線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解-展示頁(yè)
2024-08-30 20:38本頁(yè)面
【正文】 ??????????????????????????????????????????????ttttttttAtssssssssLAsIL2222111e2ee2e2eeee22211221221112112])[(e(2) 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) eAt。 ?所以 ,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息。 ? 由解的表達(dá)式可以看出 ,系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的軌線(xiàn)是由從初始時(shí)刻的初始狀態(tài)到 t時(shí)刻的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移刻劃的 ,如圖 31所示。 ? 若初始時(shí)刻 t0?0,對(duì)上述齊次狀態(tài)方程的解作坐標(biāo)變換 ,則可得解的另一種表述形式 : 0() 0( ) e ( )A t ttt??xx? 狀態(tài)方程的解表達(dá)式說(shuō)明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài) x(t0)從初始時(shí)刻 t0到時(shí)刻 t系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 ,其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻 t的狀態(tài) 完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài) x(t0)所決定。 ? 主要思想為將標(biāo)量函數(shù)的拉氏變換與反變換平行推廣至矩陣函數(shù)中。 ? 由于它類(lèi)似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式 ,所以稱(chēng)為矩陣指數(shù)函數(shù) ,且記為 220( ) . . . . . .2 ! !kkAAt I A t t tk??? ? ? ? ? ?????xx. . .!. . .!2 22??????? kkAttkAtAAtIe? 利用矩陣指數(shù)函數(shù)符號(hào) ,齊次狀態(tài)方程的解可寫(xiě)為： x(t)=eAtx0 2．拉氏變換法 ? 若將對(duì)標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù) ,定義對(duì)向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對(duì)該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換 ,那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態(tài)方程 的解。 ? 將所設(shè)解代入該向量狀態(tài)方程 x’=Ax,可得 q1+2q2t+3q3t2 +… +kqktk1+… =A(q0+q1t+q2t2 +… +qktk+…) ? 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解 ,則對(duì)任意 t,上式均成立。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等 ,即可求得 ? 令 x(t)的解表達(dá)式中 t=0,可確定 q0=x(0) ? 因此 , x(t)的解表達(dá)式可寫(xiě)為 )(32 221012321 ???? ??????????? ? kkkk tqtqtqqatkqtqtqq21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkka a a a aq q q q q q q qkk ?? ? ? ? ?)0(e)0(. . .!. . .!21)( 22xxtkataattx atkk????????? ??????? 上述求解標(biāo)量微分方程的級(jí)數(shù)展開(kāi)法 ,可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。 ? 因此 ,該解經(jīng)泰勒展開(kāi)可表征為無(wú)窮級(jí)數(shù) ,即有 式中 ,qk(k=1,2,...)為待定級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)。 ? 該方程中 x(t)為標(biāo)量變量 ,a為常數(shù)。 ? 所謂齊次狀態(tài)方程，即為下列不考慮輸入的 方程 x’=Ax ? 齊次狀態(tài)方程滿(mǎn)足初始狀態(tài) 0 0( ) ( )tttt? ?xx的解 ,也就是由初始時(shí)刻 t0的初始狀態(tài) x(t0)所引起的無(wú)輸入強(qiáng)迫項(xiàng) (無(wú)外力 )時(shí)的 自由運(yùn)動(dòng) 。 ? 研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的 強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng) 。 ? 研究齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)本身在無(wú)外力作用下的 自由 (自治 )運(yùn)動(dòng) 。 ? 在討論一般線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解之前 ,先討論線(xiàn)性定常齊次狀態(tài)方程的解 ,以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等概念。 ? 下面基于矩陣代數(shù)運(yùn)算的狀態(tài)方程解理論中 ,引入了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣這一基本概念。線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 ? 求解狀態(tài)方程是進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎(chǔ) ,是進(jìn)行定量分析的主要方法。 ? 本節(jié)講授的狀態(tài)方程求解理論是建立在狀態(tài)空間上 ,以矩陣代數(shù)運(yùn)算來(lái)描述的定系數(shù)常微分方程解理
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