密度矩陣相關(guān)計(jì)算-展示頁(yè)
2024-08-30 21:14本頁(yè)面
【正文】 ??|12 ??mnmnc（ 29） 若 為純態(tài)時(shí)，體系的密度算符為 ? ? ????????ijnmmnijjmni cc ||||||* ???????（ 30） ??|如果求粒子 1的某力學(xué)量 F(1) 的平均值，由（ 11）式可知 ???????????????????????????????? ?? ??mnnniimimnmnmniiimnmnmjiijjinmnmnmnmFFFFFTrF?????????????????????????????||?|||?|||?|||?|||?||||?||||??||)??()1()1()1()1()1()1(（ 31） 第三個(gè)等號(hào)后插入了一個(gè)單位矩陣。例如，在粒子 1與粒子 2構(gòu)成的體系 中，只需要求出粒子 1的某力學(xué)量 F（ 1） 的平均值。 ?????????????iijijjjijjjiippfW?????????|?||||)(2密度算符的性質(zhì) 設(shè)力學(xué)量算符 滿(mǎn)足 F???? iii fF ?? ||?（ 18） 當(dāng)本征值無(wú)簡(jiǎn)并時(shí)，則 構(gòu)成正交歸一完備系， 而當(dāng)本征值簡(jiǎn)并時(shí)，本征 矢未必正交， 但可以要求它是歸一和完備的。 至此，我們找到了一個(gè)密度算符，它可以代替波函數(shù)來(lái)描述純態(tài)與混合態(tài)，由于密度算符是在希爾伯特空間中定義的算符，它比混合態(tài)的原始定義要方便多了。 F???|（ 2） 混合態(tài)下的密度算符的定義 對(duì)于前面定義的混合態(tài)而言，一個(gè)物理量 F 的平均值要通過(guò)兩次求平均來(lái)實(shí)現(xiàn)。 力學(xué)量 F 在狀態(tài) 上的取值 fi 概率 F? ??|??|?? ? ???????? iiiiiifW ????????? |||||)( 2（ 12） 它是密度算符在算符 的第 i 個(gè)本征態(tài)上的平均值。 ) （ 10） 則（ 9）式可以寫(xiě)為 )??(|??| ?? FTrnFnFn???? ?（ 11） 上式說(shuō)明 算符 在一個(gè)歸一化的純態(tài) 上的平均值等于該算符與密度算符之積的陣跡。 || nn??|| nn?? ?? nn||選任意一組正交歸一完備基底 ，于是有 (注意：在一個(gè) 1*n和一個(gè) n*1兩個(gè)矢量 間插入一個(gè)單位 n*n的矩陣，結(jié)果不變 ) ? ??n|?? ??????????nnnFnFnnF ||?||?|| ????（ 9） 說(shuō)明 ||? ??? ???若引入 純態(tài)之下的密度算符 (此算符為方陣，方陣對(duì)角元為構(gòu)成純態(tài)的任意子態(tài)出現(xiàn)的概率，對(duì)角元加和為 1。波函數(shù)本身是一個(gè)疊加態(tài)矢量，可以被任意一個(gè)完備的空間基底展開(kāi)， 也可以被一個(gè) N維的空間基底展開(kāi)。 假設(shè)正交歸一完備基由 N個(gè)獨(dú)立的正交歸一函數(shù) (矢量 )組成 ,則 表示一個(gè) N行 N列的單位矩陣。 （ 1） 純態(tài)下的密度算符的定義 首先，在純態(tài)之下引入密度算符。前者為概率幅的疊加，稱(chēng)為 相干疊加 ，疊加的結(jié)果形成一個(gè)新的狀態(tài)，后者為概率的疊加，稱(chēng)為 不相干疊加 。設(shè)算符 滿(mǎn)足： 1p?1|? ?2|? ?n?|2p np?i?|F???? iii fF ?? ||?（ 2） 在純態(tài)（ 1）上，取 fi 值的概率為 (投影獲得系數(shù)，概率為系數(shù)平方 ) 222112 |||)( ????????? ??????iiii ccfW（ 3） 而在混合態(tài)上，根據(jù)混合態(tài)的定義可知，取 fi 值的概率為 222121 ||)( ppfW iii ?????? ????（ 4） 顯然，上面兩式完全不同。這樣的狀態(tài)是無(wú)法用希爾伯特空間的一個(gè)態(tài)矢量來(lái)描述的，而需要用一組態(tài)矢量及其相應(yīng)的概率來(lái)描述，則稱(chēng)之為 混合態(tài) ，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)系綜為混合系綜。 斯特恩－革拉赫實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，原子磁矩取值和自旋磁矩取值無(wú)法同時(shí)確定。顯像后的底片上出現(xiàn)了兩條黑斑，表示銀原子經(jīng)過(guò)不均勻磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分成了兩束。例如，在 SternGerlach 實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)原子束通過(guò)磁場(chǎng)后，每個(gè)原子的自旋都指向同一個(gè)方向，即束流的完全被極化的，此時(shí)，可以把體系理解為純粹系綜。在一個(gè)純態(tài) 之上，力學(xué)量 F 的取值是以概率的形式表現(xiàn)的，這就意味著，對(duì)單個(gè)粒子的預(yù)言是與大量粒子構(gòu)成的系綜的統(tǒng)計(jì)平均相聯(lián)系的，或者說(shuō)，量子力學(xué)具有統(tǒng)計(jì)的性質(zhì)。例如： ????? 2211 ||| ??? cc?? 21 |,| ??（ 1） 其中， 為純態(tài)， 也是純態(tài)。 24 路徑積分與格林函數(shù) 167。 22 二次量子化 167。 高等量子力學(xué) (第二章 ) 第二章 量子力學(xué)的理論構(gòu)架 167。 21 表象理論 167。 23 密度矩陣 167。 23 密度矩陣 (算符） 純態(tài)與混合態(tài)
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