短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型-展示頁(yè)
2025-01-12 12:45本頁(yè)面
【正文】 (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()()Mt XXnnsnnnsnMtesVa r S E X Va r N E N Va r X E XeF x p xnef p xnM t e e???????????????????? ? ? ????????? ? 關(guān)于復(fù)合泊松分布有如下的幾個(gè)定理和規(guī)律： ? （ 1）如果 S1， S2， … ， Sm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 Si服從參數(shù)為 λ i 的復(fù)合泊松分布，理賠額的分布為 Pi(x),i=1,2,…,m, 則 ? 服從參數(shù)為 的復(fù)合泊松分布，且個(gè)別理賠 ? 額分布為： ? （ 2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合泊松分布隨機(jī) ，可以分解為： ? 個(gè)別理賠額的分布列為： 1miiSS???1mii?????1( ) ( )miiiP x P x???? ?Nii=1S= x?1miiix N?? ?X x1 x2 … xm P p1 p2 … pm ? 則 N1， N2， … ， Nm相互獨(dú)立且 Ni服從參數(shù)為 λ i=λ pi的泊松分布，其中 λ 為 S的泊松參數(shù)。 ? 也就是說(shuō)，若知道 Xi 和 N的矩母函數(shù)，就可計(jì)算出 S的矩母函數(shù)， 012000( ) ( ) ( , ) ( )( ... ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )nnnnnnnF x P S x P S x N n P N nP X X X x P N nP x P N nf x P x P N n??????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????l n ( )( ) ( ) ( ( , ) ) ( ( ) )( ) ( l n ( ) )XtS tS NsXN M tNXM t E e E E e N E M tE e M M t? ? ??? ? 而 ? 復(fù)合泊松分布 ? 在聚合風(fēng)險(xiǎn) 中，當(dāng) N服從泊松分布時(shí)， S的分布就稱 ? 為復(fù)合泊松分布。 ? 負(fù)二項(xiàng)分布可以看作是泊松分布的一種推廣，假設(shè)泊松參數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，且有密度函數(shù) f(x)，由全概率公式有： Nii=1S= x?( ) ( , ) ( )0()0nxP N n P N n x f x dxxef x dxn????? ? ? ??????? ? 而： ? 特別地，當(dāng) λ 的密度為 ， x＞ 0時(shí)， N服從參 ? 數(shù) r = a ,p= β /1+ β 的負(fù)二項(xiàng)分布。稱此模型為短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型。第六章 短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型 ?[知識(shí)要點(diǎn) ] ? 短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型 ? 對(duì)于 ,其中 N表示保險(xiǎn)期內(nèi)所有承保保單發(fā)生索賠的 ? 次數(shù)隨機(jī)變量， Xi 表示第 I次發(fā)生理賠時(shí)的理賠額隨機(jī)變量， S為保險(xiǎn)期內(nèi)的理賠總額隨機(jī)變量。 Xi 對(duì)不同的 i是獨(dú)立同分布的， N 與各 Xi是獨(dú)立的。 ? 理賠次數(shù)和理賠額的分布 ? （ 1） 泊松分布的定義 、 分布列 、 期望與方差 、 矩母函數(shù)： ? （ 2） 負(fù)二項(xiàng)分布的定義 、 分布列 、 期望與方差 、 矩母函數(shù) 。 ? ? （ 3） S的分布問(wèn)題 ? ? 假設(shè) S的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為 F（ x）和 f(x),則： ( 1 )( ) ( ( , ) ) ( )( ) ( ( , ) ) ( ( , ) )( ) ( )( ) ( ) ( ( , ) ) ( )( 1 )ttN tN eNtE N E E N EVa r N E Va r N Va r E NE Va rM t E e E E e E eMe????????????????? ? ??? 1()()xaf x e xa?? ???? ? 除用卷積方法之外，還可以用矩母函數(shù)法及逆轉(zhuǎn)公式來(lái)求 S的分布，由矩母函數(shù)的定義有： ? 其中 X是與各 Xi 同分布的隨機(jī)變量。這樣： E（ S） =E（ X） ?E（ N） =λ ?E（ X） ? 其中 λ 為泊松參數(shù)。 ? 對(duì)于此定理，若 xi僅取正整數(shù)值，則理賠總額 S的密度函數(shù)為： ? 對(duì)于此定理，還有更普遍的推廣，也就是說(shuō)在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中，若理賠額只取正整數(shù)，理賠次數(shù) N的分布滿足： ? (n=1,2,…) ? （ 3）在復(fù)合泊松分布中，若保險(xiǎn)標(biāo)的損失隨機(jī)變量為 X，保險(xiǎn)合同有一個(gè)免賠額 d，即 ， Xd ? , X≤ d ? 是其真正的理賠額隨機(jī)變量，泊松參數(shù)為 λ ，則帶免賠的理賠總額 S仍是復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)變?yōu)?λ ?P（ x d),個(gè)別理賠額的分布密度函數(shù)為： 11()( ) ( )xxiiiii i p f x if x f x ixx?????? ? ???()( 1 )P N n baP N n n? ????,0,XdY ??? ?? ? 聚合理賠量的近似模型 ? （ 1）正態(tài)近似 ? 定理 如果 S是復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)為 λ ，個(gè)別理賠額的數(shù)學(xué)期望 μ 與方差 σ 2有界，則：
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