高一數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算-展示頁
2024-11-24 01:35本頁面
【正文】 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 例 1 函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ x 0 處可導(dǎo)，用 f ′( x 0 ) 表示下列各式： (1) limΔ x →0 f （ x 0 ＋ 2Δ x ） － f （ x 0 ）Δ x； (2) limh →0 f （ x 0 ＋ h ） － f （ x 0 － h ）h. [ 思路 ] 用導(dǎo)數(shù)的定義即可求解． [ 解答 ] (1) 原式＝ 2ln a ex ax v )′ ＝ ________ ； (3)??????uv′ ＝ __________. 6 ．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) y ＝ f ( u ) ， u ＝ g ( x ) 在對應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，則 yx′＝ yu′第 13講 │ 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算 第 13講 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算 知識梳理 第 13講 │ 知識梳理 1 ．一般地，函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0處的瞬時變化率是 limΔ x →0 Δ yΔ x＝ __________________ ，我們稱它為函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 ________________ ，即 f ′( x0) ＝ limΔ x →0 Δ yΔ x＝______________________. 2 ．當(dāng) x 變化時， f ′( x ) 是 x 的一個函數(shù)，我們稱它為 f ( x ) 的________ ，簡稱 ______ ，有時也記作 y ′ ，即 f ′( x ) ＝ y ′ ＝________________. limΔ x →0 f ( x 0 ＋ Δ x )－ f ( x 0 )Δ x f′(x0)或 y′|x＝ x0 limΔ x →0 f ( x 0 ＋ Δ x ) － f ( x 0 )Δ x 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) limΔ x →0 f ( x ＋ Δ x ) － f ( x )Δ x 第 13講 │ 知識梳理 3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)設(shè)函數(shù) y＝ f(x)在 x0處可導(dǎo)，則 f′(x0)表示曲線上相應(yīng)點(diǎn) M(x0， y0)處的 ____________，點(diǎn) M處的切線方程為______________________． (2)設(shè) s＝ s(t)是位移函數(shù)，則 s′(t0)表示物體在 t0時刻的____________． (3)設(shè) v＝ v(t)是速度函數(shù)，則 v′(t0)表示物體在 t＝ t0時刻的 ________． 4．幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)C是常數(shù)，則 C′＝ ____； (2)(xn)′＝ ______(n∈ Q*)； 切線的斜率 y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0) 瞬時速度 加速度 nx n － 1 0 第 13講 │ 知識梳理 (3) (sin x )′ ＝ ______ ； (4) (cos x )′ ＝ ________ ； (5) (ln x )′ ＝ ______ ； (l o gax )′ ＝ ____ ____ ； (6) (ex)′ ＝ __ __ ； ( ax)′ ＝ ________. 5 ．求導(dǎo)法則 (1) ( u 177。 v )′ ＝ ________ ； (2) ( u ux′. cosx － sinx 1x 1x ln a u′177。 limΔ x →0 f （ x 0 ＋ 2Δ x ） － f （ x 0 ）2Δ x＝ 2 f ′( x 0 ) ． (2) 原式＝ 2 ln2； ③ (ex)′ ＝ ex； ④ ( xa)′ ＝ axln a ； ⑤ (c os x )′ ＝sin x .( ) A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 [ 思路 ] 先判斷原函數(shù)的類型，再套用公式求解． B [ 解析 ] 對于 ① ，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，因此 ??????3x′ ＝ 3xln3 ；對于 ② ，函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，因此 ??????log2x ′ ＝1x 12sin(2 x2－ 2 x ) ＝ (1 －2 x )s in(2 x2－ 2 x ) ． (3) y ′ ＝ (e－ 2 x)′si n??????3 x －π3＋ e－ 2 x??????sin??????3 x －π3′ ＝ ( － 2 x )′e－ 2 xsin （ 3 x －π3） ＋ （ 3 x －π3） ′e－ 2 xcos （ 3 x －π3） ＝－ 2e－ 2 xs in??????3 x －π3＋ 3e－ 2 xcos??????3 x －π3. [點(diǎn)評 ] 對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次， “由外到內(nèi) ”逐層求導(dǎo)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中一般復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次不超過 3層． 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn) 3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例 5 已知曲線 y ＝13x3＋43. (1) 求曲線在點(diǎn) P (2,4) 處的切線方程； (2) 求曲線過點(diǎn) P (2,4) 的切線方程； (3) 求滿足斜率為 1 的曲線的切線方程； (4) 第 (1) 小題中切線與曲線是否還有其他公共點(diǎn)？ [ 解答 ] ( 1 ) ∵ y ′＝ x2， ∴ 在點(diǎn) P (2, 4) 處的切線的斜率 k＝ ???y ′x ＝ 2 ＝ 4. ∴ 曲線在點(diǎn) P (2,4) 處的切線方程為 y － 4 ＝ 4 ??????x － 2 ，即 4 x － y － 4 ＝ 0. 第 13講 │ 要點(diǎn)探究 (2) 設(shè)曲線 y ＝13x3＋43與過點(diǎn) P (2,4) 的切線相切于點(diǎn)A??????x0，13x30＋43，則切線的斜率 k ＝ ???y ′ x ＝ x0＝ x20. ∴ 切線方程為 y －??????13x30＋43＝ x20 ??????x － x0
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