【正文】 ? 加法結合律 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? 乘法交換律 ab ba? 乘法結合律 ( ) ( )ab c a bc? 分配率 ()a b c ab ac? ? ? a 與 a? 互為相反數(shù) ( 0)aa? 與 1a 互為倒數(shù) （ 2） 乘方 與開方運算 若 nxa? ，則 a 稱為 x 的 n 次方（或 n 次冪） , x 稱為 a 的 n 次方根。 實數(shù)的基本性質(zhì) （ 1）若 ,ab R??，則在 ,a b a b a b???中有且只有一個成立； （ 2） a? ，則 2 0a? 。 11 數(shù)軸上的點從左到右的順序，就是對應的實數(shù)從小到大的順序。 二、數(shù)的分類 實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù) 數(shù)軸 數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的一條直線。 有偶數(shù)位來賓 （ ） （ 1）聚會時所有來賓都在一張圓桌周圍，且每位來賓與鄰座性 別不同。 【典型例題】 【例 1】 從 1到 120的自然數(shù)中，能被 3整除或能被 5整除的數(shù)的個 數(shù)是（ ）個。 1公倍數(shù)與公因數(shù)的性質(zhì) 設 ,ab是任意兩個正整數(shù)，則有： （ 1） ,ab的所有公倍數(shù) 就是 [, ]ab 的所有倍數(shù)，即若 |ad且 |bd，則 [ , ]|ab d ； （ 2） [ , ]( , )abab ab?。 互質(zhì)數(shù) 8 公約數(shù)只有 1的兩個數(shù)稱為互質(zhì)數(shù)。 設 ,ab是兩個整數(shù)， 若整數(shù) c 滿足 ,acbc ，則 c 稱為 a 和 b 的公倍數(shù)。 a 和 b 的所有公約數(shù)中的最大者稱為 a 和 b 的 最大公約數(shù) ，記為 (, )ab 。任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積，能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)是合數(shù)。 （ 8）如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個是 2；如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個是 2。 （ 6）若正整數(shù) ,ab的積是質(zhì)數(shù) p ，則必有 ap? 或 bp? 。 （ 4）設 p 是一質(zhì)數(shù)， ,ab是整數(shù)，若 |pab? ，則必有 |pa或 |pb。質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)是 2，最小的質(zhì)數(shù)也是 2。 （ 2） 2是唯一的既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)， 即是唯一的偶質(zhì)數(shù)。 1?????正 整 數(shù) 質(zhì) 數(shù)合 數(shù) 【質(zhì)數(shù)、合數(shù)的判斷方法】對于一個不大的自然數(shù) n （ 1n? ， n 非完全平方數(shù)），可用下面的方法判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，先找出一個大于 n 的最小完全平方數(shù) 2k ，再寫出 k 內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，若這些質(zhì)數(shù)都不能整除 n ，則 n 是質(zhì)數(shù)；若這些質(zhì)數(shù)中有一個質(zhì)數(shù)能整除 n ，則 n 為合數(shù)。 【注】 0屬于偶數(shù)。 q 叫做 a 被 b 除所得的不完全商， r 叫做 a 被 b 除所得到的余數(shù)。 連續(xù) k 個正整數(shù)的乘積能被 !k 整除。 能被 11 整除的數(shù)：從右向左，奇數(shù)位數(shù)字之和減去偶數(shù)位數(shù)字之和能被 11 整除（包括 0）。 能被 9 整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被 9 整除。 能被 6 整除的數(shù)：同時滿足能被 2 和 3 整除的條件。 能被 4 整除的數(shù)：末兩位（個位和十位）數(shù)字必能被 4 整除。 整除的性質(zhì) （ 1）如果 | , |c bb a ，則 |ca； （ 2）如果 | , |c bc a ，則對任意的整數(shù) ,mn有 | ( )c ma nb? ； 常見整除的特點 能被 2 整除的 數(shù)：個位為 0， 2， 4， 6， 8。 數(shù)的整除 設 ,ab是任意兩個整數(shù)，其中 0b? ，如果存在一個整數(shù) q ，使得等式 a bq? 成立，則稱 b 整除 a 或 a能被 b 整除，記作 |ba，此時我們把 b 叫做 a 的因數(shù)，把 a 叫做 b 的倍數(shù)。 （ 1） 1?a （ 2） 1?a 第一章 算術 【大綱考點】 整數(shù) （ 1）整數(shù)及其運算 （ 2）整除、公倍數(shù)、公約數(shù) （ 3）奇數(shù)、偶數(shù) （ 4）質(zhì)數(shù)、合數(shù) 分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù) 比與比例 數(shù)軸與絕對值 一、數(shù)的概念與性質(zhì) 自然數(shù) ? （非負整數(shù)）： 0， 1， 2，? 6 整數(shù) ? ：?， 2， 1， 0， 1， 2，? 分數(shù)：將單位 1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾 份的數(shù)叫做分數(shù)。 （ 1） n 是 10的倍數(shù) （ 2） n 是 14的倍數(shù) 【例 6】 0abc? ? ? 成立。 【 注 】 此方法不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上。 （ 1） 2s? （ 2） 2s? 【例 4】 等式 112 2xxx x???? ?成立。 【例 2】 2x? 是多項式 32( ) 2f x x x a x b? ? ? ?的因式。 即：若 BC? ，而 AC? ，則 AB? 。 【例 1】 方程 2 3 4 0xx? ? ? 成立。 常用求解方法 實際上，這類判斷題的求解即判斷下面三個命題的真假： ①條件（ 1）成立，則題干結論成立； ②條件（ 2）成立，則題干結論成立； ③條件（ 1）和（ 2）都成立，則題干結論成立； （ 1） 解法一 直接定義分析法（即由 A 推導 B ） 若由 A 可推導出 B ，則 A 是 B 的充分條件；若由 A 推導出與 B 矛盾的結論，則 A 不是 B 的充分條件。 解題說明 本大題要求判斷所給的條件能否 充分支持 題干中陳述的結論， 即只要分析條件是否充分即可，不必考慮條件是否必要。若由條件 A ，不能推出結論 B 成立 （即 AB?? ），則稱 A 不是 B 的充分條件。因而考生在備考時應對于充分條件的有關概念、聯(lián)考題型的結構及其邏輯關系以及解題策略和應試技巧 等有一個全面的理解和把握。 概率 （ 1）事件及其簡單運算 （ 2）加法公式 （ 3）乘法公式 （ 4）古典概型 （ 5）伯努利里概型 二、數(shù)學命題特點 數(shù)學考試大綱內(nèi)容涵蓋初中和高中六年的知識，面大，量多，范圍廣，考生復習時很難抓住重點，同時初數(shù)的解題技巧性極強，加大技巧的訓練越來越重要。 試題涉及的數(shù)學知識范圍有： （ 一）算術 整數(shù) （ 1）整數(shù)及其運算 （ 2）整除、公倍數(shù)、公約數(shù) （ 3）奇數(shù)、偶數(shù) （ 4）質(zhì)數(shù)、合數(shù) 分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù) 比與比例 數(shù)軸與絕對值 （二）代數(shù) 整式 （ 1）整式及其運算 （ 2）整式的因式與因式分解 分式及其運算 函數(shù) （ 1）集合 2 （ 2）一元二次函數(shù)及其圖像 （ 3）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 代數(shù)方程 （ 1）一元一次方程 （ 2）一元二次方程 （ 3）二元一次方程組 不等式 （ 1）不等式的性質(zhì) （ 2）均值不等式 （ 3）不等式求解 ： 一元一次不等式 (組 )，一元二次不等式，簡單絕 對值不等式，簡單分式不等式。不允許使用計算器。 1 緒論及預備知識 一、數(shù)學試卷形式結構及內(nèi)容大綱 試卷滿分及考試時問 試卷滿分為 200 分，考試時間為 180 分鐘。 答題方式 答題方式為閉卷、筆試。 試卷內(nèi)容與題型結構 數(shù)學基礎 75 分，有以下兩種題型： 問題求解 15 小題，每小題 3 分，共 45 分 條件充分性判斷 10 小題，每小題 3 分，共 30 分 考查內(nèi)容 綜合能力考試中的數(shù)學基礎部分主要考查考生的運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和數(shù)據(jù)處理能力，通過問題求解和條件充分性判斷兩種形式來測試。 數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列 （三）幾何 平面圖形 （ 1）三角形 （ 2）四邊形 (矩形、平行四邊形、梯形 ) （ 3）圓與扇形 空間幾何體 （ 1）長方體 （ 2）圓柱體 （ 3）球體 平面解析幾何 （ 1）平面直角坐標系 （ 2）直線方程與圓的方程 （ 3）兩點間距離公式與點到直線的距離公式 （四）數(shù)據(jù)分析 l、 計數(shù)原理 （ 1）加法原理、乘法原理 （ 2）排列與排列數(shù) （ 3）組合與組合數(shù) 數(shù)據(jù)描述 （ 1）平均值 3 （ 2）方差與標準差 （ 3）數(shù)據(jù)的圖表表示 直方圖，餅圖，數(shù)表。 三、預備知識 基本公式 （ 1） 2 2 2)2a b a a b b? ? ? ?