【正文】 a B bBBc c B a?? ? ? ? ?的 對 邊 的 鄰 邊 的 對 邊斜 邊 斜 邊 的 鄰 邊 ∠ A 十∠ B＝ 90176。－ A)＝ cos B， cosA＝ sin(90176。即∠ B＝ 90176。 ∠ A 90176。 銳角三角函數(shù) 學習目標、重點、難點 【學習目標】 1． 掌握正切的意義，坡度的概念，用正切表示生活中物體的傾斜程度 . 2． 培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力 . 3． 積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心和求知欲 . 【重點難點】 1． 從現(xiàn)實情景中探索直角三角形的邊、角關(guān)系 . 2． 理解正切的意義和與生活現(xiàn)象 傾斜度、坡度的內(nèi)在本質(zhì)的統(tǒng)一性，密切數(shù)學與生活的聯(lián)系 . 3． 如何把正切的意義從現(xiàn)實生活中抽取并靈活應(yīng)用 . 知識概覽圖 ???銳 角 三 角 函 數(shù) 的 概 念銳 角 三 角 函 數(shù) 會 用 三 角 函 數(shù) 表 示 各 邊 的 比 值 新課導引 【生活鏈接】意大利比薩斜塔落成時已經(jīng)傾斜，你如何描述比薩斜塔的傾斜程度呢 ? 【點撥】我們可以用“塔身中心線偏離豎直中心線的角度”來描述比薩斜塔的傾斜程度．用該角的正切值來描述塔的傾斜程度，即該角的正切值越大，塔傾斜越嚴重．其實，角的正弦值、余弦值均可以描述塔的傾斜程度，即該角的正弦值越大，塔傾斜越嚴重；該角的余弦值越小，塔傾斜越嚴重． 教材精華 知識點 1 正切的概念 如圖 1— l 所示，在 Rt△ ABC 中，如果銳角 A確定，那么∠ A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做∠ A的正切，記作 tan A，即 tanA＝AA?? 的 對 邊的 鄰 邊． 拓展 (1)tan A是一個完整的符號，它表示∠ A的正切，記號里習慣省去角 的符號 “∠”．我們后面將要學習的 sinA， cos A 也是這樣． (2)當用三個大寫字母表示一個角，并表示它的正切時，角的符號“∠”不能省略，如 tan∠ BAC。(3)正切是在直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段長度的比值，它是數(shù)值，沒有單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在的直角三角形的大小無關(guān)． 知識點 2 正切的應(yīng)用 正切值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系． tanA 的值越大，梯子越陡． 拓展 當梯子的傾斜角確定時，其對邊與鄰邊的比值便隨之確定，因此，可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比，即傾斜角的正切值來刻畫梯子的傾斜程度． 用正切來描述山坡的坡度． 坡角越大，坡度越大，坡面越陡． 拓展 工程上，斜坡的傾斜程度通常用坡度來表示，而坡度是坡角的正切．坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度 (或坡比 )．通常坡度用字母 i 表示． 知識點 3 正弦和余弦的概念 如圖 1— 2 所示，在 Rt△ ACB 中，如果銳角 A確定，那么∠ A 的對邊與斜邊的比 、鄰邊與斜邊的比也隨之確定． ∠ A 的對邊與斜邊的比叫做∠ A 的正弦，記作 sin A，即 sinA＝ A? 的 對 邊斜 邊． ∠ A 的鄰邊與斜邊的比叫做∠ A的余弦，記作 cos A，即 cosA＝ A? 的 鄰 邊斜 邊． 拓展 (1)正弦、余弦的概念是類比正切得到的，其本質(zhì)也是兩條線段長度的比值，它只是一個數(shù)值，沒有單位，其大小只與角的大小有關(guān)，與三角形的大小無關(guān)． (2)在直角三角形中，斜邊大于直角邊，且各邊長均為正數(shù)，所以有如下結(jié)論： 0sin A l， 0cos A1． (3)正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系： sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡．從理論上講，正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實際中通常使用正切． 