【正文】 AC: FQAC=qx。 FQ(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a) ∑M C=0。 xM=M(x L)/L 典型例題 3 懸臂梁作用均布載荷 q， 畫出梁的剪力圖和彎矩圖 ? 寫出 A點(diǎn) x處截面的剪力方程和彎矩方程 ? 剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在 B點(diǎn)，且 xqF Q ??? xqM ??? 21qlMqlFm axm axQ21??M、 FQ與 q的關(guān)系 ? 設(shè)梁上作用任意載荷，坐標(biāo)原點(diǎn)選在 A點(diǎn)（左端點(diǎn)形心），現(xiàn)分析剪力、彎矩與載荷集度的關(guān)系。x =M 144內(nèi)力圖 剪力圖 ： 0≤x1≤a 時(shí) AC段 FQ1=： a≤x2≤2a 時(shí) ,即 CD段 FQ2=， 直線 x2 =a； FQ2 = （ = FQ1 ） x2 =2a； FQ2 = （ = FQ3 ） ： 0≤x3≤a (起點(diǎn)在 B點(diǎn)） FQ3=內(nèi)力圖 彎矩圖 ? 當(dāng)： 0≤x1≤a 時(shí)， M1=651C11A1aqMax點(diǎn)：C0；M0x點(diǎn)：A???????2672D22652C2q . a M,a2 xD q . a M,a xC????點(diǎn)：點(diǎn)：MaqM,0xBMaqM,axD2B33D2267D33????????點(diǎn)：點(diǎn)：? 當(dāng)： a≤x2≤2a 時(shí)，為二次曲線； M2=5qax2q(x2a)2/2 ? 當(dāng)： 0≤x3≤a時(shí)（原點(diǎn)在 B點(diǎn)，方向向左）， M3為直線 M3=qa2+。 ?常見梁的力學(xué)模型 ? 簡支梁 ? 一端為活動鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座 ? 外伸梁 ? 一端或兩端伸出支座支外的簡支梁 ? 懸臂梁 ? 一端為固定端，另一端為自由端的梁。 nP其中： M為外力矩 () P為功率 (kW) n轉(zhuǎn)速 (r/min) 例 2 扭矩圖 ? 如圖，主動輪 A的輸入功率 PA=36kW， 從動輪 B、 C、 D輸出功率分別為 PB=PC=11kW， PD=14kW， 軸的轉(zhuǎn)速n=300r/ 解： 1)由扭矩、功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300= MB=MC=； MD= 2)分別求 1 2 33截面上的扭矩，即為 BC,CA,AD段軸的扭矩（內(nèi)力）如圖a)、 b)、 c)。 △ u △ x 即： εx=lim △ x→∞ 2. a點(diǎn)的橫向移動 aa’， 使得oa直線產(chǎn)生轉(zhuǎn)角 γ， 定義轉(zhuǎn)角 γ為 切應(yīng)變 γ γ= aa’ oa = aa’ △ x ) 胡克定律 ? 實(shí)驗(yàn)證明： ? 當(dāng)正應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，正應(yīng)力與正應(yīng)變存在線性關(guān)系， 即： ζ=Εε 稱為胡克定律， E為彈性模量，常用單位： Gpa（ 吉帕） ? 同理，切應(yīng)變小于某一極限值時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變也存在線性關(guān)系 即： η=Gγ 此為剪切胡克定律， G為切變模量，常用單位： GPa 鋼與合金鋼 E=200220GPa G=7580GPa 鋁與合金鋁 E=7080GPa G=2630GPa 木材 E= 橡膠 E= 軸向拉壓桿件的內(nèi)力 ? 定義 ? 以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉伸或壓縮 ? 內(nèi)力的計(jì)算 ? 截面法 ? 如左圖 ? 內(nèi)力的表示 ? 軸力圖 形象表示軸力沿軸線變化的情況 軸力圖 ? 例 141 F1=,F3=, 畫桿件軸力圖。（形象記憶：盛水的碗） 正應(yīng)力、切應(yīng)力 ? 