【正文】 quad(‘ humps ‘ , 1 , 2)為獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果，兩個函數(shù)在所需的區(qū)間都要計算被積函數(shù)。很明顯，如果人們能夠以某種方式改變單個梯形的寬度，以適應(yīng)函數(shù)的特性，即當(dāng)函數(shù)變化快時，使得梯形的寬度變窄，這樣就能夠得到更精確的結(jié)果?；趯D形的觀察，粗略近似可能低估了實際面積。 better approximationy=humps(x)。% rough approximationy=humps(x)。%例如，如果我們大致增加一倍數(shù)目的梯形，我們得到如下頁（）所示的更好的近似結(jié)果。 粗略的梯形逼近曲線下的面積示意圖從圖中可明顯地看出，單個梯形的面積在某一段欠估計了函數(shù)真正的面積，而在其它段又過估計了函數(shù)的真正面積。MATLAT提供了在有限區(qū)間內(nèi)，數(shù)值計算某函數(shù)下的面積的三種函數(shù)：trap2 , quad和quad8。例如，為了尋找f(x)=c的點，定義函數(shù)g(x)=f(x)c，然后，在fzero中使用g(x)，就會找出g(x)為零的x值，它發(fā)生在f(x)=c時。fzero不僅能尋找零點，它還可以尋找函數(shù)等于任何常數(shù)值的點。但由于某種原因，它不能接受以x為自變量的字符串來描述的函數(shù)。如果fzero沒有找到零點，它將停止運行并提供解釋。所以。evaluate at xzeroyzero=% yzero=humps(xzero , )look for a zero near xzero=%xzero=fzero(‘ humps ‘ , )函數(shù)fzero尋找一維函數(shù)的零點。在上述函數(shù)humps的圖中()，該函數(shù)在x=。求零點正如人們對尋找函數(shù)的極點感興趣一樣，有時尋找函數(shù)過零或等于其它常數(shù)的點也非常重要。任何一種優(yōu)化工具箱中具有更多擴展的優(yōu)化算法即fmins尋找這里x是函數(shù)f(.)的向量參數(shù)，函數(shù)f(.)返回標(biāo)量值。與函數(shù)fmin一樣，函數(shù)fmins搜索最小值。在有些情況下，搜索過程根本找不到結(jié)果。最后，特別注意，求數(shù)值上的最小值包含一個搜索過程，fmin不斷計算函數(shù)值，尋求其最小值。這個例子也使用了函數(shù)eval，它獲取一個字符串，并解釋它，如同在MATLAB提示符下輸入該字符串。要計算的函數(shù)可用一個函數(shù)M文件表達(dá)，或者只給出一個x為自變量的字符串。 這些結(jié)果與上述圖形非常吻合。 emax =ymax =xmax =ymin = emin =evaluate at xmax下面是M文件的運行結(jié)果：exfminxmin =%need x since fn has x as its variableymax=eval(fn)% evaluate at xminfx=‘ 2*exp(x)*sin(x) ‘。%need x since fn has x as its variableymin=eval(fn)% fn=‘ 2*exp(x)*sin(x) ‘。為了方便，用文本編輯器編寫一個腳本M文件，并用fmin尋出數(shù)值上極值點，給出函數(shù)主體如下：%和而這些點的解析值為：為了解釋求解一維函數(shù)的最小值和最大值，再考慮上述例子。因為f(x)的最大值等于f(x)的最小值，所以，上述fmin和fmins可用來求最大值和最小值。這里僅討論fmin。MATLAB提供了兩個完成此功能的函數(shù)fmin和fmins。然而，即使很多容易求導(dǎo)的函數(shù)，也常常很難找到導(dǎo)數(shù)為零的點。檢驗humps的圖形在峰值和谷值點上的斜率就很容易理解這個事實。在許多應(yīng)用中，特別感興趣的是確定函數(shù)的極值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。（)。該函數(shù)的輸入需要知道以字符串表示的被畫函數(shù)的名稱以及2元素數(shù)組表示的繪圖區(qū)間。MATLAB提供了一個稱為fplot的巧妙的繪圖函數(shù)。然而，有時一個函數(shù)在某一區(qū)間是平坦的并且無激勵，而在其它區(qū)間卻失控。繪圖說到繪圖，只要計算函數(shù)在某一區(qū)間的值，并且畫出結(jié)果向量，這樣就得到了函數(shù)的圖形。在大多數(shù)情況下，這就足夠了。在這種情況下，運用傳統(tǒng)的繪圖方法會導(dǎo)致圖形與函數(shù)真正的特性相去甚遠(yuǎn)。該函數(shù)細(xì)致地計算要繪圖的函數(shù)，并且確保在輸出的圖形中表示出所有的奇異點。例如：fplot(‘ humps ‘ , [02])title(‘ FPLOT OF HUMPS ‘)在0和2之間計算函數(shù)humps，并顯示該函數(shù)的圖形。極小化作圖除了提供視覺信息外，還常常需要確定一個函數(shù)的其它更多的特殊屬性。數(shù)學(xué)上，可通過確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)（斜率）為零的點，解析上求出這些極值點。顯然，如果定義的函數(shù)簡單，則這種方法常常奏效。在這種情況下，以及很難或不可能解析上求得導(dǎo)數(shù)的情況下，必須數(shù)值上尋找函數(shù)的極值點。這兩個函數(shù)分別尋找一維或n維函數(shù)的最小值。有關(guān)fmins的詳細(xì)信息，參閱《MATLAB參考指南》。如果還不清楚，把上述圖形倒過來看，在這個狀態(tài)下，峰值變成了谷值，而谷值則變成了峰值。在xmax=，并且在xmin=4附近有一個最小值。%define function for minxmin=fmin(fn , 2 , 5)%search over range 2x5emin=5*pi / 4xmin %find errorx=xmin。 %define for max:note minus signxmax=fmin(fx , 0 , 3) %search over range 0x3emax=pi / 4xmax%find errorx=xmax。 注意，fmin的工作方式很像fplot。上述例子就是使用后一種方法。由于要計算的函數(shù)以x為自變量的字符串形式給出，那么設(shè)置x等于xmin和xmax，允許eval計算該函數(shù)，找到y(tǒng)min和ymax。如果計算的函數(shù)需要很大的計算量，或者該函數(shù)在搜索區(qū)間不止一個最小值，則該搜索過程所花的時間比較長。當(dāng)fmin找不到最小值時，它會停止運行并提供解釋。不過，fmins搜索向量的標(biāo)量函數(shù)的最小值。函數(shù)fmins利用單純形法求最小值，它不需要精確的梯度計算。一般試圖用解析的方法尋找這類點非常困難，而且很多時候是不可能的。 humps函數(shù)的圖形MATLAB再一次提供了該問題的數(shù)值解法。為了說明該函數(shù)的使用，讓我們再運用humps例子。 如前所述，尋找零點的過程可能失敗。當(dāng)調(diào)用函數(shù)fzero時，必須給出該函數(shù)的名稱。這樣，即使在fplot和fmin中都具有的這個特性，fzero將不工作。僅僅要求一個簡單的再定義。積分一個函數(shù)的積分或面積也是它的另一個有用的屬性。函數(shù)trapz通過計算若干梯形面積的和來近似某函數(shù)的積分，是通過使用函數(shù)humps的數(shù)據(jù)點形成。如同線性插值，當(dāng)梯形數(shù)目越多時，函數(shù)的近似面積越準(zhǔn)確。 較好的梯形逼近曲線下的面積示意圖對如上所示的兩個曲線，用trapz在區(qū)