【正文】 ? ?)()()( jkxkxEjP x ?? 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型， 可用如下的測量方程給出 )()()( kvkcxky ?? (22) 式中： )(kx 為 k 時刻的信號值。當(dāng)取樣時刻的時標(biāo) k變化時，我們就得到一個離散的隨機(jī)過程，即隨機(jī)序列｛ x（ k）｝。利用前一時刻預(yù)報誤差反 饋到原來的預(yù)報方程 ,通過修正原預(yù)報方程系數(shù) ,來提高一下時刻的預(yù)報精度 ,這是卡爾曼濾波與多元回歸預(yù)報方法的最大區(qū)別 ,也是它的最大優(yōu)點。 具體流程如下： 系統(tǒng)建模 組織相似狀態(tài)向量集 形成卡爾曼濾波器的疊代初始值 狀態(tài)觀測器的設(shè) 計 MATLAB 編程 運(yùn)行與調(diào)試 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX 卡爾曼濾波方法是由 建立的 ,他在 Wiener 平穩(wěn)隨機(jī)過程的濾波理論基礎(chǔ)上建立了一種新的遞推式濾波方法 ,可借助于前一時刻的濾波結(jié)果 ,遞推出現(xiàn)時刻的狀態(tài)估計量 ,因而大大提高了下一時刻的預(yù)測精度。因而適用范圍有限，對于復(fù)雜的多峰情況，還得求助于其它方法。與 EKF 相比， UKF 的誤差僅僅出現(xiàn)在三階 以上的矩中，而且計算也簡單，而 EKF 僅僅精確到一階矩。由于 EKF 使用泰勒展開的一階近似，跟蹤一段時間之后，經(jīng)常會引起很大的參數(shù)估計的累計誤差。由于它能夠?qū)ξ矬w的運(yùn)動建立某種模型，因此在跟蹤中經(jīng)常被用到?？柭^濾中信號和噪聲是狀態(tài)方程和their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX量測方程表示的，因此設(shè)計卡爾曼濾波器要求已知狀態(tài)方程和量測方程。而卡爾曼過濾是用前一個估計值和最近一個觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當(dāng)前值，是用狀態(tài)方程和遞推的方法進(jìn)行估計的，其解是以估計值形式給出。然而，它們解決的方法有很大區(qū)別。 卡爾曼濾波器的基本思想 卡爾曼濾波是線性無偏最小均方誤差遞推濾波器。從統(tǒng)計的觀點來看，一個濾波器的輸出越接近實際有用信號，這個濾波器就越好。此外，測量裝置也會有隨機(jī)噪聲。但是，我們所遇到的信號和噪聲有時可能是隨機(jī)的，其特性往往只能從統(tǒng)計的意義上來描述。 從經(jīng)典濾波的觀點來看，有用信號和噪聲信號是分布在不同頻帶之內(nèi)。 與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器不僅可使體積縮小，成本降低，而且還有如下優(yōu)點：第一，濾波器的參數(shù)可根據(jù)對濾波器性能指標(biāo)的要求來設(shè)定，從而具有較高的精度；第二，濾波器的參數(shù)很容易重新設(shè)定或使具有自適應(yīng)性；第三，有些采用微處理機(jī)的數(shù)字 濾波器可實現(xiàn)對微處理機(jī)的分時使用，從而大大提高工作效率。只讀存儲器以及微處理機(jī)這樣一些與傳統(tǒng)的模擬濾波電路元件截然不同的電路元件和模塊被廣泛應(yīng)用于數(shù)字濾波電路中，以適應(yīng)離散數(shù)字信號處理的要求。 隨著集成電路技術(shù)的出現(xiàn)，特別是數(shù)字電子計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，模擬濾波器 開始向數(shù)字濾波器方向發(fā)展。非線性濾波器實例their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX還有：自動增益控制電路，調(diào)頻接收機(jī)中的鎖相環(huán)以及近年來在組合音響裝置中用來提高信噪比的 Dobly 系統(tǒng)等。信號在通過中放級時，通帶內(nèi)的成分將被放大，而阻帶內(nèi)的成分將大大衰減，而且對通帶內(nèi)的信號還有放大作用。也是一種濾波器。 具有選頻特性的串聯(lián)或并聯(lián)諧振回路，是一種常用的濾波器。我們也可以用機(jī)械元件代替電子元件，制成機(jī)械式濾波器，或利用物質(zhì)的鐵磁共振原理制成可點電調(diào)諧的濾波器。劃分通帶和阻帶的頻率，稱為濾波器的截止頻率。 濾波器的發(fā)展 濾波器最初是指某種具有選頻特性的電子網(wǎng)絡(luò)，一般由線圈、電容器和電阻器等元件組成?？