高二數(shù)學(xué)拋物線-展示頁(yè)
2024-11-24 18:19本頁(yè)面
【正文】 知燈口的直徑是 24 cm，燈深 10 cm，那么燈泡與反射鏡的頂點(diǎn) (即截得拋物線的頂點(diǎn) )距離是多少？ 變式 4－ 1 解：取反射鏡的軸即拋物線的軸為 x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 xOy，如圖． ∵ 燈口直徑 AB=24 cm，燈深 OP=10 cm， ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (10,12)． 設(shè)拋物線的方程為 y2=2px(p＞ 0)， ∵ 點(diǎn) A(10,12)在拋物線上，得 122=2p 10，∴ p=. 拋物線焦點(diǎn) F的坐標(biāo)為 (,0)． 因此，燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離是 cm. ? 1.(2020 2.∵ 32， ∴ 點(diǎn) A在拋物線外部． 又 ∵ PA +PF≥AF= ， ∴ A、 P、 F三 點(diǎn)共線時(shí)有最小值 ，最小值為 . 325325變式 1－ 1 【 例 2】 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上的一點(diǎn) A(m，－3)到焦點(diǎn) F的距離為 5，求 m的值，并寫(xiě)出此拋物線的方程． 題型二 拋物線的幾何性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程 分析：因?yàn)辄c(diǎn) A(m， 3)在直線 y=3上，所以拋物線的開(kāi)口方向存在向左、向右、向下三種情況，必須分類討論． 解： ① 若拋物線開(kāi)口方向向下， 設(shè)拋物線方程為 x2=2py(p0)， 這時(shí)準(zhǔn)線方程為 y= . 由拋物線定義知 (3)=5，解得 p=4， 所以拋物線方程為 x2=8y. 這時(shí)將點(diǎn) A(m， 3)代入方程，得 m=177。 4 5. 設(shè)拋物線 y2＝ mx的準(zhǔn)線與直線 x＝ 1的距離為 3，則拋物線的方程 ________________． 解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為 x= ， 則 =3，解得 m=8或 m= 物線方程為 y2=8x或 y2=16x. 4m1 4m?y2=8x或 y2=16x 【 例 1】 已知拋物線 y2＝ 2x的焦點(diǎn)是 F，點(diǎn) P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求 PA＋ PF的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)． 題型一 拋物線的定義及其應(yīng)用 經(jīng)典例題 分析：拋物線上點(diǎn) P到焦點(diǎn) F的距離等于點(diǎn) P到準(zhǔn)線 l的距離 d，求 PA +PF的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為 PA +d的問(wèn)題，再運(yùn)用三點(diǎn)共線可使問(wèn)題得到解決． 解：將 x=3代入拋物線方程 y2=2x，得 y=177。 4y 3. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(4，－ 2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ____________． 解析：由于拋物線過(guò)點(diǎn) P(4， 2)，且焦點(diǎn)在 y軸上，則焦點(diǎn)一定在 y軸負(fù)半軸上．設(shè)拋物線方程為 x2=2py，把 (4， 2)代入得 p=4，所以拋物線方程為 x2=8y. x2=8y 4. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上．又知拋物線上一點(diǎn) A
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