【正文】 定義預(yù)算集： 可以斷言： ，若不然，存在某個(gè) x： 這意味著： 但： ，這顯然不可能 因此： ? ?p v p m a: ( , ) ? ??12( , ) , ( , )v p m a v p m a ampvpttpp tt ???? ),()( 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質(zhì) 4： ? 即要證明 。按照 包絡(luò)定理 (envelope theorem，詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)附錄 ) ，對(duì) v=v(p,m)關(guān)于 m的偏導(dǎo)，只要對(duì) 的拉格朗日函數(shù) 求關(guān)于 m的導(dǎo)數(shù)即可： ? 由于 （ i=1,2,…,n ），又由于 ， ,則必有 ,因此： 即性質(zhì) 3得證。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質(zhì) 3： ? 即要證明 。為此需要證明對(duì)于所有 t0，有 : 由于 : ，它顯然等價(jià)于： 即： 性質(zhì) 2得證。 10/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質(zhì) 1： ? 性質(zhì) 1是說(shuō)，當(dāng)收入與價(jià)格發(fā)生微量的變化時(shí)，極大化了的效用也會(huì)發(fā)生微量的變化。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、間接效用函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù)在上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的 ， 那么間接效用函數(shù)就一定具有以下幾個(gè)性質(zhì)： ? 性質(zhì) 1： 在 上是連續(xù)的 [1]； ? 性質(zhì) 2： 是關(guān)于 的零次齊次函數(shù)； ? 性質(zhì) 3： 是關(guān)于 m的嚴(yán)格遞增函數(shù)； ? 性質(zhì) 4： 是關(guān)于 p的嚴(yán)格遞減函數(shù) ? 性質(zhì) 5： 對(duì)價(jià)格 p是擬凸 ? 性質(zhì) 6： 滿(mǎn)足羅伊恒等式 （ Roy’s identity） [1] 表示預(yù)算集的定義域，其中：表示價(jià)格的定義域，下標(biāo) “ ＋＋ ” 是指嚴(yán)格為正，沒(méi)有一維價(jià)格為 0， n表示有 n維價(jià)格； 表示收入的定義域，收入可以為 0。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 間接效用函數(shù)及其性質(zhì) ? 間接效用函數(shù)的定義 ? 間接效用函數(shù)的性質(zhì) 7/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、效用極大化問(wèn)題的基本形式 . ( . )m a x ( )????nxRs t p x m 2 1ux5/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 消費(fèi)者的最優(yōu)選擇：效用極大化問(wèn)題 ? 效用最大問(wèn)題與馬歇爾需求函數(shù) ? 間接效用函數(shù)及其性質(zhì) ? 馬歇爾需求函數(shù)與間接效用函數(shù)的關(guān)系：羅伊恒等式 3/51 2023/3/9 169。 通過(guò)本章的學(xué)習(xí) ， 你可以了解： 消費(fèi)者效用極大化問(wèn)題； 消費(fèi)者支出極小化問(wèn)題： 對(duì)偶原理； 需求的比較靜態(tài)分析； 需求彈性 。 其中的邏輯過(guò)程是：偏好關(guān)系 → 效用函數(shù) → 需求函數(shù) ， 本章將在這一邏輯框架下來(lái)分析消費(fèi)者的最優(yōu)選擇問(wèn)題 。1/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 第 2章 消費(fèi)者最優(yōu)選擇和需求分析 上一章根據(jù)消費(fèi)者的偏好結(jié)構(gòu)建立了效用函數(shù) ， 利用效用函數(shù)可以刻畫(huà)消費(fèi)者在既定收入約束下的最優(yōu)選擇行為 ， 并從中推導(dǎo)出消費(fèi)對(duì)商品的需求函數(shù) 。 