空間直角坐標系及坐標運算-展示頁
2025-08-14 11:09本頁面
【正文】 寫作 a ， ( 3 ) 表示不出 MP→和 NC 1→. 課堂互動講練 互動探究 題目條件不變，試用 a 、 b 、 c 表示MC→＋ MC 1→. 解： MC→＋ MC 1→＝ MA→＋ AB→＋ BC→＋ MA 1→＋ A 1 B 1→＋ B 1 C 1→＝ b ＋ c ＋ b ＋ c＝ 2( b ＋ c ) ． 應用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點共線、點共面、線共面． 1．證明空間任意三點共線的方法 對空間三點 P， A， B可通過證明下列結論成立來證明三點共線 課堂互動講練 考點二 共線向量定理、共面向量定理的應用 課堂互動講練 ( 1 ) PA→＝ λ PB→； ( 2 ) 對空間任一點 O ， OP→＝ OA→＋ t AB→； ( 3 ) 對空間任一點 O ， OP→＝ x OA→＋ y OB→( x＋ y ＝ 1) ． 2．證明空間四點共面的方法 對空間四點 P， M， A， B可通過證明下列結論成立來證明四點共面 課堂互動講練 ( 1 ) MP→＝ x MA→＋ y MB→； ( 2 ) 對空間任一點 O ， OP→＝ OM→＋ x MA→＋ y MB→； 課堂互動講練 ( 3 ) 對空間任一點 O ， OP→＝ x OM→＋ y OA→＋ z OB→( x ＋ y ＋ z ＝ 1) ； ( 4 ) PM→∥ AB→( 或 PA→∥ MB→或 PB→∥ AM→) ． 課堂互動講練 例 2 已知 A、 B、 M三點不共線，對于平面 ABM外的任一點 O，確定在下列各條件下，點 P是否與A、 B、 M一定共面？ ( 1 ) OB→＋ OM→＝ 3 OP→－ OA→； ( 2 ) OP→＝ 4 OA→－ OB→－ OM→. 課堂互動講練 【 思路點撥 】 先化簡已知等式，觀察它能否轉(zhuǎn)化為四點共面的條件． 【解】 法一： ( 1 ) 原式可變形為 OP→＝ OM→＋ ( OA→－ OP→) ＋ ( OB→－ OP→) ＝ OM→＋ PA→＋ PB→. ∴ OM→＝ OP→－ PA→－ PB→. 由共面向量定理的推論知 M 與 P 、 A 、B 共面 ． 課堂互動講練 ( 2 ) 原式可變形為 OP→＝ 2 OA→＋ OA→－OB→＋ OA→－ OM→＝ 2 OA→＋ BA→＋ MA→. 由共面向量定理的推論可得 P 位于平面 ABM 內(nèi)的充要條件可寫成 OP→＝ OA→＋x BA→＋ y MA→. 而此題推得 OP→＝ 2 OA→＋ BA→＋ MA→， ∴ P 與 A 、 B 、 M 不共面 ． ∴ 3＋ (－ 1)＋ (－ 1)＝ 1， ∴ B與 P、 A、 M共面， 即 P與 A、 B、 M共面． ∵ 4＋ (－ 1)＋ (－ 1)＝ 2≠1， ∴ P與 A、 B、 M不共面． 課堂互動講練 法二： ( 1 ) 原式可變形為 OB→ ＝ 3 OP→－ OA→－ OM→， ( 2 ) OP→ ＝ 4 OA→ － OB→ － OM→ ， 課堂互動講練 【名師點評】 在應用法二時，要注意公式 OP→＝ x OA→＋ y OB→＋ z OC→所滿足的條件是從一點出發(fā)的四個向量，且系數(shù)和為 1. 空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算相似，只是多出一個坐標，與平面向量的坐標運算作一些對比可以較容易地掌握空間向量的坐標運算問題． 課堂互動講練 考點三 空間向量的坐標運算 課堂互動講練 例 3 已知空間三點 A (0 , 2 , 3) ， B ( － 2 , 1 , 6) ，C (1 ，－ 1 , 5) ． ( 1 ) 求以 AB→， A
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