柭言诟鱾€領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，包括機(jī)器人導(dǎo)航、控制、傳感器數(shù)據(jù)融合甚至軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等。他不是從頻域，而是從時域的角度出發(fā)來考慮問題。 為了克服維納濾波器的上述不足 之處，卡爾曼等人在維納濾波的基礎(chǔ)上，與 60年代初提出了一種遞推濾波方法，稱為卡爾曼濾波。 由于軍事上的需要，維納濾波器在第二次世界大戰(zhàn)期間得到了廣泛的應(yīng)用。their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX1. 緒論 概述 在濾波器的發(fā)展過程中，早期的維納濾波器涉及到對不隨時間變化的統(tǒng)計特性的處理，即靜態(tài)處理。在這種信號處理過程中，有用信號和無用噪聲的統(tǒng)計特性可與它們的頻率特性聯(lián)系起來，因此與經(jīng)典濾波器在概念上還有一定的聯(lián)系。但是，維納濾波器有如下不足之處：第一，必須利用全部的歷史觀測數(shù)據(jù)，存儲量和計算量都很大；第二，當(dāng)獲得新的觀測數(shù)據(jù)時，沒有合適的遞推算法，必須進(jìn)行重新計算；第三，很難用于非平穩(wěn)過程的濾波。與維納濾波不同，卡爾曼濾波是對時變統(tǒng)計特性進(jìn)行處理。 30 多年來。近年來更被應(yīng)用于計算機(jī)圖象處理，例如頭臉識別、圖象分割、圖象邊緣檢測等等。濾波器將使它所容許通過的頻率 范圍（即通帶）內(nèi)的電信號產(chǎn)生較小的衰減，而使它所阻止通過的頻率范圍（即阻帶）內(nèi)的電信號產(chǎn)生較大衰減。 按組成電路的元件，濾波器可分為 LC、 RLC、 RC、晶體和陶瓷濾波器等。 按容器通過的頻率范圍，濾波器可分為低通，高通，帶阻和帶通濾波器等。收音機(jī)或其他差式接收機(jī)中的中頻放大器，也是一中濾波器。各 級中頻放大器中回路靠放大器和變壓器來耦合，形成一定的通帶和阻帶。 此外，調(diào)幅波接收機(jī)中的包絡(luò)是一種非線性濾波器。 上面所舉的這些濾波器，不論是線性還是非線性的，由于都是用來對模擬信號進(jìn)行處理，故統(tǒng)稱為模擬濾波器或經(jīng)典濾波器。 A/D 或 D/A 轉(zhuǎn)換器，移位寄存器。即使是模擬信號，也可通過 A/D 轉(zhuǎn)換先變成離散的數(shù)字信號，經(jīng)相應(yīng)的處理后再恢復(fù)成模擬信號。 經(jīng)典濾波器的另一發(fā)展方向，就是利用統(tǒng)計理論來處理濾波問題，由此，產(chǎn)生了統(tǒng)計濾波器。因此，我們可用具有一定選頻特性的經(jīng)典濾波網(wǎng)絡(luò)把噪聲盡可能地濾除，而保留畸變不大的有用信號。例如，在導(dǎo)彈控制系統(tǒng)中，由于目標(biāo)運(yùn)動的隨機(jī)性，目標(biāo)的位置和速度都是隨機(jī)的。此時，我們就不可能采用一般的經(jīng)典 濾波器把有用信號從測量結(jié)果中分離出來，而只能用統(tǒng)計估算方法給出有用信號的最優(yōu)估計值。也就是說，最優(yōu)濾波器是輸出最接近于實際有用的信號的濾波器。與維納濾波相比，在平穩(wěn)條件下，它們所得到的穩(wěn)態(tài)結(jié)果是一致的。維納濾波是根據(jù)全部過去的和當(dāng)前的觀察數(shù)據(jù) 來估計信號的當(dāng)前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)或單位樣本響應(yīng) h(n)的形式給出的，因此稱這種系統(tǒng)為最佳線性過濾器或濾波器。因此稱這種系統(tǒng)為線性最優(yōu)估計器或濾波器。 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器是在最小均方誤差準(zhǔn)則下的最佳線性過濾器，就是說，它使系統(tǒng)的狀態(tài)向量和狀態(tài)向量的預(yù)測值之間的均方誤差達(dá)到最小，它用狀態(tài)方程和遞推方法進(jìn)行估計，它的解是以估計 值形式給出的。當(dāng)觀測方程不是線性時，上述標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程不再適用，但是如果狀態(tài)估計值離真實值不是很遠(yuǎn)，可以將觀測方程局部線性化，得到擴(kuò)展卡爾曼濾波器（ EKF）。為此， Unscented Kalman Filter (UKF) 不再近似估計觀測方程，它仍然用高斯隨機(jī)變量表示狀態(tài)分布，不過是用特定選擇的樣本點加以描述?？