【正文】 Wf S R S R S Sn ???? ? ??證明 ? 根據(jù)比估計量的性質，當 比較大時，有 2023/3/26 28 hn()R h hE y Y?( ) ( )R h R hM S E y V y? 2 2 2( 1 ) ( 2 )hy h h x h h h y h x hhf S R S R S Sn ??? ? ?11( ) ( )LLR S h R h h hhhE y W E y W Y Y??? ? ? ???1( ) ( )LR S h R hhM S E y M S E W y?? ?21()L h R hhW M S E?? ? 21()L h R hhW V y?? ?()RSVy? 2 2 2 21( 1 ) ( 2 )L hhy h h x h h h y h x hh hWf S R S R S Sn ???? ? ??聯(lián)合比估計 ?2023/3/26 29 Y Y?2023/3/26 30 ()RCE y Y?( ) ( )R C R CM S E y V y?22 2 21( 1 ) ( 2 )L hhy h x h h y h x hh hWf S R S R S Sn ???? ? ??分別比估計與聯(lián)合比估計的比較 2023/3/26 31 由于 ( ) ( )R C R SV y V y? 22 2 21( 1 )( ) 2 ( )Lhhh x h h h y h x hh hWfR R S R R S Sn?????? ? ? ? ???? \ \ \22 2 212221( 1 )( ) 2 ( ) ( )( 1 )( ) ( ) 2 ( )Lhhh x h h h y h x h h x hhhLhhh h x h h y h x h h x hhhWfR R S R R S S R SnWfR R R R S S S R Sn???????? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ????? 1）當 ，即 或 分別比估計的精度與聯(lián)合比估計的精度是一樣的。 的方差為： ?YstY Y? Y? ? ? ? ? ?????Lhhst YVYVNYV12 ???Y?? ? ? ???????LhhhLhhh YVNYVWN12122 ??2023/3/26 17 ? 性 質 2： 對于分層隨機抽樣 ， 的方差為： Y?? ? ? ? ???????LhhhhhLhhh SnfNyVNYV12212 1?2023/3/26 18 ? 性 質 3： 對于分層隨機抽樣， 的一個無偏估計為： ? ?YV ?? ? ? ? ???????LhhhhhLhhh snfNyvNYv12212 1?2023/3/26 19 例 ? 調查某地區(qū)的居民奶制品年消費支出 ， 以居民戶為抽樣單元 ， 根據(jù)經(jīng)濟及收入水平將居民戶劃分為 4層 ， 每層按簡單隨機抽樣抽取 10戶 ， 調查獲得如下數(shù)據(jù) （ 單位：元 ） ， 要估計該地區(qū)居民奶制品年消費總支 出及其 95%的置信區(qū)間 。 ? 各層可以采用不同的抽樣方法 ， 只要相應的估計量是無偏的 ， 則對總體的推算也是無偏的 。 三、符號 2023/3/26 6 所有總體參數(shù)的估計量都采用下標“ st”以示區(qū) 別 ： 記 號 h i hN hn hiY hiy 代表的含義 下標 第 h 層 下標 層內(nèi)單位號 第 h 層的 單位總數(shù) 第 h 層的 樣本數(shù) 第 h 層第 i 個 總體單元的取值 第 h 層第 i 個 樣本單元取值 記 號 hW hf hY hy 公 式 hNN hhnN 11 hNhiihYN ?? 11 hnhiihyn ?? 代表的含義 第 h 層的 層權 第 h 層的 抽樣比 第 h 層的 總體均值 第 h 層的 樣本均值 2023/3/26 7 記 號 hY hy 2hS 2hs 公 式 1hNhi h hiY N Y??? 1hnh i h hiy n y??? 21()1hNhi hihYYN???? 21()1hnhi hihyyn???? 代表的含義 第 h 層的 總體總量 第 h 層的 樣本總量 第 h 層的 總體方差 第 h 層的 樣本方差 2023/3/26 8 第二節(jié) 簡單估計量及其性質 一、對總體均值的估計 ? 