【正文】 ???The allowed values of nx, ny, and nz, are positive integers for the electron states in the free electron gas model. 在單位能量間隔內(nèi)的能態(tài)數(shù)目被稱為能態(tài)密度（ density of states g(E)） . 2222 zyx nnnnrs ???334rsn? 33 613481 rsrs nn ?? ?3612 33 rsrsnnN ?? ??33rsnN ?? 22222 mLnEE rsk?????3223232)2(??VEmN ?3LV ? dEVEmdN3221232)2(???g(E) E mEmdEdNEg 2)( 32 ????自由電子量子氣體 At a temperature T the probability that a state is occupied is given by the FermiDirac function . The finite temperature only changes the occupation of available electron states in a range ~kBT about EF. ???????????????? 1 + Tk = )f(B1??? expwhere μ is the chemical potential. For kBT EF μ is almost exactly equal to EF. FermiDirac function for a Fermi temperature TF =50,000K, about right for Copper. n(E)dE EF E 索末菲的成功之處 ： （ 1）費(fèi)米能的測量和計(jì)算 （ 2）電子能態(tài)的測量和計(jì)算 （ 3）費(fèi)米溫度 （ 4）室溫下費(fèi)米能量 （ 5）自由電子比熱 （ 6）魏德曼 費(fèi)蘭茨定律證明 2023/1/19 COLLEGE OF MATERIAL SCIENCE AND CHEMICAL ENGINEERING. HEU 20 167。2023/1/19 COLLEGE OF MATERIAL SCIENCE AND CHEMICAL ENGINEERING. HEU 1 第 2章 固體電子理論 2023/1/19 COLLEGE OF MATERIAL SCIENCE AND CHEMICAL ENGINEERING. HEU 2 ? 金屬自由電子理論 ? 能帶理論 I ? 現(xiàn)代電子理論 (能帶理論 II) 固體電子理論 2023/1/19 COLLEGE OF MATERIAL SCIENCE AND CHEMICAL ENGINEERING. HEU 3 167。 金屬自由電子論 ? 傳統(tǒng)電子導(dǎo)電理論 ? 自由電子費(fèi)米氣體 一、 自由電子氣體（ Drude Model） 假設(shè) 1： 獨(dú)立電子假設(shè) 假設(shè) 2： 自由電子假設(shè) 假設(shè) 3： 碰撞假設(shè)（電子 離子） 假設(shè) 4： 馳豫時(shí)間假設(shè) 假設(shè) 5： 隱含假設(shè)（經(jīng)典力學(xué)） Paul Karl Ludwig Drude （ 18631906） Drude treated the (free) electrons as a classical ideal gas but the electrons should collide with the stationary ions, not with each other. 隨機(jī)分布的離子 1）電子比熱容太大，無實(shí)驗(yàn)證據(jù)； 2）溫度趨于零的時(shí)候，無限大的平均自由程與有限離子間矛盾 (馳豫時(shí)間估算 )； 3）模型給出電導(dǎo)率與溫度無關(guān)； …… 問題？ 成就：成功計(jì)算出洛侖茲數(shù) 二、自由電子費(fèi)米氣體 (Sommerfeld Model) 假設(shè) 1： 獨(dú)立電子假設(shè) 假設(shè) 2： 近自由電子假設(shè) 假設(shè) 3： 碰撞假設(shè) (電子 離子；電子 電子 ) 假設(shè) 4： 馳豫時(shí)間近似 假設(shè) 5： 電子運(yùn)動(dòng)遵循 FD統(tǒng)計(jì)分布 Sommerfeld Assumption: Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld （ 18681951） was a German theoretical physicist who pioneered developments in atomic and quantum physics, and also educated and groomed a large number of students for the new era of theoretical physics. 波函數(shù)和量子態(tài)數(shù) 根據(jù) FD統(tǒng)計(jì) 分布和 S方程 ， 可知自由電子氣中電子的波函數(shù)為： )exp()( 21 rkiVr ??? ??? kpmk ????? ?? ,2/22?