【正文】 顯式通解的可能性十分有限 ,上述努力經(jīng)過(guò)一段時(shí)間便停滯下來(lái)。極限環(huán)，即孤立周期解，已成為許多實(shí)際問(wèn)題的核心，例如在無(wú)線電技術(shù)中的范德坡方程 (11) 便是非線性方程產(chǎn)生孤立周期振蕩的典型例子。例如工程控制論中火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中燃燒過(guò)程由于時(shí)滯現(xiàn)象而產(chǎn)生的帶有時(shí)滯的常微分方程或稱微分差分方程 (12) 這里 不僅依賴于 t時(shí)的φ (t)，而且還依賴于 (tτ )時(shí)的φ (tτ )和 μ (tτ )。又如由于空氣中的湍流對(duì)于飛行中飛機(jī)機(jī)翼所引起的干擾對(duì)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的影響，這里常微分方程帶有隨機(jī)攝動(dòng)項(xiàng)，如 14 式中 x是隨機(jī)輸入 ,α是反饋參數(shù) 。 （三）：偏導(dǎo)數(shù)的方程 含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的方程。 18世紀(jì) ，數(shù)學(xué)家們已開(kāi)始用偏 微分方程來(lái)研究問(wèn)題 。 1746 年 ， （兩端固定的弦的振動(dòng)問(wèn)題）： 由于弦的兩端固定，故在 x＝ 0 和 x＝ l 處（ l 為弦的長(zhǎng)度）應(yīng)滿足邊界條件： u（ 0， t）＝ 0 u（ l， t）＝ 0 t≥ 0（ 3）又當(dāng) t＝ 0時(shí)的狀態(tài)，即初始條件是 u（ 0， x）＝ j（ x） ut（ 0， x）＝ψ（ x）（ 4） 例 ??1 設(shè) 30 1??x , ? ? nnn xxx ??? 31 , 15 ? ??,2,1?n .證明 :數(shù)列 ??nx 的極限存在并求出此極限 . 例 1 可以作如下推廣 : 命題 1 若 px ?? 10 , ? ?nnn xpxx ???1 ,? ??,2,1? ,則數(shù)列 ??nx 的極限存在且為 2p . 證明 由 px ?? 10 知 00 11 ??? xpx 且 .由算術(shù) — 幾何平均不等式知 ? ? ? ? 2210 11112 pxpxxpxx ??????? , 假設(shè) 20 pxk ?? ? ?1?k ,再次用算術(shù) — 幾何平均不等式知 ? ? ? ? 2210 pxpxxpxx kkkkk ??????? , 由數(shù)學(xué)歸納法知 ,對(duì)任意正整數(shù) 1?n 均有 20 pxn?? ,因而數(shù)列 ??nx 有界 .又當(dāng) 1?n時(shí) , ? ? 111 ????????nnnnnnnn xpx xpx xpxxx, 故 1?? nn xx ? ?1?n ,即數(shù)列 ??nx 單調(diào)遞增 .由數(shù)列的單調(diào)有界定理知 nn x??lim 存在 ,設(shè)為 a ,對(duì) ? ?nnn xpxx ???1 兩邊同時(shí)取極限得 : ? ?apaa ?? ,可解得 2pa? 或 0?a （舍去） . 16 故 2lim pxnn ??? . 注 由命題 1 立得例 1 的極限存在且為 23 . 例 ??12 證明數(shù)列 ??nx 收斂 ,其中 11?x , ???????? ??? nnn xxx 3211 , ?,2,1?n ,并求極限 nn x??lim . 通過(guò)觀察、猜想、分析可將例 2 推廣為以下更一般的形式 : 命題 2 若 Npxa ??? ,0,0 1 ,定義 pnnn xpaxppx ?? ??? 11 1, ?,2,1?n ,則數(shù)列 ??nx 存在極限且為 pa1 . 證明 由 01?x 可知 ? ? pax axppx axppxpaxppx p pppp 111111111112 1111 ??????????? ?????? ????, 當(dāng)且僅當(dāng) pax 11? 時(shí)取等號(hào) . 設(shè) paxk 1? ,則 17 ? ? ?????? ?????? ??? 111 111 pkkpkkk x axppxpaxppx = ?????????? ??????111pkpkkk xaxxxp ?? ??? ?? ?個(gè) pax axpp p pkpk 1111 ????? ??, 當(dāng)且僅當(dāng) paxk 1? 時(shí)取等號(hào) . 