偟膩碚f，卡爾曼濾波是一個線性的估計器，能夠有效地跟蹤物體的運(yùn)動和形狀變化，但它基于兩個假設(shè)：一是背景相對干凈；二是運(yùn)動參數(shù)服從高斯分布。 課題解決方案 本課題采用卡爾曼濾波器技術(shù)對熱力系統(tǒng)進(jìn)行溫度估計，選取溫室室內(nèi)溫度作為系統(tǒng)研究對象。該方法不但需要的歷史資料很短 (2～ 3 月 ),而且大大減少了計算機(jī)的存儲量和計算量。 一維時變隨機(jī)信號的數(shù)學(xué)模型 對每一確定的取樣時刻 k， x（ k）是一個隨機(jī)變量。 假設(shè)待估隨機(jī)信號的數(shù)學(xué)模型是一個由白噪聲序列｛ w（ k）｝驅(qū)動的一階自遞歸過程，其動態(tài)方程為： )1()1()( ???? kkaxkx ? (21) 式中：參數(shù) a＜ 1 （ 21）式中的 w（ k1）稱為過程噪聲或動態(tài)噪聲。 )(ky 為該時刻對 )(kx 進(jìn)行測量所得到的信號測量樣值。當(dāng) k 變化時， )(kx 將組成一個隨機(jī)信號序列 ? ?)(kx ， )(ky將組成一個測量樣值序列 ? ?)(ky ， )(kv 而將組成一個附加白噪聲序列 ? ?)(kv 。 因為量測噪聲序列是一個白噪聲序列，故其統(tǒng)計特性可用如下的數(shù)字特征來描述： 均值 ? ? 0)( ?kvE 方差 ? ? ??? 22)( vkvE 常數(shù) 自相關(guān)序列 ? ? jkjkvjvkvE ???????? ? 20)()( 又因量測噪聲序列 ? ?)(kv 與隨機(jī)信號序列 )(kx 互不相關(guān)，故? ? 0)()( ?jvkxE their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX所以，我們可以得到一維時變隨機(jī)信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型，見圖21。 若上述個一階自遞歸過程中的過程噪聲是彼此獨立的白噪聲序列，則可以定義一個由這 q 個獨立的標(biāo)量隨機(jī)信號組成的 q 維隨機(jī)信號向量 ???????????????)(......)()()( 21kxkxkxkxq (24) 和一個由 q 個獨立的白噪聲序列組成的 q 維過程噪聲向量 T a + + x(k1) x(k) w(k1) C + + v(k) y(k) their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX ???????????????)(......)()()( 21kwkwkwkwq (25) 并將（ 23）式寫成一個一階的向量方程 )1()1()( ???? kwkAxkx (26) 式中：和均為（ q 1）維列向量，而 A 則是一個（ q q）階矩陣 ???????????????qaaaA......0......0...00...021 (27) 我們稱之為系統(tǒng)矩陣。 多維測量數(shù)據(jù)向量及其數(shù)學(xué)模型 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX假設(shè)為了對一個 q 維隨機(jī)信號向量進(jìn)行最優(yōu)濾波或預(yù)測，在 k 時刻對)(kx 的前 r 個分量，令 r＜ q，同時進(jìn)行了一次測量。 （ 210）式可寫成一個一階向量方程 )()()( kvkCxky ?? （ 211） 式中： )(ky 和 )(kv 為（ r 1）維列向量， )(kx 為（ q 1）維列向量，而C 則是一個（ r q）階矩陣 ?????????????????0.. ... ... .0.. ... .0.. .0.. .00.. .0.. .021rcccC （ 212） 稱為量測矩陣回觀測矩陣。 在引入 r 維量測噪聲向量后，原標(biāo)量量測噪聲的方差此時也將變成量測噪聲向量的協(xié)方差矩陣 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX? ?TkvkvEkR )()()( ???????????????????2,22,221,1...00......0...00...0rvrvv （ 213） their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX3．卡爾曼濾波器 標(biāo)量卡爾曼濾波器的基本內(nèi)容 一維隨機(jī)信號的遞歸型估計器的一般表達(dá)式：)()()1()()( kykbkxkakx ??? ?? 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