【正文】 hN ?? Lhh2h )?()?( PVWPV st?)?(stPV? ??Lh hhhh2h )1(n1W PPf? ???LnPPnNNN h hhhhhh2)1()(1)1( hh ?? NN ? 此時： ? 與 分別是 與 無偏估計。所以，估計量的方差小于總體方差。 ? 對于分層隨機抽樣，則有： Yh?Y ???Lhh2h )?(W)()?( YVyVYVstst)?(hYV ?)( styV??Lh2hhh2h n1W Sf? ?? L SNnWh2hhh2h )11( ??? L SNnSWhLh2hhh2h2h W1h2hhhhh2 )(1nSnNNNL ?? ? ? 可見，在分層抽樣中，總體均值估計量的方差只與各層內(nèi)的方差有關，而同層間方差無關。 Y styhY hW hhhLstst YNYWyY?N1?? L1h1hh ??????? ???? L1h1hhst ynnyy NNnnhh // ? NnNn hh // ?ff ?ysty NNhhLhhhLhhst yNNyW ??????111Yhnsty ? ２、總體總和Ｙ的估計量 ? 有了總體均值的估計量，就可推出總體總和的估計量： ? ３、總體比例 P的估計量 ? 按照總體均值估計量的公式，可推出總體比例（成數(shù)）Ｐ的估計量為： ? 可以證明，在分層隨機抽樣中， 是 的無偏估計量，是 的無偏估計量， 是Ｐ的無偏估計量。如果每層都有 或 ，即 ，則 完全相等于 。 ＝ 為總體總量； Ｌ表示分層的層數(shù)； h表示層的編號（ h＝１，２，３ ,…, Ｌ）； Y??? ?L Niy1h 1hih ? 二、估計量 ? １、總體均值的估計量 ? 在分層抽樣中，總體均值 的估計量一般用 表示，它是各層總體均值 的估計量按層權 的加權平均，即： ? 如果得到的是分層隨機樣本，則總體均值 的簡單估計為： ? 一般情況下： ? 原因在于權數(shù)問題。 第二節(jié) 總體參數(shù)的估計 ? 一、分層抽樣相關符號說明 ? 在分層抽樣中，先將含有 個單位的總體分成分別含有 個單位的 層，這些層之間互不重復，且有： ? 從每層中抽取一個子樣本，而且抽樣在各層中獨立進行，若各層內(nèi)樣本量分別用 表示，則將這些子樣本合起來就是從總體中所抽取的一個樣本。同時，分層抽樣中，總體參數(shù)的估計以及各層間樣本量的分配、總樣本量的確定等都更為復雜化。 ? ⑨當總體有周期現(xiàn)象時，用分層比例抽樣法可以減少抽樣方差。 ? ⑦分層抽樣調(diào)查實施中的組織管理及數(shù)據(jù)收集和匯總處理可以分別在各層內(nèi)獨立地進行，因此較之簡單隨機抽樣更方便。 ? ⑥分層抽樣中除了可以推斷總體參數(shù)外，還可以推斷各不同層的數(shù)量特征，并進一步作對比分析，從而滿足不同方面的需要，也能幫助人們對總體作更全面、更深入的了解。 ? ⑤分層抽樣適合于調(diào)查標志在各單元的數(shù)量分布差異較大的總體。 ? ③由于分層抽樣是在每層內(nèi)獨立地進行抽樣，因此，使得分層樣本能夠比簡單隨機樣本更加均勻地分布于總體之內(nèi)，所以其代表性也更好些。 ? ②在分層抽樣中，總體的方差一般可以分解為層間方差和層內(nèi)方差兩部分。 ? 分層抽樣具有以下特點： ? ①分層抽樣能夠充分地利用關于總體的各種已知信息進行分層，因此抽樣的效果一般比簡單隨機抽樣要好。 ? 進行分層抽樣時應注意：①層內(nèi)抽樣設計的選擇；②分層變量的選擇；③各層樣本量的分配；④層數(shù)；⑤層的分界。由此所得到的樣本稱做分層隨機樣本。各層所抽的樣本也是互相獨立的。 第四章 分層抽樣 ?第一節(jié) 分層抽樣概述 ?第二節(jié) 總體參數(shù)的估計 ?第三節(jié) 總樣本量的分配 ?第四節(jié) 分層與提高精度 第一節(jié) 分層抽樣概述 ? 分層抽樣是在抽樣之前，先將總體按一定標志劃分為若干個層（組），然后在各層內(nèi)分別獨立地進行抽樣。由此所抽得的樣本稱之為分層樣本。 ? 如果每層中的抽樣都是簡單隨機的，則這種抽樣就叫做分層隨機抽樣。 ? 分層時應遵循“盡可能使層內(nèi)差異小，而使層間差異大”的原則，同時要使分層的結果既無重復又無遺漏。以前只重視③，近年來，④和⑤引起了越來越多的關注。但當對總體缺乏較多的了解時，則無法分層或不能保證分層的效果。由于分層抽樣的誤差只與層內(nèi)差異有關，而與層間差異無關，因此，分層抽樣可以提高估計量的精度。 ? ④分層抽樣的隨機性具體體現(xiàn)在層內(nèi)各單元的抽取過程之中，也即在各層內(nèi)部的每一個單元都有相同的機會被抽中，而在層與層之間則是相互獨立的。因為對這樣的總體進行合理的分層后可將其差異較多地轉化為層間差異，從而使層內(nèi)差異大大減弱。但對各層的估計缺乏精度保證。 ? ⑧分層抽樣中，由于各層的抽樣相互獨立，互不影響，且各層間可能有顯著的不同，因此，對不同層可以按照具體情況和條件分別采用不同的抽樣和估計方法進行處理，從而提高估計的精確度。 ? ⑩分層抽樣中在進行分層時，需收集可用于分層的必要的各種資料，因此可能會增加一定的額外費用。 ? 滿足下述條件時，分層在精度上會有很大的得益： ? ①總體是由一些大小差異很大的單元組成的，即總體差異大； ? ②分層后，每層所包含的總體單元數(shù)應是可知的，也即分層后各層的權重是確知的或可以精確估計的； ? ③要調(diào)查的主要變量（標志）與單元的大小是密切相關的； ? ④對單元的大小有很好的測量資料可用于分層，也即分層變量容易確定。其樣本容量 顯然滿足： ，對于分層抽樣，經(jīng)常使用下列一些符號： ?hY?hn?hN nnnn L ???? ?21n Lnnn , 21 ? NNNN L ???? ?21L LNNN , 21 ?第 層總體中的單位數(shù)； hih第 層樣本中的單位數(shù)； 第 層的總體總量； ?hiyhihy第 層的樣本總量； 第 層第 個總體單元（單位）的取值； 第 層第 個樣本單元（單位）的取值； 212 )(11hNihihh YYNSh ??? ??h ???hnihihh yny11h ??Nihihh YNY11h hhh Nnf ?h NNW h?第 層的總體層權； 第 層的抽樣比； 第 層的總體均值； 第 層的樣本均值； 第 層的總體方差； h212 )(11