高中數(shù)學(xué)人教a版選修2-3131二項(xiàng)式定理教案-展示頁
2024-12-01 23:24本頁面
【正文】 2）∵ 91()xx?的展開式的通項(xiàng)是 9 9 21 9 91( ) ( 1 )r r r r r rrT C x C xx??? ? ? ? ?， ∴ 9 2 3r??， 3r? ， ∴ 3x 的系數(shù) 339( 1) 84C? ?? ， 3x 的二項(xiàng)式系數(shù) 39 84C? ． 例 7． 求 42 )43( ?? xx 的展開式中 x 的系數(shù) 分析：要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開 解：（法一） 42 )43( ?? xx 42 ]4)3[( ??? xx 0 2 4 1 2 344( 3 ) ( 3 ) 4C x x C x x? ? ? ? ?2 2 2 24 ( 3 ) 4C x x? ? ? 3 2 3 4 444( 3 ) 4 4C x x C? ? ? ? ?， 顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含 x 的項(xiàng)， ∴展開式中含 x 的項(xiàng)的系數(shù)是 76843 334 ????? C （法二）： 42 )43( ?? xx 4)]4)(1[( ??? xx 44 )4()1( ??? xx )( 4434224314404 CxCxCxCxC ????? 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 44 4 4 4 4( 4 4 4 4 )C x C x C x C x C? ? ? ? ? ? ? ? ∴展開式中含 x 的項(xiàng)的系數(shù)是 34C? 3344 44 C? 768?? ． 例 8． 已知 ? ? ? ?nm xxxf 4121)( ???? *( , )mn N? 的展開式中含 x 項(xiàng)的系數(shù)為 36 ，求展開式中含 2x 項(xiàng)的系數(shù)最小值 分析：展開式中含 2x 項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于 nm, 的關(guān)系式，由展開式中含 x 項(xiàng)的系數(shù)為 36 ，可得 3642 ?? nm ，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 m 或 n 的二次函數(shù)求解 解： ? ? ? ?1 2 1 4mnxx? ? ?展開式中含 x 的項(xiàng)為 1124mnC x C x? ? ? ? 11(2 4 )mnC C x? ∴ 11(2 4 ) 36mnCC??，即 2 18mn??， ? ? ? ?1 2 1 4mnxx? ? ?展開式中含 2x 的項(xiàng)的系數(shù)為 t? 2 2 2 224mnCC? 222 2 8 8m m n n? ? ? ?， ∵ 2 18mn??， ∴ 18 2mn?? ， ∴ 222 (1 8 2 ) 2 (1 8 2 ) 8 8t n n n n? ? ? ? ? ?216 14 8 61 2nn? ? ? 2 3 7 1 5 31 6 ( )44nn? ? ?，∴當(dāng) 378n? 時(shí)， t 取最小值，但 *nN? ， ∴ 5n? 時(shí)， t 即 2x 項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為 272 ，此時(shí) 5, 8nm??． 例 9． 已知41()2 nx x?的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列， （ 1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（ 2）求展開式中所有的有理項(xiàng) 解：由題意： 1 2 2112 1 ( )22nnCC? ? ? ?，即 0892 ??? nn ，∴ 8( 1nn??舍去） ∴ ? ?818 41()2rrrrT C x x?? ? ? ?8 2481()2rrrrC x x? ?? ? ? ?? ? 16 38 41 2 rrrrC x?? ? ? 08rrZ????????? ①若 1?rT 是常數(shù)項(xiàng)，則 04316 ?? r ，即 0316 ?? r ， ∵ rZ? ，這不可能，∴展開式中
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