【正文】 kxt xt的 2 次 1 階差分表示為 D? xt = D ( D xt ) = D xt D xt 1 = ( xt xt 1) ( xt 1 xt 2) = xt 2 xt 1+ xt 2 D? xt = ( 1 L )2 xt = ( 1 2 L + L2) xt = xt 2 xt 1 + xt 2 以上兩式運(yùn)算結(jié)果相同，說明 差分算子和滯后算子可以直接參與運(yùn)算 。 對于隨機(jī)過程 xt，一階差分可表示為 xt xt 1 = D xt = ( 1 L ) xt = xt L xt 其中 D 稱為一階差分算子 。 2 5 2 0 1 5 1 050520 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0r a n d o m w a l k12001400160018002023220050 100 150 200 250 300由隨機(jī)游走過程產(chǎn)生時(shí)間序列 深圳股票綜合指數(shù) 1 2 . 2 時(shí)間 序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動(dòng)平均過程 差分 ： 用變量 xt的當(dāng)期值減 去 其滯后值從而得到新序列的計(jì)算方法稱為差分。 Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) ? T , k ? 0 , 則稱 {xt}為白噪聲過程。 下面，我們用由 Eviews軟件模擬一個(gè)均值為 標(biāo)準(zhǔn)差為 、樣本量為 500的平穩(wěn)數(shù)據(jù)。 ??? ?)( txE ??? 2)( ?txVar ???? 2),( kktt xxCov ?14 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對時(shí)間序列分析非常重要，經(jīng)典的時(shí)間序列回歸分析，都是假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 12 13 寬（弱）平穩(wěn)過程 如果一個(gè)隨機(jī)過程的均值和方差在時(shí)間過程上都是常數(shù)，并且在任何兩期之間的協(xié)方差只和兩期間隔的時(shí)間長度相關(guān)，而和計(jì)算該協(xié)方差的實(shí)際時(shí)間不相關(guān)，則稱該隨機(jī)過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程，也稱之為 協(xié)方差 平穩(wěn)過程、二階平穩(wěn)過程或廣義隨機(jī)過程 。 ? 嚴(yán)（強(qiáng)）平穩(wěn)過程： 一個(gè)隨機(jī)過程中若隨機(jī)變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，即無論對 T的任何時(shí)間子集（ t1, t 2, …, tn）以及任何實(shí)數(shù) k, (ti + k) ?T, i = 1, 2, …, n 都有 F( x(t1) , x(t2), …, x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), … , x(tn + k) )成立，其中 F( 9 隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征 設(shè) {Yt}為一個(gè)隨機(jī)過程，對任意一個(gè) ， Yt的分布函數(shù)為： tT? ( ) ( )tYtF y P Y y??對任意給定的 ，隨機(jī)過程 {Yt}有兩個(gè)隨機(jī) 與之對應(yīng)，其聯(lián)合分布函數(shù)為： 12,t t T?12,ttYY 1212, 1 2 1 2( , ) ( , )ttY Y t tF y y P Y y Y y? ? ?一般的，對于任意 的聯(lián)合分布函數(shù)為： 112, , , , , , , mm t tm N t t t T Y Y?? 112, , , 1 2 1( , , , ) ( , , )t t t mmY Y Y m t t mF y y y P Y y Y y? ? ?均值方程： ( ) ( )tt t YE Y y dF y? ????? ?方差函數(shù)： 22( ) [ ( ) ] ( )tt t t YD Y y E Y dF y????? ? ??自協(xié)方差函數(shù)： ? ? ? ? ,( , ) ( , )t s t t s s t sC ov Y Y E Y EY Y EY t s??? ? ? ? ?????自相關(guān)函數(shù)（ ACF)： ? ? ? ? ? ?, ( , ), ( , ),t s t stst s C or Y Yt s s??? ??? ? ??偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF)： ? ? ? ? ? ?1111 ( , , , ), ( , , , ) ,t s s tt s s t C ov Y Y Y Yt s C or Y Y Y Y t t s s? ?????? ?