消費(fèi)者最優(yōu)選擇問(wèn)題可以歸結(jié)為消費(fèi)者在既定收入約束條件下的效用極大化問(wèn)題或?yàn)榧榷ㄐв盟较碌闹С鰳O小化問(wèn)題 ， 這兩個(gè)問(wèn)題互為對(duì)偶問(wèn)題 ， 對(duì)前一問(wèn)題的求解所得到的需求函數(shù)為馬歇爾需求函數(shù) ， 而通過(guò)對(duì)后一個(gè)問(wèn)題的求解所得到的需求函數(shù)為?？怂剐枨蠛瘮?shù) 。 2/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 效用最大問(wèn)題與馬歇爾需求函數(shù) ? 效用最大化問(wèn)題的基本形式 ? 效用最大化問(wèn)題的均衡解 ? 馬歇爾需求函數(shù) 4/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、均衡解與馬歇爾需求函數(shù) ? 瓦爾拉斯法則：最優(yōu)解總是把錢(qián)化光，即 p*?x=m 這與 x*是最優(yōu)解矛盾 ? 均衡解的充要條件：如果 u(x)具有良好性質(zhì)，即 u(x)可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日函數(shù)： ? 一個(gè)例子（見(jiàn)：例 ） * , , ( * )( *) ( * )? ? ? ? ???p x m Δ x 0 p x Δ x mu x u x Δx若令則 L ( x, ) = u ( x) ( px m )λλ ()? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?iiL x u x x λ p 0L λ p x m 0* * ( , )x x p y?（馬歇爾需求函數(shù)） 6/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、間接效用函數(shù)的定義 ? 效用最大化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù) 直接表明了效用與消費(fèi)量之間的關(guān)系，因此又被稱(chēng)為 直接效用函數(shù) ，根據(jù)直接效用函數(shù)和預(yù)算約束所得到的最優(yōu)解 反映了在不同價(jià)格和收入水平下消費(fèi)者對(duì)商品的需求，將效用最大化的最優(yōu)解帶入直接效用函數(shù)所得到的函數(shù)被定義為 間接效用函數(shù) ，記為： ，即： )(xuu ? ),( mpx? )],(*[),( mpxumpv ?( , ) m a x ( * ) ( . ).:?????nxRv p m u x 2 2s t p x m8/51 169。 ),( mpv nn RR ???nR, )pm),(pv ,m),(pv ,9/51 169。這是很自然的，因?yàn)槿绻?u(x)是連續(xù)的，那么其極大化了的值也是連續(xù)的。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質(zhì) 2： ? 性 2質(zhì)是說(shuō)，當(dāng)價(jià)格和收入同比率變動(dòng)時(shí)，效用不會(huì)發(fā)生變動(dòng)。 ),(),(),( mpvmpvttmtpv 0 ?? ( , ) [ m a x ( ) , . : ]????nxRv tp tm u x s t tpx tm[ m a x ( ) , . : ]????nxRu x s t p x m( , ) [ a x ( ) , . : ] ( , )??? ? ? ?nxRv tp tm u x s t p x m v p m11/51 169。由于 , ，這里 中的 x是效用極大化時(shí)的 x，即 x=x*(p,m)它是關(guān)于參數(shù) p和 m的函數(shù)。 0mmpv ??? ),( ( , ) m a x ( ) , . :????nxRv p m u x s t px mnRx xu?? )(maxm a x ( ) , . :???nxRu x s t px m )()( pxmxuL ??? ?* ( , )( , ) ( , ) ( . )x x p mv p m L x λ λ 2 3mm ??? ???? 0px xuxxL iii ???????? ?? )(),(0pi ? 0xxu i ??? )(0?? 0m mpv ???? ?),(12/51 169。用與證明性質(zhì) 3相同的方法，可得： ? 由于： ， ，因此： 即性質(zhì) 4得證 0p mpvi??? ),(* ( , )( , ) ( , ) ( . )iii x x p mv p m L x λ λ x 2 4pp ??? ? ? ? ???0?? 0xi ?0xp mpv ii?????? ?),(13/51 169。我們只要證明：令 21 1? ?