（ （ 2） 3 3 2 2 3) 3 3a b a a b a b b? ? ? ? ?（ （ 3） 22( )( )a b a b a b? ? ? ? （ 4） 3 3 2 2( ) ( )a b a b a a b b? ? ? ?減 加 （ 5） 2 2 2 2) 2 2 2a b c a b c a b a c b c? ? ? ? ? ? ? ?（ （ 6） 2 2 2 2 2 22 ( )a b c a b a c b c a b c a b a c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 [ ( ) ( ) ( ) ]2 a b a c b c? ? ? ? ? ? 指數(shù)相關知識 （ 1）平方根 （ 2）算術平方根 條件充分性判斷 從大綱要求上看，條件充分性判斷題主要考查考生對數(shù)學的基本概念、基本方法的熟練掌握程度，并能夠迅速準確地判斷題干中陳述的結論可否由條件（ 1）或（ 2）推出。 4 （ 1）、充分性命題定義 由條件 A 成立，就可以推出結論 B 成立（即 AB? ），則稱 A 是 B 的充分條件。 【注意】 A 是 B 的充分條件可巧妙地理解為：有 A 必有 B ，無 A 時 B 不定。閱讀條件（ 1）和（ 2）后選擇： A 條件（ 1）充分，但條件（ 2）不充分 B 條件（ 2）充分，但條件（ 1）不充分 C 條件（ 1）和條件（ 2）單獨都不充分，但條件（ 1）和條件（ 2）聯(lián)合起來充分 D 條件（ 1）充分，條件（ 2）也充分 E 條件（ 1）和條件（ 2）單獨都不充分，條件（ 1）和條件（ 2）聯(lián)合起來也不充分 ▲以上規(guī)定全講義 適用，以后不再重復說明。該解法是解“條件充分性判斷”型題的最基本的解法，應熟練掌握。 （ 1） 1x?? （ 2） 2( 4) 0,x x R? ? ? （ 2）解法二 題干等價推導法（尋找題干結論的充分必要條件） 要判斷 A 是否是 B 的充分條件，可找出 B 的充要條件 C ，再判斷 A 是否是 C 的充分條件。特殊地，當條件給定的參數(shù)范圍落入題干成立范圍時，即判斷該條件是充分。 （ 1） 1, 2ab?? （ 2） 2, 3ab?? 5 【例 3】 不等式 sxx ???? |4||2| 無解。 （ 1） 3x? （ 2） 3x? （ 3）解法三 特殊反例法 由條件中的特殊值或條件的特殊情況入手，推導出與題干矛盾的結論，從而得到條件不充分的選擇。 【例 5】 整數(shù) n 是 140的倍數(shù)。 （ 1）實數(shù) ,abc在數(shù)軸上的位置如圖 11所示 （ 2）實數(shù) ,abc滿足條件 2 0abc? ，且 abc?? 【例 7】 要使 1 1a? 成立。 百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)。如果這樣的 q 不存在，則稱 b 不整除 a ，記做 |ba? 。 能被 3 整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被 3 整除。 能被 5 整除的數(shù)：個位為 0 或 5。 能被 8 整除的數(shù)：末三位（個位、十位和百位）數(shù)字必能被 8 整除。 能被 10 整除的數(shù)：個位必為 0。 能被 12 整除的數(shù)：同時滿足能被 3 和 4 整除的條件。 帶余除法 設 ,ab是任意兩個整數(shù)，其中 0b? ，則存在整數(shù) ,qr使得 ,0a bq r r b? ? ? ?成立，而且 ,qr都是唯一的。 奇數(shù)與偶數(shù) 不能被 2整除的數(shù)稱為奇數(shù)；能被 2整除的數(shù)稱為偶數(shù)。 7 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 一個大于 1 的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有 1 和它本身，則稱這個整數(shù)是質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）；一 個大于 1的整數(shù)，如果除了 1和它本身，還有其他的正因數(shù)，則稱這個整數(shù)是合數(shù)（或復合數(shù)）。 質(zhì)數(shù)與合數(shù)的重要性質(zhì) （ 1）質(zhì)數(shù)和合數(shù)都在正整數(shù)范圍，且有無數(shù)多個。大于 2的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)。 （ 3）若 p 是一質(zhì)數(shù)， a 是任一整數(shù)，則 a 能被 p 整除或 p 與 a 互質(zhì)（ p 與 a 的最大公因數(shù)是 1）。 （ 5）推廣：設 p 是一質(zhì)數(shù)， 12,na a aL 是 n 個整數(shù)，若 12| np a a a? ? ?L ，則 p 一定能整除其中一個 ka 。 （ 7） 1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。 （ 9）最小的合數(shù)是 4。 最大公約（因）數(shù)與最小公倍數(shù) 設 ,ab是兩個整數(shù)， 若整數(shù) c 滿足 ,cacb