二 遞增方程的應(yīng)用 (一 )：遞增數(shù)列 由數(shù)學(xué)歸納法可知 ,對(duì)一切自然數(shù) n 均有 Mxn? 成立 .所以數(shù)列 ??nx 是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列 . （ i）當(dāng) ax?1 時(shí) ,同理可證數(shù)列 ??nx 是單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列 . 18 由（ i）可知數(shù)列 ??nx 是單調(diào)有界數(shù)列 ,從而命題 3 得證 . 注 由以上第一章的命題可知數(shù)列 ??na 是單調(diào)有界數(shù)列 ,則必收斂 ,設(shè) lann ???lim , 對(duì) ? ? 3131 21 ?? ?? nnn aaa 兩邊同時(shí)取極限的得 : ? ?3131lll ?? 即 313 lll ?? .所 以 l 是方程313 xxx ?? 的一個(gè)正根 ,從而例 3得證 . 例 1 已知 60?a , 16 ??? nn aa , ? ??,2,1?n .證明 nn a??lim 存在并求其值 . 例 1 可以作如下推廣 : 命題 1 若 00?x , p nn xax ???1 ,? ??,2,1,0,0 ??? nNpa ,則數(shù)列 ??nx 極限存在且為0??? allp 的正根 . 證明 由 p nn xax ???1 得 npn xax ???1 .又 00?x , 0?a ,則 001 ???? pp aax .由遞推關(guān)系知 0?nx . 因函數(shù) pxy? 是遞增 函數(shù) ,則由 19 ? ? 111 ??? ??????? nnnnpnpn xxxaxaxx 知 pnpn xx ??1 與 1?? nn xx 的符號(hào)相同 .而 1?? nn xx 的符號(hào)又與 pnpn xx 1?? 的符號(hào)相同 ,故依次下去便知最終與 12 xx? 的符號(hào)相同 .而 01112 ????????? ppppp aaaaxxaxx , 即 pp xx 12 ? ,所以 012 ??xx ,從而 01 ??? pnpn xx ,于是便有 nn xx ??1 ,故數(shù)列 ??nx 是單調(diào)遞增數(shù)列 . 又 11 ??? pp aax ,假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)都有 1??pk ax 成立 ,則當(dāng) 1??kn 時(shí) , ? ? 1111 ?????????? pp ppp pp kk aaaaxax , 由數(shù)學(xué)歸納法知 ,對(duì)一切自然樹(shù) n 都有 1??pn ax ,即數(shù)列 ??nx 有界 . 由數(shù)列的單調(diào)有界定理知數(shù)列 ??nx 必存在極限 ,設(shè) lxnn ???lim ,對(duì) p nn xax ???1 兩邊同時(shí)取極限的得 lalp ?? 即 0??? allp .所以數(shù)列 ??nx 收斂 于方程 0??? allp 的正根 . 例 2 用經(jīng)典四階 RK方法計(jì)算初值問(wèn)題 20 步長(zhǎng)取 h= 及 ,給出計(jì)算誤差并分析其穩(wěn)定性 . 解 本題直接按 RK方法的公式計(jì)算 .因精確解為 ，其計(jì)算誤差如表所示 . 圖 21 從計(jì)算結(jié)果看到， h= 時(shí)誤差很大，這是由于在λ =20,h= 時(shí)λ h=4，而四階RK方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為［ ,0］ ,故 h=，誤差很大 .而 h=時(shí) =2，其值在絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間［ ,0］內(nèi)，計(jì)算穩(wěn)定，故結(jié)果是可靠的 . (二 )：數(shù)列的極限 推論 若 00?x , 0?a , nn xax ???1 ? ??,2,1,0?n ,則數(shù)列 ??nx 的極限存在且收斂于方程 02 ??? axx 的一個(gè)正根 ,即 2 411lim axnn ????? . 21 注 利用該推論易知例 4 中的數(shù)列 ??na 的極限存在且為 文 [4]、 [5]中的一些題也可由此推論直接得出 . 例 1 設(shè) ax?1 , by?1 , ba??0 , Np? ,數(shù)列 ??nx 、 ??ny 分別定義為 nnn yxx ??1 , 21 nnnyxy ??? , 證明 nnnn yx ???? ? limlim . 