應(yīng)力的概念 ? 單位面積上內(nèi)力的大小，稱為應(yīng)力 ? 平均應(yīng)力 Pm， 如圖所示 △ F △ A Pm= 正應(yīng)力 σ 單位面積上軸力的大小，稱為 正應(yīng)力； 切應(yīng)力 τ 單位面積上剪力的大小，稱為 切應(yīng)力 應(yīng)力單位為： 1Pa=1N/m2 （ 帕或帕斯卡 ) 常用單位： MPa（ 兆帕）， 1MPa=106 Pa=1N/mm2 A—截 面面積 位移 ? 構(gòu)件在外力作用下，其變形的大小用位移和應(yīng)變來度量。 ? 變形特點(diǎn)： 梁的橫截面繞某軸轉(zhuǎn)動一個角度。 a Mz=0 Mz =Fp 例：左圖 左半部分： ∑Fx=0 FP=FN 右半部分： ∑Fx=0 FP,=FN, 例 131 ? 已知小型壓力機(jī)機(jī)架受力 F的作用，如圖，試求立柱截面mn上的內(nèi)力 解： 假想從 mn面將機(jī)架截開（如圖）； 取上部，建立如圖坐標(biāo)系，畫出內(nèi)力 FN， MZ （ 方向如圖示）。 ?FNx使桿件延 x方向產(chǎn)生軸向拉壓變形，稱為軸力 ?FQy,FQz使桿件延 y,z方向產(chǎn)生剪切變形，稱為剪力 ?Mx 使桿件繞 x軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，稱為扭矩 ?My、 Mz使得桿件分別繞 y z軸產(chǎn)生彎曲變形，稱為彎矩 利用力系簡化原理，截面 mm向形心 C點(diǎn)簡化后，得到一個主矢和主矩。 橫截面上內(nèi)力分析 其中： Mx、 My、 Mz為主矩在 x、 y、 z軸方向上的分量。 ? 各向同性假設(shè) ? 假設(shè)變形固體各個方向的力學(xué)性能都相同 材料力學(xué)的基本知識 ? 材料的力學(xué)性能 ? 指變形固體在力的作用下所表現(xiàn)的力學(xué)性能。各橫截面相同的直桿，稱為 等直桿 ； ? 材料力學(xué)的主要研究對象就是 等直桿 。桿的幾何形狀可用其 軸線 （截面形心的連線）和垂直于軸線的幾何圖形（ 橫截面 ）表示。 材料力學(xué) 材料力學(xué)的基本知識 ? 材料力學(xué)的研究模型 ? 材料力學(xué)研究的物體均為 變形固體 ，簡稱 “ 構(gòu)件 ” ；現(xiàn)實(shí)中的構(gòu)件形狀大致可簡化為四類，即桿、板、殼 和 塊 。 ? 桿 長度遠(yuǎn)大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件。軸線是直線的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。 材料力學(xué)的基本知識 ? 變形 ? 構(gòu)件在載荷作用下，其形狀和尺寸發(fā)生變化的現(xiàn)象； 變形固體的變形通?？煞譃閮煞N ： ? 彈性變形 載荷解除后變形隨之消失的變形 ? 塑性變形 載荷解除后變形不能消失的變形 ? 材料力學(xué)研究的主要是彈性變形，并且只限于彈性 小變形 ，即變形量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其自身尺寸的變形 ? 變形固體的基本假設(shè) ? 連續(xù)性假設(shè) ? 假設(shè)在固體所占有的空間內(nèi)毫無空隙的充滿了物質(zhì) ? 均勻性假設(shè) ? 假設(shè)材料的力學(xué)性能在各處都是相同的 。 ? 構(gòu)件的承載能力： ? 強(qiáng)度 構(gòu)件抵抗破壞的能力 ? 剛度 構(gòu)件抵抗變形的能力 ? 穩(wěn)定性 構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力 ? 內(nèi)力的概念 ? 構(gòu)件在外力作用時(shí)，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力也將隨之改變，這個因外力作用而引起構(gòu)件內(nèi)部相互作用的力，稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。 FNx、 FQy、 FQz為主矢在 x、y、 z軸方向上的分量。在空間坐標(biāo)系中，表示如圖 橫截面上內(nèi)力計(jì)算 截面法 ? 