分層樣本 ， 總體均值 的估計 ? 分層隨機樣本 ， 總體均值 的簡單估計 ? ? ?Y W YN N Yst h hhLh hhL? ?? ?? ?1 11y W y N N yst h hhLh hhL? ?? ?? ?1 11YY2023/3/26 9 估計量的性質 ? 性質 12： 對于一般的分層抽樣 ， 如果 是 的無偏估計 （ ） ， 則 是 的無偏估計 。 ? 由于抽樣在每一層中獨立進行 ， 所以一者允許各層選擇不同的適合本層的抽樣方法 ， 二則可同時對各子總體 （ 層 ） 進行參數(shù)估計 ， 而不單是對整個總體的參數(shù)進行估計 。2023/3/26 1 第三章 分層隨機抽樣 概述 簡單估計量及其性質 比率估計量及其性質 回歸估計量及其性質 各層樣本量的分配 總樣本量的確定 分層抽樣的其他 方面 2023/3/26 2 第一節(jié) 概述 2023/3/26 3 定義 分 層隨機抽樣 （ stratified random sampling） ：如 果每層中的抽樣都是獨立地按照簡單隨機抽樣進行的 ， 那么這樣的分層抽樣稱為分層隨機抽樣 ， 所得的樣本稱為分層隨機樣本（ stratified random sample） 。 2023/3/26 4 2023/3/26 5 二、作 用 ? 由于每層都進行抽樣 ， 這就可使樣本在總體中分布更加均勻 ， 從而具有更好的代表性 。 ? 由于各層的總體方差因單元之間差異小而肯定小于整個總體的方差 ， 而抽樣精度與此成正比 ， 所以分層抽樣可以提高參數(shù)估計的精度 。 的 方差為： ? 只要對各層估計無偏 ， 則總體估計也無偏 。 ?YhYhh L? 1 2, , ,? ?Yst Y?Yst? ? ? ?V Y W V Yst h hhL? ???? 212023/3/26 10 證明性質 1 由于對每一層有 因此 ， 估 計量的方差 由于各層是獨立抽取的，因此上式第二項中的協(xié)方 差全 為 0，從而有 ? ? hh YYE ??? ? ? ?????????????LhhhLhhhst YEWYWEYE11???YNYYNYNNYWLhhLhhhLhhh ????? ?????? 11111? ? ? ? ? ?? ???? ???????????? LhLhkkhkhLhhhLhhhst YYC o vWWYVWYWVYV1121?,?2???? ? ? ????Lhhhst YVWYV12 ??2023/3/26 11 ? 性 質 3： 對于分層隨機抽樣 ， 是 的無偏估計 ， 的方差為： Yystyst? ? ? ?V y W V y W fnSst h hhLhhhhhL? ??? ?? ?212 2112023/3/26 12 證明性 質 3： 對于分層隨機抽樣 ， 各層獨立進行簡單隨機抽樣 ，對每一層有 因此 ， 由性質 1， 有 由第二章性質 2， 得 因此 ? ? ? hh YyE ?? ? YyE st ?? ? ? ????Lhhhst yVWyV12? ? 21 hhhh SnfyV ??? ? ? ?V y W V y W fn Sst h hhLhhhhhL? ? ?? ?? ?212 2112023/3/26 13 ? 性 質 4： 對于分層隨機抽樣 ， 的一個無偏估計為： ? ?V yst? ? ? ?v y W v y W fnsst h hhLhhhhhL? ??? ?? ?212 2112023/3/26 14 證明性 質 4： 對于分層隨機抽樣 ， 各層獨立進行簡單隨機抽樣 ， 由第二章性質 3,得 的 無偏估計為： 因此 ， 的一個無偏估計為： ? ?hyV? ? 21 hhhh snfyv??? ?V yst? ? ? ? ???????LhhhhhLhhhst snfWyvWyv12212 12023/3/26 15 二、對總體總量的估計 ? 總體總量 的估計為： ? 如果得到的是分層隨機樣本，則總體總量的簡單估計為： ????Lhhst YYNY1????Y N y st?Y2023/3/26 16 ? 性 質 1： 對于一般的分層抽樣 ， 如果 是 的無偏估計 ， 則 是 的無偏估計 。 層 居民戶 總數(shù) 樣本戶奶制品年消費支出 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30