【正文】 ) x**9/362880 x**7/5040 + x**5/120 x**3/6 + x + im(O(x**10)) series(sin(x), x, 0, 10) x x**3/6 + x**5/120 x**7/5040 + x**9/362880 + O(x**10) ixe從例子開始 ?球體體積 Scipy介紹了如何使用數(shù)值定積分計(jì)算球體的體積， SymPy中的 integrate()則可以進(jìn)行符號(hào)積分。 10 re(tmp) x**8/40320 x**6/720 + x**4/24 x**2/2 + re(O(x**10)) + 1 series(cos(x), x, 0, 10) 1 x**2/2 + x**4/24 x**6/720 + x**8/40320 + O(x**10) 從例子開始 11 下面獲得 tmp的虛部 : 下面對(duì) sin (x)進(jìn)行泰勒展開，其中各項(xiàng)也和上面的結(jié)果一致。根據(jù)歐拉公式，虛數(shù)項(xiàng)的和應(yīng)該等于 sin(x)的泰勒展開，而實(shí)數(shù)項(xiàng)的和應(yīng)該等于 cos(x)的泰勒展開?？梢杂锰├斩囗?xiàng)式對(duì)其進(jìn)行展開： 8 expand(exp(I*x), plex=True) I*exp(im(x))*sin(re(x)) + exp(im(x))*cos(re(x)) x = Symbol(x, real=True) expand(exp(I*x), plex=True) Isin(x)+cos(x) 從例子開始 series()對(duì)表達(dá)式進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開。顯然 ， expand()將 x當(dāng)做復(fù)數(shù)了。歐拉恒等式可以將 代入下面的歐拉公式得到： 在 SymPy中可以使用 expand()將表達(dá)式展開，用它展幵 試試看： 沒有成功，只是換了一種寫法而已。此公式被譽(yù)為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式，它將 5個(gè)基本數(shù)學(xué)常數(shù)用加法、乘法和 冪運(yùn)算聯(lián)系起來。f,g,h39。k,m,n39。x,y,z,t39。然后從 SymPy庫載 入所有符號(hào)，并且定義了 四個(gè)通用的數(shù)學(xué)符號(hào) x、 y、 z 、 t，三個(gè)表示整數(shù)的符號(hào) k、 m、 n，以及三個(gè)表示數(shù)學(xué)函數(shù)的符號(hào) f、 g、 h。 可使用 isympy運(yùn)行程序， isympy在 IPython的基礎(chǔ)上添加了數(shù)學(xué)表達(dá)式的直觀顯示功能。 SymPy完全由 Python寫成，不需要任何外部庫。1 SymPy —符號(hào)運(yùn)算庫 目錄 ?從例子開始 ? 歐拉恒等式 ? 球體體積 ?數(shù)學(xué)表達(dá)式 ? 符號(hào) ? 數(shù)值 ? 運(yùn)算符和函數(shù) ?符號(hào)運(yùn)算 ? 表達(dá)式變換和化簡(jiǎn) ? 方程 2 目錄 ? 微分 ? 微分方程 ? 積分 ?其他功能 3 4 SymPy是一個(gè)符號(hào)數(shù)學(xué) Python庫。它的目標(biāo)是成為一個(gè)全功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，同時(shí)保持代碼的精簡(jiǎn)而易于理解和可擴(kuò)展。 可用 SymPy進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)式的符號(hào)推導(dǎo)和演算。啟動(dòng)時(shí)還會(huì)自動(dòng)運(yùn)行下面的程序： 這段程序首先將 Python的除法操作符 “/”從整數(shù)除法改為普通除法 。 5 from __future__ import division from sympy import * x, y, z, t = symbols(39。) k, m, n = symbols(39。, integer=True) f, g, h = symbols(39。, cls=Function) init_printing() 從例子開始 ?歐拉恒等式 此公式被稱為歐拉恒等式，其中 e是自然常數(shù)， i是虛數(shù)單位 ， 是圓周率。 從 SymPy庫載入的符號(hào)中， E表示自然常數(shù)， I表示虛數(shù)單位， pi表示圓周 率，因此上面 的公式可以直接如下計(jì)算： 6 E**(I*pi)+1 0 10ie ? ???從例子開始 SymPy除了可以直接計(jì)算公式的值之外，還可以幫助做數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和證明。