截面法求內(nèi)力步驟 ? 將桿件在欲求內(nèi)力的截面處假想的切開； ? 取其中任一部分并在截面上畫出相應(yīng)內(nèi)力； ? 由平衡條件確定內(nèi)力大小。 （水平部分 /豎直部分的變形？） 由平衡方程得： ∑Fy=0 FPFN=0 FN=FP ∑Mo=0 Fp a 基本變形 —(軸向 )拉伸 、壓縮 載荷特點(diǎn)： 受軸向力作用 變形特點(diǎn)： 各橫截面沿軸向做平動 內(nèi)力特點(diǎn)： 內(nèi)力方向沿軸向，簡稱 軸力 FN 軸力正負(fù)規(guī)定： 軸力與截面法向相同為正 FN=P 基本變形 剪切 ? 載荷特點(diǎn)： 作用力與截面平行（垂直于軸線） ? 變形特點(diǎn)： 各橫截面發(fā)生相互錯動 ? 內(nèi)力特點(diǎn)： 內(nèi)力沿截面方向（與軸向垂直），簡稱 剪力 FQ 剪力正負(fù)規(guī)定：左下（右上）為正 左下：指左截面（左半邊物體）剪力向下 基本變形 扭轉(zhuǎn) ? 載荷特點(diǎn)： 受繞軸線方向力偶作用（力偶作用面平行于橫截面） ? 變形特點(diǎn)： 橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動 ? 內(nèi)力： 作用面與橫截面重合的一個力偶，稱為 扭矩 T 正扭矩的規(guī)定：其轉(zhuǎn)向與截面外法向構(gòu)成右手系 T=M 基本變形 彎曲（平面） ? 載荷特點(diǎn)： 在梁的兩端作用有一對力偶，力偶作用面在梁的對稱縱截面內(nèi)。 中性軸（面） ? 內(nèi)力： 作用面垂直橫截面的一個力偶，簡稱彎矩 M 彎矩的正負(fù)規(guī)定 ：使得梁的變形為上凹下凸的彎矩為正。 ? 如圖： ? AA’連線稱為 A點(diǎn)的線位移 ? θ角度稱為截面 mm的角位移，簡稱轉(zhuǎn)角 ? 注意，單元 K的形狀也有所改變 應(yīng)變 ? 分析單元 K ? 單元原棱長為△ x，△ u為絕對伸長量，其相對伸長△ u/ △ x的極限稱為沿 x方向的 正應(yīng)變 ε。 解 ： 1)截面法求 AC段軸力，沿截面 11處截開，取左段如圖 1412所示 ∑Fx=0 FN1F1=0 得： FN1=F1= 2)求 BC段軸力，從 22截面處截開，取右段，如圖 1413所示 ∑Fx=0 –FN2F3=0 得： FN2= F3= （ 負(fù)號表示所畫 FN2方向與實(shí)際相反） 3)圖 1414位 AB桿的軸力圖 扭轉(zhuǎn)圓軸的內(nèi)力 ? 扭轉(zhuǎn)變形的定義 ? 橫截面繞軸線做相對旋轉(zhuǎn)的變形，稱為扭轉(zhuǎn) ? 以扭轉(zhuǎn)為主要變形的直桿，通常稱為軸 ? 本課程主要研究圓截面軸 ? 功率、轉(zhuǎn)速和扭矩的關(guān)系 ? M=9549 ? 扭矩圖 ? 仿照軸力圖的畫法，畫出扭矩沿軸線的變化，就是扭矩圖。均有 ∑ Mx=0 得： T1+MB=0 T1=MB= MB+MC+T2=0 T2=MBMC= MDT3=0 T3=MD= 3)畫出扭矩圖如 d) 彎曲梁的內(nèi)力 ? 彎曲梁的概念及其簡化 ? 桿件在過桿軸線的縱向平面內(nèi)，受到力偶或受到垂直于軸線的橫向力作用時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，桿件的這種以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎曲；以彎曲為主要變形的桿簡稱為梁。 梁內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定 ? 梁的內(nèi)力 ? 剪力 FQ ? 彎矩 MC ? 梁內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定 ? 內(nèi)力方向 ? 梁的變形 彎曲梁的內(nèi)力 —例 例 143 簡支梁如左圖，已知 a、q、 M=qa2； 求梁的內(nèi)力 FAy FBy 1 2 3 aqF 65AY ?? aqF 61BY ??2） 11截面內(nèi)力： (0≤x1 ≤ a) 3） 22截面內(nèi)力： (a≤x22a) 解： 1） 求得 A、 B處反力 FAY,FBY； 1651AY1 xaqxFM ?????aqFF