結(jié)果如何？有何規(guī)律？師生活動(dòng) 學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：。問(wèn)題5 對(duì)比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒(méi)有類(lèi)似性質(zhì)？師生活動(dòng) 學(xué)生類(lèi)比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 。問(wèn)題4 對(duì)例題的運(yùn)算你有什么看法？是如何進(jìn)行的？師生活動(dòng) 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算，一般根號(hào)下不含分母和開(kāi)得盡方的因數(shù)。學(xué)生能說(shuō)明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道，分母不為零就可以了。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶探究乘法法則的過(guò)程，類(lèi)比該過(guò)程，學(xué)生可以探究除法法則．2．觀察思考，理解法則問(wèn)題2 教材第8頁(yè)“探究”欄目，計(jì)算結(jié)果如何？有何規(guī)律？師生活動(dòng) 學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：。4教學(xué)過(guò)程4。教學(xué)中不能只是列舉題型，應(yīng)以各級(jí)各類(lèi)習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生把握運(yùn)算過(guò)程，估計(jì)運(yùn)算結(jié)果，明確運(yùn)算方向。（3） 理解最簡(jiǎn)二次根式的概念2學(xué)情分析本節(jié)內(nèi)容主要是在做二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，分母含根號(hào)的處理方式上，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)困難或容易失誤，在除法運(yùn)算中，可以先計(jì)算后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行，也可以先利用分式的性質(zhì)，去掉分母中的根號(hào)，再結(jié)合乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行。例2把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式：(1)5；(2)11；(3)；(4)．例3把下列各式寫(xiě)成平方差的形式，再分解因式：(1)4x21；(2)a49；(3)3a210；(4)a46a2+9．解：(1)4x21=(2x)212=(2x+1)(2x1)．(2)a49=(a2)232=(a2+3)(a23)(3)3a210(4)a46a2+32=(a2)26a2+32=(a23)2(三)小結(jié)1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍問(wèn)題．2．關(guān)于公式的應(yīng)用。其中(2)、(3)、(4)題又運(yùn)用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運(yùn)算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的，說(shuō)明，這與帶分?jǐn)?shù)。時(shí)才成立，即a取任意實(shí)數(shù)時(shí)都成立。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中，就是一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。三、教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)的逆用。（三）情感態(tài)度：激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。問(wèn)題1 你能解釋下列式子的含義嗎？，. 根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空，并說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù).； ； ；.學(xué)生獨(dú)立完成填空后，讓學(xué)生展示其思維過(guò)程，說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù)． 問(wèn)題3 從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎？ 師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì)：例2 計(jì)算（1）；（2）.（≥0）（二）合作探究：?jiǎn)栴}4 你能解釋下列式子的含義嗎？，.（這些式子都表示一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根.）問(wèn)題5 根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空，并說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù).=，=，=，=.問(wèn)題6 從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎？ 師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì)：例3 計(jì)算（1）；（2）.（≥0）3．歸納代數(shù)式的概念問(wèn)題7 回顧我們學(xué)過(guò)的式子，如，這些式子有哪些共同特征？，（≥0），師生活動(dòng)：學(xué)生概括式子的共同特征，．綜合運(yùn)用（1）算一算：；（2）想一想：； 中，；.≥0時(shí)，等于多少？當(dāng)時(shí)，的取值范圍是什么？當(dāng)又等于多少？（3）談一談你對(duì)5．總結(jié)反思（1）你知道了二次根式的哪些性質(zhì)？（2）運(yùn)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)需要注意什么？（3）請(qǐng)談?wù)劙l(fā)現(xiàn)二次根式性質(zhì)的思考過(guò)程？（4）想一想，到現(xiàn)在為止，你學(xué)習(xí)了哪幾類(lèi)字母表示數(shù)得到的式子？說(shuō)說(shuō)你對(duì)代數(shù)式的認(rèn)識(shí)．6．布置作業(yè)：，、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì) ． ； ；.2．下列運(yùn)算正確的是（）．若4．計(jì)算: B.，則 ．．D.第二篇：《二次根式的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)《二次根式的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能：1．了解二次根式的概念，會(huì)確定二次根式成立的條件。第一篇：《 二次根式的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)《 二次根式的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)一．教學(xué)目標(biāo)（1）經(jīng)歷探索二次根式的性質(zhì)的過(guò)程，并理解其意義；（2）會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)；（3）了解代數(shù)式的概念．二、教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)和應(yīng)用三、教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。四、教學(xué)過(guò)程：（一）自學(xué)指導(dǎo)：當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的（），因此，=（）；就是說(shuō)（）0；當(dāng)a=0時(shí)，表示a的（），因此，（a≥0）總是一個(gè)（）數(shù)。（二）過(guò)程與方法：體驗(yàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，感受由特殊到一般的方法。二、教學(xué)重點(diǎn)：二次根式成立的條件，雙重非負(fù)性；用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。四、教學(xué)準(zhǔn)備：課件五、教學(xué)過(guò)程：(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)1．什么叫二次根式？2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實(shí)數(shù)．(二)二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義，并了解了第一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)我們知道，正數(shù)a有兩個(gè)平方根，分別記作零的平方根是零。將符號(hào)“”看作開(kāi)平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個(gè)數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開(kāi)平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問(wèn)學(xué)生，a可以代表一個(gè)代數(shù)式嗎？請(qǐng)分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時(shí)才成立。我們知道如果