知識點 4 三角函數(shù)的概念 銳角 A的正弦、余弦和正切都是∠ A的三角函數(shù) ． 拓展 在銳角 A 的三角函數(shù)的概念中，∠ A 是自變量，其取值范圍是 0176。三個比值是因變量．當∠ A確定時，三個比值分別唯一確定；當∠ A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng)． 知識點 5 互余兩角的 正弦與余弦的關(guān)系 如圖 1— 3所示，∠ A的對邊恰是∠ B 的鄰邊，而∠ B的對邊也恰是∠ A 的鄰邊． ∵ sinA＝ Aac? ?的 對 邊斜 邊， cosB＝B ac?的 鄰 邊斜 邊， ∴ sinA＝ cosB．同理可得 cosA＝ sinB， 又∠ A 十∠ B＝ 90176。－∠ A， ∴ sinA=cos(90176。－ A)＝ sinB． 也就是 說， 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值． 拓展 此結(jié)論適用于所有兩個角互為余角的情況，它們并不一定是同一直角三角形中的兩個銳角． 規(guī)律方法小結(jié) 在本節(jié)知識的學習中，一定要仔細體會數(shù)形結(jié)合的思想，掌握數(shù)形結(jié)合的方法．本節(jié)從正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推導，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．對于銳角三角函數(shù)的有關(guān)概念，應(yīng)通過畫圖找出直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，加深對概念的理解． 本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，是全章的重點，也是難點，現(xiàn)將本節(jié) 知識歸納如下（參照圖 1— 3） : sin A＝ , c os , ta n 。si n c os( 90 ) c os ,c os si n( 90 ) si n .A A BA A B? ? ? ??? ? ? ? ??? 課堂檢測 基本概念題 在△ ABC 中，∠ C＝ 90176。 AC＝ 12， BC＝ 5． (1) 求 AB 的長； (2) 求 sin A， cos A的值； (3) 求 sin2 A+cos2 A的值； (4) 比較 sin A與 cos B的大小； (5) 比較 tan A與sincosAA的大小． 綜合應(yīng)用題 已知α為銳角，且 tanα是方程 x2 － 2x－ 3＝ 0的一個根，求 tan2a+2tanα +1 的值． 如圖 1－ 8 所示，在梯形 ABCD 中， AD∥ BC， AB＝ DC， AD＝ 6， BC＝ 14， S梯形 ABCD＝ 40，求 tan B的值． 求證：平行四邊形 ABCD 的面積 S＝ AB sin B (∠ B 為銳角 )． 探索與創(chuàng)新題 已知 a為銳角，且 tan a＝ 3，求sin cossin 2cosaa??的值． 如圖 l12所示，如果△ APB 繞點 B按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 30176。=624?， cos15176。 sin A =12， AC=23，那么 BC 的值為 ( ) A． 2 B． 4 C． 43 D． 6 如圖 l16 所示，某河堤的橫斷面是梯 形 ABCD， BC∥AD，迎水坡 AB 長 13米，且 tan∠ BAE＝125，則 河堤的高 BE 為 米 ． 如圖 1－ 17 所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AC⊥ AB，AD＝ CD， cos B＝513， BC＝ 26． (1)求 cos∠ DAC 的值； (2)求 AD 的長． 學后反思 附： 課堂檢測及體驗中考答案 課堂檢測 ┃分析┃ 根據(jù)題意畫出圖形，如圖 14 所示，由正弦的概念可知 sin A＝ A? 的 對 邊斜 邊，∴ sinA＝35BC?AB，設(shè) BC＝ 3k， AB＝ 5k，由勾股定理得 AC＝22BC?＝22(5 ) (3 )kk?＝ 4k，∴ BC：AC＝ 3k： 4k＝ 3： 4．故選 A. 