導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)(理)-展示頁(yè)
2024-10-10 17:25本頁(yè)面
【正文】 a 由 f?(x)0 得 x 或 x0. ∴ f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ( , 0)。 如果左負(fù)右正 , 那么 f(x) 在這個(gè)根處取得極小值 . 典型例題 1 已知 a?R, 求函數(shù) f(x)=x2eax 的單調(diào)區(qū)間 . 解 : 函數(shù) f(x) 的 導(dǎo)數(shù) f?(x)=2xeax+ax2eax =(2x+ax2)eax. (1)當(dāng) a=0 時(shí) , 由 f?(x)0 得 x0。 (2)將 f(x) 的各極值與 f(a), f(b) 比較 , 其中最大的一個(gè)是 最大 值 , 最小的一個(gè)是最小值 . (2)求導(dǎo)數(shù) f?(x)。 (3)求方程 f?(x)=0 的根 。 f(x0) 是極值的方法 (1)如果在 x0 附近的左側(cè) f?(x)0, 右側(cè) f?(x)0, 那么 f(x0) 是 極大值 。一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 . 了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件 (導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào) ), 會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題 (一般指單峰函數(shù) )的最大值和最小值 . 二、重點(diǎn)解析 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) f(x), 先求出 f?(x), 利用 f?(x)0(或 0)求出函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間 。 利用 f?(x)=0, 求出 f(x) 的極值點(diǎn) , 把極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較 , 求出最值 . 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 f?(x)=0, 此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大 (小 )值 , 那么不與端點(diǎn)比較 , 也可以知道這就是最大 (小 )值 . 如果應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題 , 最關(guān)鍵的是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型 (函數(shù)關(guān)系 ), 然后再運(yùn)用上述方法研究單調(diào)性及極 (最 )值 . 三、知識(shí)要點(diǎn) (1)(函數(shù)單調(diào)性的充分條件 )設(shè)函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) , 如果 f?(x)0, 則 y=f(x) 為 增 函數(shù) , 如果 f?(x)0, 則 y=f(x) 為減 函數(shù) , (2)(函數(shù)單調(diào)性的必要條件 )設(shè)函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) , 如果 f(x) 在該區(qū)間單調(diào)遞增 (或減 ), 則在該區(qū)間內(nèi) f?(x)≥ 0 (或 f?(x)≤ 0). 注 當(dāng) f? (x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零 , 在其余點(diǎn)處均為正(或負(fù) )時(shí) , f(x) 在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增 (或遞減 )的 . 例 f(x)=x3 在 (1, 1) 內(nèi) , f?(0)=0, f?(x)0(x?0). 顯然 f(x)=x3 在 (1, 1) 上仍舊是增函數(shù) . 極大值與極小值統(tǒng)稱為 極值 . 是函數(shù) f(x) 的一個(gè) 極小值 , 記作 : y極小值 =f(x0), 如果對(duì) x0附近的所有點(diǎn) , 都有 f(x)f(x0), 就說(shuō) f(x0) 設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 及其附近有定義 , 如果對(duì) x0 附近的所有點(diǎn) , 都有 f(x)f(x0), 我們就說(shuō) f(x0) 是函數(shù) f(x) 的一個(gè) 極大值 , 記作 : y極大值 =f(x0)。 (2)如果在 x0 附近的左側(cè) f?(x)0, 右側(cè) f?(x)0, 那么 f(x0) 是 極小值 . 一般地 , 當(dāng)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)時(shí) f(x) 的極值的步驟 : (1)確定函數(shù)的定義域 。 最大值與最小值 在閉區(qū)間 [a, b] 上連續(xù)的函數(shù) f(x) 在 [a, b] 上必有最大值與最小值 . 但在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) f(x) 不一定有最大值與最小值 , 例如 f(x)=x, x?(1, 1). f(x) 在 [a, b] 上連續(xù) , 在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , 求 f(x) 在 [a, b]上的 最大值與最小值的 步驟如下 : (1)求 f(x) 在 (a, b) 內(nèi)的極值 。 (4)檢查 f?(x) 在方程 f?(x)=0 的根左右的值的符號(hào) , 如果左正右負(fù) , 那么 f(x) 在這個(gè)根處取得極大值 。 由 f?(x)0 得 x0. ∴ f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (∞ , 0), 單調(diào)遞增區(qū)間為 (0, +∞ ), (2)當(dāng) a0 時(shí) , 由 f?(x)0 得 x0。 2 a f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (∞ , ) 和 (0, +∞ ). 2 a (3)當(dāng) a0 時(shí) , 由 f?(x)0 得 x0 或 x 。 2 a f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0, ). 2 a 典型例題 2 已知 a 為實(shí)數(shù) , f(x)=(x24)(xa). (1)求導(dǎo)函數(shù) f?(x)。 (3)若 f(x) 在 (∞ , 2]和 [2, +∞ ) 上都是遞增的 , 求 a 的取值范圍 . 解 : (1)由已知 f(x)=x3ax24x+4a, ∴ f?(x)=3x2
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