【正文】 .集上的是“青年人”在 FUA ,270 歲選取 ?u .0 的隸屬度對統(tǒng)計實驗確定用 AuF選擇若干 （ n） 合適人選 ， 請他們寫出各自認為 “ 青年人 ” 最適宜 、 最恰當?shù)哪晗?， 即將模糊概念 明確化 。先排序，再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)。 模糊理論的基本概念 隸屬函數(shù)確定方法 （ 3）借用已有的“客觀”尺度 在經(jīng)濟管理、社會科學(xué)中，可以直接借用已有的尺度（經(jīng)濟指標）作為模糊集的隸屬度。 若模糊集定義在實數(shù)集上 ， 則模糊集的隸屬函數(shù)便被稱為模糊分布 。與和即 )()( uAuA c 模糊理論的基本概念 隸屬函數(shù)確定方法 （ 1）模糊統(tǒng)計方法 模糊統(tǒng)計方法中 ， 進行模糊統(tǒng)計試驗 ， 確定某個元素的隸屬度 。集上的一個模糊度，稱為為稱映射 AFUFd )(定義 1給出了關(guān)于模糊度的 4條公理。3)(,20,33xxAxxx??????????時即當。)( 2 ?所以類似可得 ,)(,)(,1)( 543 ??? uAuAuA 可表示為集于是 AF 54321uuuuuA ?????? ? ? ?0 , 5 , ( ) , 0 , 1 ,U A F U ?? ? ? ?例 設(shè) 論 域 且? ?? ?? ????????????????1325,33205,305,0?????A.),( UxxA ?求解 ? ?；按推論 ?? AxxA ?? max)( 。集試求出 AF解 由于 ,1 值為最大的中的一切含有元素 ??Au。1 2121 AA ???? ?? 則若性質(zhì) .2 BABA ?? ?? 則若性質(zhì) 模糊理論的基本概念 截集與分解定理 定理 711（ 分解定理 ） 分解定理表明 ， 模糊集可由經(jīng)典集合表示 ， 這反映了模糊集和經(jīng)典集合的密切關(guān)系 ， 建立了模糊集與經(jīng)典集合的轉(zhuǎn)化關(guān)系 。 ? ?A F U? ? ?0 , 1 , ( )A F U? ??[0,1]???? ? ? ?? ? .A A x A x?? ?? ? ?A? ?? ()A F U? ?? ? ? ?A x A x????A??A 是一個普通集。因此，當 ,??},{ xxxxxA ? },{ xx? 定義如下：一般情況下，給出?A 模糊理論的基本概念 定義 設(shè) ， ，記 稱 為 的 截集，其中 稱為閾值或置信水平。 設(shè) F集 A表示 “ 優(yōu)勝者 ” ，有 ???????654321xxxxxxA 10987xxx ???擇優(yōu)錄取實際上就是將 F集轉(zhuǎn)化為普通集。 因此 ， 需要把 F集和普通集聯(lián)系起來 。即 F集的邊界是模糊的 。?? 截集與分解定理 F集是由隸屬函數(shù)確定的 。A B x A x B x x U? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?m in{ A ( u) , B ( u) } , 。因此， )),(( ?UF ,)( 上的二元關(guān)系”是“ UF?具有如下性質(zhì)： 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合的運算 定義 設(shè) ，定義 并 的隸屬函數(shù)為 交 的隸屬函數(shù)為 余 的隸屬函數(shù)為 上述運算中的扎德算子 是對隸屬度進行取大和取小運算。),( AAUFA ??? 。 “ 分母 ” 是論域 U的元素 “ 分子 ” 是相應(yīng)元素的隸屬度 當隸屬度為 0時 ， 該項可以不寫入 注意 模糊集合的表示法 1 模糊集合表示方法 1——Example. 論域 = { Bill, John, Einstein, Mike, Tom } smart程度： ， ， ， ， 則論域中元素對“ smart”這模糊概念的符合程度可以用模糊子集 A來表示 A = + + + + 模糊集合的表示法 3 ? 序偶表示法 A＝ {(x1 ,μ1),(x2 ,μ2),…,( xn ,μn)} A = {(Bill, ), (John, ), (Einstein, ), (Mike, ), (Tom, )} ? 向量表示法 A＝ {μ1, μ2 , … , μn } A = {,} 例 { 1 2 3 4 5 6 } : 4 , ( )U A A F U??