隨機(jī)過程的平穩(wěn)性 ? 隨機(jī)過程的平穩(wěn)性是指隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化。而在每年中同一時(shí)刻（如 t = 2時(shí)）的水位紀(jì)錄是不相同的。 ? 隨機(jī)過程與時(shí)間序列的關(guān)系如下所示： 隨機(jī)過程 : {y1, y2, …, yT1, yT,} 第 1次觀測： {y11, y21, …, yT11, yT1} 第 2次觀測： {y12, y22, …, yT12, yT2} ? ? ? ? ? 第 n次觀測： {y1n, y2n, …, yT1n, yTn} ? 某河流一年的水位值， {y1, y2, …, yT1, yT,}，可以看作一個(gè)隨機(jī)過程。將每一個(gè)元素的樣本點(diǎn)按序排列，稱為隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，即時(shí)間序列數(shù)據(jù)，亦即樣本。 模擬時(shí)間序列數(shù)據(jù)： 一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念 8 由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為 隨機(jī)過程 ，記為 ，簡記 為 Yt。 時(shí)間序列分析 方法的發(fā)展過程 ? 基礎(chǔ) 階段 ： ? 1927年， AR模型 ? ， MA模型， ARMA模型 ? 核心 階段 ： ? 1970年，出版 《 Time Series Analysis Forecasting and Control》 ? 提出 ARIMA模型（ Box— Jenkins 模型） ? Box— Jenkins模型 實(shí)際上是主要運(yùn)用于單變量、同方差場合的線性模型 ? 完善 階段 ： ? 異方差場合 ? Robert ， 1982年， ARCH模型 ? Bollerslov， 1986年 GARCH模型 ? 多變量場合 ? ， 1980年，向量自回歸模型 ? ， 1987年，提出了協(xié)整（ cointegration） 理論 確定性時(shí)間序列分析方法： 長期趨勢分析、季節(jié)變動(dòng)分析、循環(huán)波動(dòng)分析。經(jīng)濟(jì)分析中主要研究離散時(shí)間序列。 01 , 0 0 02 , 0 0 03 , 0 0 04 , 0 0 05 , 0 0 06 , 0 0 07 , 0 0 01 9 9 2 1 9 9 4 1 9 9 6 1 9 9 8 2 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 4 2 0 0 6 2 0 0 8S A L E S1992年 1季度到 2023年 1季度批發(fā)與零售業(yè)增加值（ 2023年不變價(jià)格） 按照所研究問題的不同可以將時(shí)間序列進(jìn)行如下分類： 按照研究對象的多少，時(shí)間序列也可以分為一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。 ? 時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)可以是一個(gè)時(shí)期內(nèi)的數(shù)據(jù)也可能是一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的數(shù)據(jù) 。 ? 時(shí)間序列具有如下幾個(gè)特點(diǎn)： ? 時(shí)間序列中數(shù)據(jù)的位置與時(shí)間有關(guān)，數(shù)據(jù)的取值隨時(shí)間的變化而變化。時(shí)間序列模型 ARIMA 時(shí)間序列分析概論 計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中 常用的數(shù)據(jù)類型 截面數(shù)據(jù) 時(shí)間序列數(shù)據(jù) 面板數(shù)據(jù) 一、什么是時(shí)間序列： 所謂時(shí)間序列數(shù)據(jù)，是指反應(yīng)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然等現(xiàn)象的某一數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行時(shí)間上的觀察所得到的數(shù)據(jù)。而時(shí)間序列就是講這些觀測數(shù)據(jù)按照時(shí)間先后順序排列起來所形成的序列。 6420242 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 0 1 2 5 0 0 1 5 0 0 0 1 7 5 0 0SH04 , 0 0 08 , 0 0 01 2 , 0 0 01 6 , 0 0 02 0 , 0 0 02 4 , 0 0 01 9 8 0 1 9 8 5 1 9 9 0 1 9 9 5 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0G D P19782023年 國內(nèi)生產(chǎn)總值不變價(jià) 2023年 上證綜指 3分鐘收益率數(shù)據(jù) ? 