第一節(jié)-定積分的概念與性質(zhì)-展示頁
2024-08-20 09:33本頁面
【正文】 ?? ??inii tvs ?? ???)(lim10??路程的精確值 (2) 取近似 曲線下的面積 Area Under a Curve How to find the shaded area under the curve of y＝ f(x) from x＝ a to x＝ b? As shown below: 初等數(shù)學(xué)背景下，曲線下的面積 (Area Under a Curve)是相當(dāng)困難的問題。這樣的圖形面積應(yīng)該怎么 計(jì)算呢？ a b x y o ??A)( xfy ?考慮這樣一個問題： 由連續(xù)曲線 y=f (x) ( )、 x軸與兩條直線 x=a、 x=b所圍成的圖形，這個圖像成為曲邊梯形 (如圖 )， 它的面積應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算呢？ ],[,0)( baxxf ??由于不知道它的確切公式， 所以只用用一種 近似法 的思路 a b x y o a b x y o 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積． （四個小矩形） （九個小矩形） 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 把區(qū)間 [a , b]區(qū)間劃分成多個子區(qū)間，并以此為底構(gòu)建多個小矩形，通過計(jì)算這些矩形的面積并對之求和，從而求得近似的曲邊梯形的面積。但是， 現(xiàn)實(shí)中還會有另外一些圖形，它們的面積計(jì)算就無法由 給定的公式給出。第五章 定積分 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) AB CD一、問題的提出 我們平時在平面幾何和立體幾何中學(xué)到的都是非常規(guī)則的圖形，如三角形、梯形、圓等等。 x a by o EC?它們的面積計(jì)算都由公式給定，理解也相對簡單。如右上圖。 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 播放 , ],[1210 bxxxxxabann ??????? ??個分點(diǎn)，內(nèi)插入若干在區(qū)間曲邊梯形如圖所示， a b xyo ix1x 1?ix 1?nx 。但是，運(yùn)用定積分 (The Definite Integral)解答，手到擒來 【實(shí)例 2】 黎曼和 Riemann Sums 一分為二， n=2 一分為四 , n=4 一分為八 , n=8 一分為 n， n→∞ As shown above: 德國數(shù)學(xué)家黎曼 (Bernhard Riemann)給出了一個巧妙的辦法 : Ⅰ .將曲線下的不規(guī)則圖像近似切割成等寬的一個個小矩形 (Rectangle)。 Ⅲ .使用面積和估算曲線下的面積 。 用 n個小矩形估算 n個小曲邊形，我們使用 Ai表述第 i個小矩形的面積， n個小矩形的面積和 : 我們稱 為 黎曼和 (Riemann Sums) 17 二、 定積分的定義 若 f (x)是定義在閉區(qū)間 [a ， b]上的函數(shù)，如果 存在，則 f (x)在 [a ， b]上是可積分的，稱此極限值為 f (x)在 [a， b]上的定積分。 當(dāng)函數(shù)值取 左端點(diǎn)值 時， 稱為 左黎曼和 。 當(dāng)函數(shù)值取 中點(diǎn)值 時， 稱為 中點(diǎn)黎曼和 。 And 右黎曼和 Right Riemann Sums If we use the function value of the right point of the interval, the sum is called a Right Riemann Sum R(n). As shown below: Right Riemann Sums Since , Then 。 And We get ， And, we have the Trapezoid Rule:
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