設(shè) ， ， ， ， ， ， “ 靠 近 ” 可由下表給出的程度中各數(shù)屬于 )( iuAAUiu )( iuA654321 向量法： 序偶法： Zadeh法： 65413210 ??????A658.4132 ?????),1,0(?A )},6)(,5)(1,4)(,3)(,2{(?A例 設(shè)論域為實數(shù)域 R， A: “靠近 4的數(shù)集 ” 其隸屬函數(shù)是),( RFA ??????????? ????404)( 2)4(xxexA xk例 設(shè)論域為實數(shù)域 R， A: “比 4大得多的數(shù)集 ” 其隸屬函數(shù)是),( RFA ??????????? 4)4(1001140)(2xxxxA 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合的運算 定義 設(shè) ，定義 B包含 A A與 B相等 A ? ? ? ? ,。 即由集合 U的所有子集組成的集合 )30(291)( iuA i ??同理 ， “ 短線段 ” 的隸屬函數(shù)為 )1(291)( ?? iuB i 所以 ， “ 長線段 ” 的隸屬函數(shù)為 012i 30291( , ( ))ii A u )( iuBU30101300)(?????iuA i(1,1) (30,0) 例 2中， 年輕。對的成員資格即為作為 AuAu ii 的線性函數(shù)。 例 1中， ( 1 , 2 , 30) ,iu i i ?設(shè) 表 示 第 條 線 段 則 表示“長線段”。 隸屬度與隸屬函數(shù)的思想是模糊數(shù)學(xué)的基本思想。 模糊集記為“ F集”。 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 定義 設(shè) 是論域（全集），稱映射 確定了 上的模糊子集 。 “ 長 ” “ 短 ”“ 年輕 ” “年老 ” 這些模糊概念無法用特征函數(shù)來刻畫 。 從 “ 長 ” 到 “ 短 ” ， 從 “ 年輕 ” 到 “ 年老 ” 。 例 2 在標志年齡 (0? 100)的數(shù)軸上 ,標出 “ 年老 ” 、“ 年輕 ” 的區(qū)間 。 模糊理論的基本概念 模糊集與隸屬函數(shù) 經(jīng)典集合 A由其特征函數(shù) 唯一確定，其中 A由映射 因此，只能表達“非此即彼”的清晰概念（現(xiàn)象） 不能表達“亦此亦彼”的模糊概念（現(xiàn)象） A ()A x?1,: { 0 , 1 } , x | ( )1,AAxAXxxA????? ? ?? ??123456789102030例 1 從圖的 30條線段中 ， 選出 “ 長 的線段 ” 從左起 ， 第 1條是屬于 “ 長線段 ” ， 第 2， 3…條越靠右的線段作為 “ 長線段 ” 的資格就越降低 ， 第 30條線段根本不能作為 “ 長線段 ” 的成員 ?！币虼?，必須尋找到一套研究和處理模糊性的數(shù)學(xué)方法。 “當系統(tǒng)的復(fù)雜性日趨增長時，我們做出系統(tǒng)特性的精確然而有意義的描述的能力將相應(yīng)降低，直至達到這樣一個閾值，一旦超過它，精確性和有意義性將變成兩個幾乎互相排斥的特性。他于 1965年發(fā)表了題為 《 模糊集合論 》 （ 《 Fuzzy Sets》 ）的論文，從而宣告模糊數(shù)學(xué)的誕生。 決策問題在很多情況下具有模糊性，因此應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進行決策研究有其必然性。 9 模糊數(shù)學(xué)的概念 ? 處理現(xiàn)實對象的數(shù)學(xué)模型 ?確定性數(shù)學(xué)模型 :確定性或固定性 ,對象間有必然聯(lián)系 . ?隨機性數(shù)學(xué)模型 :對象具有或然性或隨機性 ?模糊性數(shù)學(xué)模型 :對象及其關(guān)系均具有模糊性 . ? 隨機性與模糊性的區(qū)別 ?隨機性 :指事件出現(xiàn)某種結(jié)果的機會 . ?模糊性 :指存在于現(xiàn)實中的不分明現(xiàn)象 . ? 模糊數(shù)學(xué) :研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法 . 7 模糊決策方法 模糊數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從精確現(xiàn)象領(lǐng)域擴大到模糊現(xiàn)象領(lǐng)域，四十多年來，模糊數(shù)學(xué)理論發(fā)展迅速，應(yīng)用廣泛。 