時(shí)間序列具有如下幾個(gè)特點(diǎn)： ? 時(shí)間序列是對相關(guān)的指標(biāo)變量在不同時(shí)間進(jìn)行觀察得到的結(jié)果。 ? 時(shí)間序列通常存在前后時(shí)間上的相依性，不一定是相鄰時(shí)刻，從整體上看，時(shí)間序列往往呈現(xiàn)出某種趨勢性或出現(xiàn)周期性變化的現(xiàn)象。 按照觀察時(shí)間是否連續(xù)可以分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列。 按時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性，可將時(shí)間序列分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。 隨機(jī)性時(shí)間序列分析方法： ARIMA模型等。隨機(jī)過程也可以簡稱為 過程 ，其中每一個(gè) 元素 Yt都是 隨機(jī)變量 。 ? ?,tY t T?時(shí)間序列 ：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，也用 {Y t }或 Y t表示。每一年的水位紀(jì)錄則是一個(gè)時(shí)間序列， {y11, y21, …, yT11, yT1}。 { y21, y22, …, y2n,} 構(gòu)成了 y2取值的樣本空間。隨機(jī)過程的平穩(wěn)性可以劃分為嚴(yán)（強(qiáng) )平穩(wěn)和寬（弱）平穩(wěn)兩個(gè)層面。) 表示 n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱其為嚴(yán)平穩(wěn)過程或強(qiáng)平穩(wěn)過程。 用公式表述就是，對于一個(gè)隨機(jī)過程 xt ，如果其均值 ，方差 ，協(xié)方差 的大小只與 k的取值相關(guān)，而與 t不相關(guān)，則稱 xt為平穩(wěn)隨機(jī)過程 。 直觀的看，平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以看作是一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。 4. 24. 44. 64. 85. 05. 25. 45. 650 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0X 平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例 常見的隨機(jī)過程 ： ? 白噪聲過程 ：對于隨機(jī)過程 { xt , t?T }, 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = ? 2 ? ? , t?T。 15 321012320 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0w h i t e n o i s e4202420 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0D J P Y由白噪聲過程產(chǎn)生的時(shí)間序列（ nrnd） 日元對美元匯率的收益率序列 ? 隨機(jī)游走（ random walk）過程 ? 對于下面的表達(dá)式： xt = xt 1 + ut 如果 ut 為白噪聲過程，則稱 xt 為隨機(jī)游走過程。 若 當(dāng) 期 減 滯后一期變量則稱為 1 階差分 ，若 當(dāng) 期 減 滯后 k 期變量則稱為 k 階差分 。 L 是滯后算子。 注意 ： （ 1 ） 對于 差分 算子 Dkd， 其 上 標(biāo) 表示 差分 次 數(shù)， 其 下 標(biāo) 表示 差 分階 數(shù)。 差分與滯后算子 滯后算子的性質(zhì)： ? 常數(shù)與滯后算子相乘等于常數(shù)。 0( 1 ) ( 1 )nn n i iniL C L?? ? ??!! ( ) !inC i n i? ?Lc c? i j i jt t t t i t j( L L ) x L x L x x x?? ? ? ? ??滯后算子適用于結(jié)合律。 ?滯后算子的負(fù)整數(shù)次方意味著超前 。 它們是 自回歸過程 （ AR ） 、移動(dòng)平均過程 （ MA ） 、自回歸移動(dòng)平均過程 （ A R M A ） 和單 積（ 整 ） 自回歸移動(dòng)平均過程 （ A R I M A ） 。它是由 xt 的 p 個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及 ut相加而成。 時(shí)間序列模型 12. 2 時(shí)間序列模型的分類 A R ( p ) 過程中 最常用的是 1 階自回歸過程 ： xt = ?1 xt 1 + ut 和 2 階自回歸過程 ： xt = ?1 xt 1 + ?2 xt 2 + ut 64202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 0 0 2 0 0