例 1 可以作如下推廣 : 命題 設(shè) ax?1 , by?1 , ba??0 , Np? ,數(shù)列 ??nx 、 ??ny 分別定義為 p npnn yxx 11 ?? ? , ? ?p yxpy nnn ???? 11, 則仍有 nnnn yx ???? ? limlim 成立 . 證明 由已知 110 ybax ???? 可得 01?x , 01?y . 假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)均有 0?kx , 0?ky ,? ?Nkk ?? ,1 ,則當(dāng) 1??kn 時(shí)有 011 ?? ?? p kpkk yxx , ? ? 011 ????? p yxpy kkk , 22 由數(shù)學(xué)歸納法知 ,對(duì)任意自然數(shù) n 都有 0?nx , 0?ny 成立 .由算術(shù) — 幾何平均不等式知 ? ? 011 1111 ????????? ???? np npnp npnnnn xyxyxppp yxpy , 當(dāng)且僅當(dāng) nn yx ? 時(shí)取等號(hào) . 而當(dāng) 1?n 時(shí) , 111 ??? ?? pnnnp npnnn xyx yxxx, 即 1?? nn xx , ? ? ? ? ? ? ? ? 011111 ?????????????? nnnnnnnnn yxppp ypxpyp yxpyy , 即 1?? nn yy .故有 nnnn yyxx ??? ?? 11 . 而當(dāng) 1?n 時(shí) ,由于 110 ybax ???? ,所以就有 11112 xyxx p p ?? ? , ? ? 1112 1 yp yxpy ???? , 因此對(duì)任意自然數(shù) n 都有下式成立 23 byyyyyxxxxxa nnnn ????????????? ?? 12311321 ??, 所以數(shù)列 ??nx 、 ??ny 均為單調(diào)有界數(shù)列 . 故由數(shù)列的單調(diào)有界定理知 nn x??lim 、 nn y??lim 存在 ,分別設(shè)為 l 、 m ,對(duì)? ?p yxpy nnn ???? 11兩邊同時(shí)取極限得 ? ?p mlpm ??? 1 ,可解得 ml? ,即 nnnn yx ???? ? limlim . 注 例 5 是命題 5 的特殊形式 ,證明類似 . 通過(guò)以上這簡(jiǎn)單的五個(gè)例子很容易看出它們是各自推廣后命題參量的特殊值 ,還有好多題都可直接根據(jù)這些命題很快得出其極限值 . 例 2 將例 1的初值問(wèn)題用修正的 MilneHamming 預(yù)測(cè) 校正公式計(jì)算 及 ，初值 ，仍用已算出的精確解，即，給出計(jì)算結(jié)果及誤差 從結(jié)果看，此方法誤差比四階 Adams 隱式 法和四階 Hamming 方法小，這與理論分析一致 . 講解： 線性多步法的局部截?cái)嗾`差定義為與單步法相似，可表示為 24 三：與積分有關(guān)的數(shù)列的極限問(wèn)題 (一 )：積分的應(yīng)用 本節(jié)主要是就一些與積分有一定聯(lián)系的數(shù)列舉了兩個(gè)例子 ,判斷它們的方法也主要是單調(diào)有界定理 ,進(jìn)一步證明了單調(diào)有界定理在判斷數(shù)列收斂即極限存在問(wèn)題中的應(yīng)用 . 例 1 證明 ?????? ?????nkn nkk2 )ln(l nln1lim 存在 . 證明 設(shè) xxxf ln1)( ? ,可知 )(xf 在 ? ???,1 上非負(fù)單調(diào)遞減 ,所以 ??? ??? ?? 12122 ln1ln1ln1 nknn kkdxxxdxxx , 即 ????? 12 ln1)2ln(l n)ln(l n nk kkn , 亦即 )2l n(l n)l n(l nln12 ???? ??nkn nkka , 所以數(shù)列 ??na 有界 .又 25 ??? nn aa 1 ?????? ?????12 )1ln(l nln1nk nkk ?????? ?? ??nk nkk2 )ln( lnln1 = )1ln()1( 1 ?? nn ? ?)ln ( ln))1ln ( ln ( nn ??? = )1ln()1( 1 ?? nn dxxxnn? ?? 1 ln1 )1ln()1( 1 ??? nn dxnnnn? ? ??? 1 )1ln ()1( 1 =0, 即 nn aa ??1 ,所以數(shù)列 ??na 是單調(diào)遞減的數(shù)列 .由數(shù)列的單調(diào)有界定理知 ,數(shù) 列 ??na 的極限存在 ,也就是 ?