沒有必要獲取精確數(shù)據(jù) 模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科 ， 而且也形成了一種嶄新的思維方法 ， 它告訴我們存在亦真亦假的命題 ， 從而打破了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維 ， 使得模糊推理成為嚴格的數(shù)學(xué)方法 。 人工智能的要求 167。 術(shù)語來源 Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的 模糊，不分明 模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象 模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。 模糊概念 模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間 無明顯分界線 年輕 、 重 、 熱 、 美 、 厚 、 薄 、 快 、 慢 、 大 、 小 、高 、 低 、 長 、 短 、 貴 、 賤 、 強 、 弱 、 軟 、 硬 、陰天 、 多云 、 暴雨 天氣冷熱 雨的大小 風的強弱 人的胖瘦 年齡大小 個子高低 7 共同特點：模糊概念的外延不清楚。決策理論與方法 （ Decision Making Theory and Methods） 《 決策理論與方法 》 編寫組 教育部高等學(xué)校管理科學(xué)與工程類學(xué)科專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會推薦教材 第七章 模糊決策方法 學(xué)習目的 ? 了解模糊集、隸屬函數(shù)、模糊矩陣的概念； ? 掌握模糊意見集中決策、模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策、模糊相似優(yōu)先比決策、模糊相對比決策、模糊綜合評判決策及層次分析法等決策方法。 本講內(nèi)容 模糊集與隸屬函數(shù) 截集與分解定理 隸屬函數(shù)的確定方法 模糊矩陣 5 前言：什么是模糊數(shù)學(xué) 禿子悖論 : 天下所有的人都是禿子 設(shè)頭發(fā)根數(shù) n n=1 顯然 若 n=k 為禿子 n=k+1 亦為禿子 167。 167。 8 167。 取得精確數(shù)據(jù)不可能或很困難 167。 隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展 ， 模糊理論和模糊技術(shù)將對于人類社會的進步發(fā)揮更大的作用 。模糊數(shù)學(xué)在實際上的應(yīng)用幾乎涉及到國民經(jīng)濟的各個領(lǐng)域，尤其在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟管理、社會科學(xué)方面得到了廣泛而又成功的應(yīng)用。 模糊理論的基本概念 模糊數(shù)學(xué)由美國控制論專家 （ , 1921）教授所創(chuàng)立。 “計算機”與“大系統(tǒng)”的矛盾研究，集中思考了計算機為什么不能像人腦那樣進行靈活的思維與判斷問題?！? “常規(guī)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用對于本質(zhì)上是模糊系統(tǒng)的分析來說是不協(xié)調(diào)的，它將引起理論和實際之間的很大差距。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史必然性。 應(yīng)屬于 “ 短線段 ” 。 這里需要考慮 …40歲 ， …50歲 ， …60歲 ,… 屬于 “ 年輕 ” 還是 “ 年老 ” 。 經(jīng)歷了一 個 從 量 變 到 質(zhì) 變 的 連 續(xù) 過 渡 過 程 。 Zadeh把特征函數(shù)的值域由 {0,1}擴張到 [0， 1]， 引入了隸屬函數(shù) ， 定義的模糊集合 ， 使模糊概念的數(shù)學(xué)表達成為可能 。映射 稱為 的隸屬函數(shù) （或稱為 u對 A的隸屬度）。 對于某 F集 A，若 僅取 0和 1兩個數(shù)時， A就退化為普通集合。 UU A()AuA A()Au ,0)( ?為空集Au ?? .1)( UAuA 為全集?)(uAUo1 U模 糊 冪 集 ： 論 域 上 模 糊 集 全 體 ]}1,0[:|{)( ?? UAAUF普通集是模糊集的特例，模糊集是普通集的推廣。集論域 AFuuuU },{ 3021 ??因線段長度 的隸屬度。是線段條數(shù)所以 iuA i )(按線性遞減， 直線方程為：選 ,0)(,1)( 301