【正文】 量表示成某一變量的函數(shù)，函數(shù)的值域即為待求量的取值范圍 . 42 圓錐曲線中的最值問(wèn)題主要有與圓錐曲線有關(guān)的線段長(zhǎng)度、圖形面積等 .研究的常見途徑有兩個(gè)： （ 1）利用平面幾何中的最值結(jié)論； （ 2）把幾何量用目標(biāo)函數(shù)表示出來(lái)，再用函數(shù)或不等式知識(shí)求最值 .建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍 . 43 例 1：（ 2022 ay ＝ 0 ，則可設(shè)雙曲線方程為 b2x2177。新課標(biāo)全國(guó)高考）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓 C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn) F1， F2在 x軸上，離心率為 過(guò) F1的直 線 l交 C于 A， B兩點(diǎn)，且 △ ABF2的周長(zhǎng)為 16，那么 C的方程為____． 2.22222 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?0EP FP??2211 6 9xy??22134xy??22 143xy??22 19 1 6xy??C 24 【解析】 (1)選 E（ c,0）， F（ c,0），則 （ 3+c,4） ，求 △ F1PF2的面積 ⑵ 若 ∠ F1PF2=60176。1 圓 錐 曲 線 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 直線與圓錐曲線 的位置關(guān)系 一、知識(shí)點(diǎn)框架 2 雙曲線的定義： 1 2 1 2|| | | || 2 , ( 0 2 | |)M F M F a a F F? ? ? ?橢圓的定義： |)|2(,2||||2121 FFaaMFMF ???二、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)梳理 圓錐曲線的定義 3 ? ?0 12222???? babyax ? ?0 12222???? babxay橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ? ?0,0 12222???? babyax ? ?0,0 12222???? babxay雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ? ?0 22 ??? ppxy拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ? ?0 22 ??? ppyx圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 4 l. F d M . l. F d M . l. F d M . 橢 圓 拋 物 線 雙 曲 線 范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率焦點(diǎn)、準(zhǔn)線雙曲線）漸進(jìn)線 (圓錐曲線的性質(zhì) 通徑長(zhǎng) 焦點(diǎn)弦 5 l. F d M . l. F d M . l. F d M . 范圍： 對(duì)稱性： 頂點(diǎn)： 離心率： 焦點(diǎn)： ,x a y a?? ,x a y R?? 0,x y R??x軸 ,y軸 ,原點(diǎn) 對(duì)稱，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 為 2a,短軸長(zhǎng)為 2b 關(guān)于焦點(diǎn)所在軸對(duì)稱 ( 0 , 1 )ce a?? (1 , )cea? ? ? ?( , 0)2pF( , 0 ) , ( 0 , )ab?? ( , 0 ) , ( , 0 )aa? (0,0)22( , 0 ) ,c c a b? ? ? 22( , 0) ,c c a b? ? ?x軸 ,y軸 ,原點(diǎn)對(duì)稱，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2a,短軸長(zhǎng)為 2b 無(wú) 6 l. F d M . l. F d M . l. F d M . 通徑長(zhǎng)： 漸近線 2pbyxa??無(wú) 無(wú) 準(zhǔn)線 2px ??無(wú) 無(wú) 無(wú) 無(wú) 7 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 計(jì)算 △ 注意特殊情況 直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng) 弦長(zhǎng)公式 直線與圓錐曲線的弦中點(diǎn) 韋達(dá)定理 或點(diǎn)差法 )(過(guò)焦點(diǎn)()相 交 、 相 切 和 相 離8 (1)弦長(zhǎng)公式 ),( 11 yx),( 22 yxAB??]4)) [ (1( 212212 xxxxkAB ????),( 11 yx),( 22 yxAB??注意： 一直線上的任意兩點(diǎn)都有距離公式或弦長(zhǎng)公式 mkxy ??]4)) [ (11( 212212 yyyykAB ????9 (2)面積求解 12ABCS A B d? ??1212ABCS O C y y? ? ? ??????????12222byaxmkxy消元 一元二次方程 0)( ?xf 0)( ?yg消 y 消 x O A B c x y 10 (3)直線與圓錐曲線有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題 解題 思路： ?????直 線 與 圓 錐 曲 線 聯(lián) 立 消 元 得 到 一 元 二 次 方 程點(diǎn) 差 法點(diǎn) 的 對(duì) 稱 性11 圓錐曲線定義的應(yīng)用 【技法點(diǎn)撥 】 圓錐曲線定義的應(yīng)用技巧 （ 1）在求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題時(shí)，若所求軌跡符合圓錐曲線的定義，則根據(jù)其直接寫出圓錐曲線的軌跡方程 . （ 2）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，在橢圓和雙曲線中，常涉及曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連接而成的“焦點(diǎn)三角形”，處理時(shí)常結(jié)合 圓錐曲線的定義 及 解三角形的知識(shí) 解決 . （ 3）在拋物線中，常利用定義，以達(dá)到“到焦點(diǎn)的距離”和“到準(zhǔn)線的距離”的相互轉(zhuǎn)化 . 12 例 1： (1)一動(dòng)圓與兩圓： x2+y2=1和 x2+y26x+5=0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 ( ) （ A）拋物線 （ B）雙曲線 （ C）雙曲線的一支 （ D）橢圓 (2)（ 2022遼寧高考）已知 F是拋物線 y2＝ x的焦點(diǎn)， A， B是該拋物線上的兩點(diǎn)， |AF|＋ |BF|＝ 3，則線段 AB的中點(diǎn)到 y軸的距離為 ( ) （ A） （ B） 1 （ C） （ D） 5474C C 13 1 、 如圖 所示，已知兩圓 A ： ( x ＋ 1)2＋ y2＝ 1 ， B ： ( x － 1)2＋ y2＝ 25 ，動(dòng)圓 M 與圓 A 外切，與圓 B 內(nèi)切，求動(dòng)圓 M 的圓心M 的軌跡方程． 