當(dāng)expand()的 plex參數(shù)為 True時(shí)，表達(dá)式將被分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩個(gè)部分： 7 ? c os si nixe x i x??ixe? expand( E**(I*x)) exp(I*x) 從例子開始 這次將表達(dá)式展開了，但是得到的結(jié)果相當(dāng)復(fù)雜。為了指定 x為實(shí)數(shù)，需要重新定義 x: 終于得到了需要的公式 。 可以看到展開之后虛數(shù)項(xiàng)和實(shí)數(shù)項(xiàng)交替出現(xiàn)。 9 tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10) print tmp 1 + I*x x**2/2 I*x**3/6 + x**4/24 + I*x**5/120 x**6/720 I*x**7/5040 + x**8/40320 + I*x**9/362880 + O(x**10) tmp 從例子開始 下面獲得 tmp的實(shí)部： 下面對(duì) cos (x)進(jìn)行泰勒展開， 可看到其中各項(xiàng)和上面的結(jié)果是一致的。 由于 展開式的實(shí)部和虛部分別等于 cos(x)和 sin(x),因此驗(yàn)證了歐拉公式的正確性。用 integrate()進(jìn)行不定積分運(yùn)算： 如果指定變 量 x的取值范圍 ,integrate()就能進(jìn)行定積分運(yùn)算 : 12 integrate(x*sin(x), x) x*cos(x) + sin(x) integrate(x*sin(x), (x, 0,2*pi)) 2*pi 從例子開始 為了計(jì)算球體體積，首先看看如何計(jì)算 圓的面積，假設(shè)圓的半徑為 r，則圓上任意一點(diǎn)的Y坐標(biāo)函數(shù)為： 因此可以直接對(duì)函數(shù) y(x)在 r到 r區(qū)間上 進(jìn)行定積分得到半圓面積。x,y,r39。 Integrate()沒有計(jì)算出積分結(jié)果，而是直接返冋了輸入的算式。 14 r = symbols( 39。, positive=True) circle_area = 2 * integrate(sqrt(r**2x**2), (x, r, r)) print circle_area pi*r**2 從例子開始 假設(shè) X軸的坐標(biāo)為 x,球體的半徑為 r,那么 x處球的切面半徑可以使用前面的公式 y(x)計(jì)算出。 數(shù)學(xué)表達(dá)式 ?符號(hào) 創(chuàng)建一個(gè)符號(hào)使用 symbols()，此函數(shù)會(huì)返回一個(gè) Symbol對(duì)象，用于表示符號(hào)變量，其有 name屬性，這是符號(hào)名，如： 其中左邊的 x是一個(gè)符號(hào)對(duì)象，而右邊括號(hào)中用引號(hào)包著的 x是符號(hào)對(duì)象的 name屬性，兩個(gè) x不要求一樣，但是為了易于理解，通常將符號(hào)對(duì)象和 name屬性顯示成一樣，另外 name屬性是引號(hào)包起來的。x0?) 數(shù)學(xué)表達(dá)式 空格或者逗號(hào)分隔，然后用引號(hào)包住，如下： 一次配置三個(gè)符號(hào)，由于符號(hào)對(duì)象名和name屬性名經(jīng)常一致，所以可以使用 var（）函數(shù)，如： 這語句和上個(gè)語句功能一致，在當(dāng)前環(huán)境中創(chuàng)建了 4個(gè)同名的 Symbol對(duì)象（為了防止誤會(huì)，使用 symbols其實(shí)更好）。x0,y0,x1,y139。因?yàn)榉?hào)對(duì)象在轉(zhuǎn)換為字符串時(shí)直接使用它的name 屬性，因此在交互式環(huán)境中看到變量 ,x0的值就是 x0，但是査看變量 x0的類型時(shí)就可以發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上是一個(gè) Symbol對(duì)象。x039。在用var()、 symbols()或 Symbol()創(chuàng)建 Symbol對(duì)象時(shí)，可以通過關(guān)鍵字參數(shù)指定所創(chuàng)建 符號(hào)的假 設(shè)條件，這些假設(shè)條件會(huì)影響到它們所參與的計(jì)算。在 IPython中，使用自動(dòng)完 成功能可以快速査看這些假設(shè)的名稱。 而全小寫字母的屬性，則用來判斷符號(hào)的假設(shè)條件。 在 SymPy中，所有的對(duì)象都從 Basic類繼承，實(shí)際上這些 is_*屬性和 assumptions0屬性都是在 Basic類中定義的： (