【解題策略】 (1)本例求 BC： AC 的值，實際上就是求∠ A 的正切值，即 tan A． (2)解此類型題可根據(jù)題意畫出圖形，借助圖形幫助分析． ┃分析┃ 如圖 1— 5 所示，由坡度的定義可知 i＝ tan A＝34BCAC?，設(shè) BC ＝ 3k m ，則 AC ＝ 4k m ，由勾股 定理得 AB ＝2 2 2 2( 3 ) ( 4 )BC AC k k? ? ?=5 k（ m） ， 5k=10 所以 k=2，所以他所在的位置比原來的位置升高了 BC＝ 3k＝ 6(m)．故填 6． 【解題策略】 (1)坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，即坡度是坡角的正切值． (2)坡度通常用字母 i表示． (3)坡度與坡角 (用 a表示 )的關(guān)系是 i＝ tanα． ┃分析┃ 解本題的關(guān)鍵是求出 sin A， cos A， cos B， tan A 的值，而要求這些銳角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于正確理解正弦、余弦、正切的概念，找準與之相關(guān)的邊。 AC＝ 12， BC＝ 5，∴ AB＝2 2 2 212 5AC BC? ? ?＝ 13． (2)sinA＝5 12, c os .13 13BC ACA AB? ? ? (3)∵ sin2A＝2 2 25 25 12 144( ) , c os ( ) ,13 169 13 169A? ? ? ∴ sin2 A+cos2 A＝25169＋144169＝ 1． (4)∵ cosB＝5 ,13AB?∴ sin A＝ cos B． (5)∵ tan A＝55 si n 513,1212 1213BC AAC ? ? ?，∴ tanA＝sincosAA． 【解題策略】 正確運用正弦、余弦、正切的概念是解此類題的關(guān)鍵． ┃分析┃ 利用解一元二次方程的方法解答此題． 解 ：解方程 x2－ 2x－ 3＝ 0，得 xl＝ 3， x2＝一 1． ∵ tanα是方程 x2－ 2x 一 3＝ 0的一個根，且α為銳角，∴ tanα＝ 3， ∴ tan2 a+2tan a+l＝ (tan a+1)2＝ (3+1)2＝ 16． 【解題策略】 本題應(yīng)注意：若 a 為銳角，則 tan a0． ┃分析┃ 要求 tan B，應(yīng)把∠ B 置于一個直角三角形中，圖中沒有包含∠ B 的直角三角形，因此，應(yīng)通過添加輔助線構(gòu)造包含∠ B的直角三角形． 解 ：過 A 作 AE⊥ BC 于 E，∵梯形 ABCD 是等腰梯形， ∴ BE=12(BC－ AD)=12 (14－ 6)＝ 4． ∵ S 梯形 ABCD＝ (AD 十 BC) (6 十 14) sin B， ∴ S□ ABCD＝ BC BC∠ A＝ a， ∵ tan a＝BCAC=3，∴設(shè) AC＝ k，則 BC＝ 3k， ∴ AB＝2 2 2 2( 3 ) 10 ,AC BC k k k? ? ? ? ∴ sin a=3 3 10 10, c os ,10 1010 10BC k AC kaAB ABkk? ? ? ? ? ∴3 10 10 2 10si n c os 210 10 10si n 2 c os 53 10 2 10 5 1010 10 10aaaa??? ? ??? 解法 2：∵ a為銳角，∴ cosa≠ 0，∴si n c os si n 1si n c os c os c os ,si n 2 c os si nsi n 2 c os 2c os c osa a aaaa a aaa? ?? ??? ? ∵ tan a＝sincosaa=3，∴原式 =3132??=25. 【解題策略】 掌握各三角函數(shù)之間的關(guān)系是熟練解題和簡便解題的基礎(chǔ)，應(yīng)結(jié)合題型靈活運用三角函數(shù)之間的關(guān)系式． ┃分析┃ 如圖 1－ 13 所示，連接 PP′，過點 B作 BC⊥ PP′，垂足為 C．∵∠ PBP′＝ 30176?！?PC＝ BPsin∠ PBC=2 sin l5176。 AE，即 12 AE=84， ∴ AE＝ 12．在 Rt△ AEB 中， BE= 2 2 2 215 12AB AE? ? ?=9， ∴ CE＝ BC－ BE=14－ 9＝ 5， 在 Rt△ AEC 中， tan∠ ACE＝125AECE?． (2)由 (1)知 CE＝ 5， AE＝ 12， 在 Rt△ AEC 中， AC＝2 2 2 212 5AE C E? ? ? ?13， 過點 C作 CD⊥ AB于 D，則 S△ ABC＝12AB 15 cos B=? ∵