直線(xiàn)和平面垂直教案-展示頁(yè)
2024-10-28 15:20本頁(yè)面
【正文】 定理2呢？生：為了用判定定理1，我們可以首先在平面α內(nèi)作兩條相交直線(xiàn)m，n． 因?yàn)?a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（線(xiàn)面垂直的定義）又因?yàn)?a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一條直線(xiàn)垂直于平行線(xiàn)中的一條也就垂直于另一條）故 b⊥α．（線(xiàn)面垂直的判定定理1）三、直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理師：現(xiàn)在我們來(lái)研究直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，先來(lái)看模型．（這時(shí)教師用兩根小棍都垂直于桌面，讓學(xué)生觀察、回答）生：這兩直線(xiàn)平行．師：這就是直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理．直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行．已知：a⊥平面α，（如圖4）b⊥平面α，求證：a∥b．師：我們講過(guò)了線(xiàn)面垂直的判定定理2．也曾經(jīng)在講線(xiàn)面垂直的定義時(shí)，把課本中的兩句話(huà)（第24頁(yè)）升格為兩個(gè)定理，即：定理過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直． 定理 過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直． 現(xiàn)在可以根據(jù)上述定理來(lái)證明線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：生：可用反證法，假設(shè)b a，設(shè)b∩α＝O，過(guò)O點(diǎn)作b′∥a，因?yàn)閍⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以過(guò)點(diǎn)O有兩條直線(xiàn)b，b′都與平面α垂直，與垂線(xiàn)的唯一性矛盾，所以ba不能成立，所以b∥a．師：用反證法證明可以，也可以用同一法，即在證明的開(kāi)始不做假設(shè)b a，證完b′⊥α后，根據(jù)垂線(xiàn)的唯一性b′應(yīng)與b重合，所以b∥a．當(dāng)然，對(duì)反證法和同一法，我們主要要掌握反證法，對(duì)同一法只要求有所了解．四、兩個(gè)定義1．點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．（教師可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后給點(diǎn)到平面的距離下定義，下完定義后可指出，點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，即這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離）2．平行的直線(xiàn)和平面的距離一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線(xiàn)和平面的距離．（教師可先用一根小棍和平面平行，演示讓學(xué)生觀察，如何給平行的直線(xiàn)和平面的距離下定義，定義給出后，教師可指出平行的直線(xiàn)和平面的距離可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也就可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離）師：在這定義中，是這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線(xiàn)和平面的距離，那會(huì)不會(huì)因在直線(xiàn)上所取的點(diǎn)不同，而使距離不同呢？生：不會(huì)，它們之間的距離都相等．師：對(duì)，但為了在理論上說(shuō)明這個(gè)定義的合理性，我們來(lái)看下面這個(gè)例題． 例已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如圖5）求證：AA′＝BB′．生：因?yàn)锳A′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性質(zhì)定理），所以過(guò)AA′，BB′作平面β，設(shè)β∩α＝A′B′，因?yàn)閘∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行線(xiàn)間的距離處處相等）師：通過(guò)這個(gè)例題的證明，我們就了解了定義的合理性．可以在直線(xiàn)上任意取點(diǎn)．這對(duì)于以后我們求平行的直線(xiàn)和平面的距離，提供了很好的思路． 今天我們講了直線(xiàn)和平面垂直的第2個(gè)判定定理，講了直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，在這個(gè)基礎(chǔ)上還講了點(diǎn)到平面的距離、平行的直線(xiàn)和平面的距離兩個(gè)定義．作業(yè)課本第32頁(yè)習(xí)題四第3，5，8題． 補(bǔ)充題1．已知：平面α∩平面β＝直線(xiàn)l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C． 求證：AC⊥l．［提示：證明直線(xiàn)l⊥平面ABC］2．已知：AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A和B的點(diǎn)，PA⊥⊙O所在的平面．求證：BC⊥PC．［提示：證明BC⊥平面PAC］3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90176。PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D． 求證：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．［提示：（1）證明AB⊥平面PBC：（2）證明BD⊥平面PAC］ 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1．立體幾何第一章直線(xiàn)和平面主要研究的是空間兩條直線(xiàn)、空間直線(xiàn)和平面、空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系，其中以直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直、直線(xiàn)與平面的垂直、平面與平面垂直為重點(diǎn)．而直線(xiàn)與平面的垂直是其中的最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，它是三垂線(xiàn)定理及其逆定理、兩平面垂直的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ)．所以對(duì)直線(xiàn)與平面垂直的定義與判定定理一定要讓學(xué)生深刻理解、牢固記憶、靈活應(yīng)用．2．直線(xiàn)與平面垂直的定義，既是直線(xiàn)與平面垂直的最基本的判定方法，別的判定定理都是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過(guò)演繹推理而得，在這個(gè)意義上，我們說(shuō)直線(xiàn)與平面垂直的定義是最基本的判定方法；直線(xiàn)與平面垂直的定義又是直線(xiàn)與平面垂直最基本的性質(zhì)．別的性質(zhì)定理是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過(guò)演繹推理而得，在這個(gè)意義上，我們說(shuō)直線(xiàn)與平面垂直的定義是直線(xiàn)與平面最基本的性質(zhì)． 為了使學(xué)生理解直線(xiàn)與平面垂直的定義這兩種用法，以平面幾何中的平行四邊形的定義為例．平行四邊形的定義既是平行四邊形的最基本的判定方法，也是平行四邊形的最基本的性質(zhì)．別的判定定理和性質(zhì)定理都是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過(guò)演繹推理而得．在這里一定要讓學(xué)生深刻的理解并掌握應(yīng)用直線(xiàn)與平面垂直的定義是證明兩直線(xiàn)垂直最常用的方法．3．在課本第24頁(yè)給直線(xiàn)與平面垂直下定義后的這兩句話(huà)：“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直．”是兩個(gè)定理．關(guān)于垂線(xiàn)的唯一性和垂面的唯一性的這兩個(gè)定理是可以證明的．關(guān)于這兩個(gè)定理的證明可以參看1989年出版的《立體幾何全一冊(cè)（甲種本）教學(xué)參考書(shū)》第47頁(yè)第11題（1）、（2）．要讓學(xué)生了解這兩個(gè)定理，并會(huì)應(yīng)用這兩個(gè)定理，在證明直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，用到垂線(xiàn)的唯一性，以后在證課本第38頁(yè)習(xí)題五第4題時(shí)還要用到垂線(xiàn)的唯一性和垂面的唯一性．為什么課本在這里只是提出兩個(gè)唯一性沒(méi)有明確是兩個(gè)定理也沒(méi)有證明呢？這是課本的編者為了降低學(xué)習(xí)立體幾何的難度而這樣處理的．但我以為還是明確垂線(xiàn)的唯一性、垂面的唯一性是兩個(gè)定理，但可以不
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