橢圓方程及性質(zhì)應用-展示頁
2024-08-20 09:10本頁面
【正文】 ?22123419k 6k????當且僅當 時取等號， 驗證知 滿足題意， 顯然 k=0時， |AB|2=34. 所以 (S△ AOB)max= 3k3??3k3??1 3 32.2 2 2? ? ?【 方法技巧 】 解橢圓綜合問題的常用技巧 橢圓是圓錐曲線中重要的一種曲線，它可以同其他章節(jié)知識結(jié)合考查，如不等式、三角函數(shù)以及平面向量等 .解決這類問題時要注意方程思想、函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化的思想，其中利用方程中根與系數(shù)的關系構(gòu)造方程或函數(shù)是常用的技巧 . 【 變式訓練 】 (2022 濟寧高二檢測 )已知橢圓 C的對稱軸為坐標軸，且短 軸長為 4,離心率為 ①求橢圓 C的方程； ②設橢圓 C的焦點在 y軸上，斜率為 1的直線 l與 C相交于 A， B兩 點，且 求直線 l的方程 . 3.216A B 2 ,5?【 解題探究 】 (1)求弦所在直線的方程，還需確定什么？ 如何利用中點這個條件？ (2)求弦長的一般思路是什么？你能得出弦長的公式嗎？ 【 探究提示 】 ，可設出弦的兩個端點坐 標，利用中點坐標公式，找它們之間的聯(lián)系 . ，消元得到關于 x(或 y)的 一元二次方程，由根與系數(shù)的關系得 故弦長為 ? ? ? ?221 2 1 2x x y y? ? ? ?2 121 k x x ,?? 2 121 k x x .??【 自主解答 】 (1)選 P1(x1,y1), P2(x2,y2),弦所在直線的斜率為 k,則 ① , ② . ① ② 得： 4(x1x2)(x1+x2)+9(y1y2)(y1+y2)=0, 又 因此可得： 4(x1x2) 6+9(y1y2) 4=0, 所以 故弦所在直線方程為 即 2x+3y12=0,選 B. 22114 x 9 y 1 4 4??224 x 9 y 1 4 4??1 2 1 2x x y y3 , 2 ,22????1212yy 2k,x x 3?? ? ??? ?2y 2 x 3 ,3? ? ? ?(2)① 設橢圓 C的長半軸長為 a(a0),短半軸長為 b(b0), 則 2b=4,由 解得 a=4,b=2. 因為橢圓 C的對稱軸為坐標軸， 所以橢圓 C的方程為 或 22a b 3a2? ? ，22xy 116 4??22yx 1.1 6 4??② 設直線 l的方程為 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程組 消去 y,得 5x2+2mx+m216=0, 由題意，得 Δ=(2m) 220(m216)0, 且 因為 |AB|= = 22y x m ,yx 1,16 4?????????21 2 1 22 m m 1 6x x , x x ,55?? ? ? ?? ? ? ?221 2 1 2x x y y? ? ?? ? 21 2 1 2 1 2 161 1 x x 2 x x 4 x x 2 ,5? ? ? ? ? ?g所以 解得 m=177。 得到橢圓 D的方程為 ? ? ? ?22x 2 y 4 1.1 2 4????(2)設 M(x1,y1)， N(x2,y2). 所以 |AM|=|AN|，所以 A在線段 MN的垂直平分線上， 把 M(x1,y1),N(x2,y2)分別代入橢圓 C： 得： 22xy 112 4??22112222xy1 , 12 4xy1 , 12 4????①②用①減去②得： 所以 再由垂直平分線的性質(zhì)得 所以 所以 y1+y2=2,所以 x1+x2=3k(y1+y2)=6k, 故 MN的中點 (3k,1), ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2x x x x y y y y ,1 2 4? ? ? ???1 2 1 21 2 1 2y y x x1k,x x 3 y y??? ? ? ?121212 12yy 2y y 41 2 ,xxk x x02? ???? ??? ??? ?12 121 2 1 23 y y y y 4 ,x x x x? ?????把 y=kx+m代入橢圓 C： 得， (1+3k2)x2+6kmx+3m212=0, 所以 x1+x2=6k= 所以 m=(1+3k2),所以 mx2+6kmx+3m212=0, 由題意知，判別式大于 0，即 36k2m2+4m(3m212)0, m(m4)0,所以 0m4,故 m的取值范圍為 (0， 4). 22xy 112 4??26km ,1 3k??【 補償訓練 】 已知以 F1(2， 0)， F2(2， 0)為焦點的橢圓與直 線 有且僅有一個交點，求橢圓的長軸長 . 【 解析 】 設橢圓長軸長為 2a(且 a＞ 2)， 則橢圓方程為 由 得 x 3 y 4 0? ? ?2222xy 1.a a 4???2222xy 1a a 4x 3 y 4 0 ,? ??? ??? ? ? ??，? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 24 a 1 2 y 8 3 a 4 y 1 6 a a 4 0 .? ? ? ? ? ? ?因為直線與橢圓只有一個交點，所以 Δ=0 ，即 192(a24)2 16(a23) (16a2) (a24)=0，
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