金屬中價(jià)電子的總數(shù)等于倒易空間中被占據(jù)的自由電子量子態(tài)個(gè)數(shù)： 其中 V金屬晶體的體積；波函數(shù) 取決于自由電子能量 。 能帶理論 ?布洛赫能帶理論 ?能帶模型 ?能帶電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似和有效質(zhì)量 一、布洛赫能帶理論 假設(shè) 1： 獨(dú)立電子假設(shè) 假設(shè) 2： 等效周期勢 假設(shè) 3： 晶格散射 假設(shè) 4： 量子力學(xué)及 FD統(tǒng)計(jì) He was able, by bining it with the essential elements of his earlier work on the magic moment of the neutron, to remeasure this important quantity with great accuracy in collaboration with D. Nicodemus and . Staub (1948). His more recent theoretical work has dealt primarily with problems which have arisen in conjunction with experiments carried out in his laboratory. 單電子近似的結(jié)果，周期性勢場（周期為一個(gè)晶格常數(shù)）。 因此把波矢限制在第一布區(qū)內(nèi) .且第一布區(qū)內(nèi)的分立波矢數(shù)為晶體原胞數(shù) N可容納的電子數(shù)為 2N. )()( axx nKkk ?? ???； 具有共同本征值 k?與 nKk??描寫同一狀態(tài) . 因此可以把波矢限制在 第一布區(qū) 內(nèi) aka?? ???波矢數(shù)： NNaa ??? 2/2（考慮自旋，電子數(shù)為 2N） 中心方程 能帶 能帶的表示方法 周期區(qū) 簡約區(qū) 周期區(qū)圖示 每個(gè)能帶的狀態(tài)總數(shù)為單胞數(shù)目的二倍 Modified from BandDiagramSemiconductors Silicon in wave Bloch:w of modulus Squarecorresponding to Γ point and lower valence band 布洛赫波示意圖 2維方格子的布里淵區(qū) 二維正方晶格的布里淵區(qū) 2023/1/19 PHYSICS 32 二維長方晶格的布里淵區(qū) 2023/1/19 PHYSICS 33 二維六方晶格的十個(gè)布里淵區(qū) 2023/1/19 34 面心立方晶格的第一布里淵區(qū) PHYSICS 2023/1/19 PHYSICS 35 面心立方晶格的第一布里淵區(qū) 主要對稱軸： Δ： ΓX軸 ， 四度旋轉(zhuǎn)軸 ， 波矢取值 ， 0δ1； Λ： ΓL軸 ， 三度旋轉(zhuǎn)軸 ， 波矢取值 ， 0?1/2； Σ： ΓK軸，二度旋轉(zhuǎn)軸， 波矢取值， 0 ? 3/4。 本圖中用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)出了倒格點(diǎn) 。如果正格子體心立方體的邊長是 a， 則倒格子為邊長等于 4π/a的面心立方 。 緊束縛近似 (tight binding model) 緊束縛模型：電子幾乎為一個(gè)原子所有 ， 在空間上稍有擴(kuò)展 ， 即緊束縛方法認(rèn)為電子在孤立原子中的情形 ，而又不全如此：每個(gè)原子對它附近的電子的作用較強(qiáng) ，當(dāng)二者的距離稍遠(yuǎn)時(shí) ， 作用很小 。 20個(gè)氫原子構(gòu)成原子環(huán)的 1s能帶 （ 1） 基函數(shù) （ Wanner函數(shù)） ),( rRa n??? 為能帶序號原子坐標(biāo)，電子坐標(biāo) nRr ?? ,電子波函數(shù) : ? ??nRkinnerRaNrk??????),(1),( ??? ? ???kRkinnerkNrRa??????),(1),( ?? ?? ????kRrki rkueNn ),(1 )( ??????性質(zhì)： ： ),(),( nRrkurku ?????? ?? ??： 不同格點(diǎn)不同能帶的 Wanner函數(shù)正交。 )(),( nn RrarRa ???? ??? ??取旺尼爾函數(shù)為孤立原子波函數(shù)： )()( natn RrRra ???? ??? ??電子波函數(shù)： )(1),( natnRki RreNrk n ???????? ? ? ?? ??)( nat Rr ?? ???滿足： )()())(2( 22natnatnat RrRrRrVm??????? ??????? ????（ 2） 求系統(tǒng)的能量 ： 孤立原子： 晶 體： )()()(222natnatatnatatRrRrHRrVmH?????????????????? ? ),(),())(2()(22222rkErkrVmrVmH????????????? ???????0),())(2( 22