練習(xí)一： 14 2 、 已知點(diǎn) P 是橢圓x216＋y24＝ 1 上的位于第二象限的點(diǎn)，且點(diǎn) P到橢圓左焦點(diǎn) F 1 的距離為 2 ，則線段 PF 1 的中點(diǎn) M 到橢圓中心的距離是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 C 15 作業(yè)： 1 、 一動(dòng)圓與圓 ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 外切，又與圓 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ______________ __ ． x 24 －y 25 ＝ 1 ( x ≥ 2)16 例 2： 已知點(diǎn) P 是橢圓 一點(diǎn) ， F1和 F2 是橢圓的焦點(diǎn) ， 192522 ?? yx⑴ 若 ∠ F1PF2=90176。 ，求 △ F1PF2的面積 ⑶ 若 ∠ F1PF2=θ，求 △ F1PF2的面積 P F1 F2 d 改成雙曲線呢 ? 17 例 3 ： 若點(diǎn) M ( 2 , 1 ) ，點(diǎn) C 是橢圓x 216 ＋y 27 ＝ 1 的右焦點(diǎn)，點(diǎn) A 是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，則 | AM |＋ | AC |的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 ： |BM |＋ |AM |＋ |AC |≥ |AB |＋ |AC |＝ 2 a ，答案 8 － 26 18 例 4 、 已知 F F2為雙曲線x25－y24＝ 1 的左、右焦點(diǎn)， P ( 3 , 1 )為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) A 在雙曲線的右支上，則 | AP |＋| AF2|的最小值為 ( ) A. 37 ＋ 4 B. 37 － 4 C. 37 － 2 5 D. 37 ＋ 2 5 19 解析 如圖所示，連接 F1P 交雙曲線右支于點(diǎn)A0. ∵ | AP |＋ | AF2|＝ | AP |＋ | AF1|－ 2 5 ， ∴ 要求 | AP |＋ | AF2|的最小值，只需求 | AP |＋ | AF1|的最小值． 當(dāng) A 落在 A0處時(shí)， | AP |＋ | AF1|＝ | PF1|最小，最小值為 37 ， ∴ | AP |＋ | AF2|的最小值為 37 － 2 5 . 答案 C 20 求圓錐曲線的方程 【技法點(diǎn)撥】 一般求已知曲線類型的曲線方程問(wèn)題，可采用 “先定形，后定式，再定量” 的步驟 . (1)定形 ——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置 . (2)定式 ——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞ 0,n＞ 0). (3)定量 ——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小 . 21 、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 最常用方法為 定義法、待定系數(shù)法 ，求解時(shí)注意有兩個(gè)定形條 件 (如已知 a， b， c， e中的任意兩個(gè) )和一個(gè)定位條件 (對(duì)稱軸、 焦點(diǎn)或準(zhǔn)線等 )．對(duì)于雙曲線要注意雙曲線 與漸近線 的關(guān)系，這兩條漸近線方程可以合并表示為 ，一般地，與雙曲線 有共同漸近線的雙曲 線方程是 2222 ( 0 )xyab ??? ? ?2222 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?0xyab??2222 0xyab??2222 1xyab??22 需一個(gè)定位條件（如頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程），以及一個(gè)定形條件（即已知 p）． （ 1）在求解對(duì)應(yīng)圓錐曲線方程時(shí)，還要特別注意隱含條件，如 雙曲線 有 c2=a2+b2， 橢圓 有 a2=b2+c2. （ 2）“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個(gè)不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說(shuō)明方程軌跡的形狀，這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌 . 23 例 1： (1)已知點(diǎn) P(3， 4)是雙曲線 漸近線上的一點(diǎn)， E， F是左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若 則雙 曲線方程為 ( ) （ A） （ B） （ C） （ D） (2)（ 2022 （ 3c,4） =25c2=0，所以 c2= A、 B. 又由 D中雙曲線的漸近線方程為 點(diǎn) P不在其上，排除 D, 故選 C. (2)設(shè)橢圓方程為 因?yàn)殡x心率為 EP FP ?3yx4?? ，? ?2222xy 1 a b 0ab? ? ?＝ ．22，25 所以 解得 即 a2＝ 2b2. 又 △ ABF2的周長(zhǎng)為｜ AB｜ +｜ AF2｜ +｜ BF2｜ ＝｜ AF1｜ +｜ BF1｜ +｜ BF2｜ +｜ AF2｜ ＝（｜ AF1｜ +｜ AF2｜） +（｜ BF1｜ +｜ BF2｜） ＝ 2a＋ 2a＝ 4a， 222b12a?? ，22b1a2＝ ，所以 4a＝ 16， a＝ 4，所以 所以橢圓方程為 答案： b 2 2＝ ，22xy 1.16 8? ＝22xy 1.16 8? ＝26 【想一想】 解答題 1的方法有哪些？解答題 2的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？ 提示： （ 1）解答題 1可利用排除法，也可利用待定系數(shù)法直接求解 . （ 2）解答題 2的關(guān)鍵點(diǎn)是將過(guò)焦點(diǎn)的三角形的邊利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為與長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a的關(guān)系 . 27 例 2 ： ( 1) 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 3倍，并且過(guò)點(diǎn) P ( 3,0 ) ，求橢圓的方程； ( 2) 已知橢圓的中心在原 點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P 1 ( 6 ， 1) ， P 2 ( － 3 ，－ 2 ) ，求橢圓的方程．