【正文】 ??0， π2 ，所以 φ＝ π6，所以 f(x)＝ 2sin?? ??2x＋ π6 . (2) 因為 x∈ ?? ??0， π12 ， 2x＋ π6∈ ?? ??π6， π3 ， 所以當(dāng) 2x＋ π6＝ π6時，即 x＝ 0 時， f(x)取得最小值 1； 當(dāng) 2x＋ π6＝ π3，即 x＝ π12時， f(x)取得最大值 3. 第 8 講 三角變換與解三角形 1. 3 解析： ∵ sin2α＋ cos2α＝ 14， ∴ sin2α＋ 1－ 2sin2α＝ 14， ∴ sin2α＝ 34， ∵ α∈ ?? ??0， π2 ， ∴ sinα＝ 32 ， ∴ α＝ π3， tanα＝ 3. 2. 5 23 解析：由正弦定理 asinA＝ bsinB，得 a＝ bsinAsinB ＝5 7－ 3a3 ＞－ 1， ∴ h(x)在??????－ 1， 1－ 7－ 3a3 上單調(diào)增，在 ??????1－ 7－ 3a3 ，1＋ 7－ 3a3 上單調(diào)減，在 ??????1＋ 7－ 3a3 ，＋ ∞上單調(diào)增． 滾動練習(xí) (一 ) 1. 24 解析： f(x)＝ xα， f(4)＝ 12， α＝－ 12， f(x)＝ x－ 12， f(8)＝ 24 . ∈ R，都有 x2＋ 2x＋ 5≠ 0 3. (－ ∞ ， 0] 解析： x＜－ 1 時，不等式可化為 x＋ (x＋ 1)(－ x－ 1＋ 1)≤ 1，－ x2≤ 1， ∴ x＜－ 1； x≥ － 1 時，不等式可化為 x＋ x＋ 1≤ 1， x≤ 0， ∴ － 1≤ x≤ 0，綜上 x≤ 0. 4. 12 解析：考慮 x＞ 0 時， f(x)＝ xx＋ 1＝ 1x＋ 1x≤ 12，當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 1 時取等號． 5. [－ 4,0)∪ (0,1) 解析：????? x2－ 3x＋ 2≥ 0，－ x2－ 3x＋ 4≥ 0，x≠ 0.上面式中等號不能同時成立． 6. 2 解析：在同一個直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) y＝ ?? ??12 x， y＝ 3－ x2的圖象，兩個函數(shù)圖象有兩個交點． 7. (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ ) 解析： x2＋ ax＞ 4x＋ a－ 3可化為 (x－ 1)a＋ x2－ 4x＋ 3＞ 0 對a∈ [0,4]恒成立，設(shè) f(a)＝ (x－ 1)a＋ x2－ 4x＋ 3， ∴ ????? f?0?＞ 0，f?4?＞ 0. 解得 x＜－ 1 或 x＞ 3. 8. － 1 或－ 2564 解析： 設(shè)過 (1,0)的直線與 y＝ x3相切于點 (x0， x30)，所以切線方程為 y－ x30＝ 3x20(x－ x0)，即 y＝ 3x20x－ 2x30，又 (1,0)在切線上，則 x0＝ 0 或 x0＝ 32，當(dāng) x0＝ 0 時，由直線 y＝ 0 與拋物線 y＝ ax2＋ 154 x－ 9 相切可得 a＝－ 2564，當(dāng) x0＝ 32時，由直線 y＝ 274 x－ 274 與曲線 y＝ ax2＋ 154 x－ 9 相切可得 a＝－ 1. 9. 2 008 解析：令 3x＝ t，則 x＝ log3t，則 f(2)＋ f(4)＋ f(8)＋ ? ＋ f(28)＝ 4log23(log321＋ 2＋ ?＋ 8)＋ 233 8＝ 2 008. 10. a≥ 2 解析：由 logax＋ logay＝ 3，得 y＝ a3x，函數(shù) y＝a3x在 x∈ [a,2a]上單調(diào)遞減，得其值域為 ?? ??a32a，a3a ，由題知 ?? ??a32a，a3a [a， a2]， ∴ a≥ 2. 11. 解： p為真，則 |x－ 4|≤ 6 的解集為 A＝ [－ 2,10]， q 為真， x2－ 2x＋ 1－ m2≤ 0(m＞ 0)的解集為 B＝ [1－ m,1＋ m]， ∵ p 是 q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q的充分而不必要條件， ∴ A＝ [－ ＝ [1－ m,1＋ m]， ∴????? 1＋ m≥ 10，1－ m≤ － 2. 兩式中等號不能同時成立，又 m＞ 0， ∴ m≥ 9. 12. 解： (1) 令 g(x)＝ f(x)－ x＝ x2＋ (a－ 1)x＋ a， 則由題意可 得????? Δ＞ 0，0＜ 1－ a2 ＜ 1，g?1?＞ 0，g?0?＞ 0????? a＞ 0，－ 1＜ a＜ 1，a＜ 3－ 2 2或 a＞ 3＋ 2 2＜ a＜ 3－ 2 求實數(shù) a 的取值范圍是 (0,3－ 2 2)． (2) f(0)9ax＋ 18＝ 180 3a＋ 18. 當(dāng)且僅當(dāng) 2 700x ＝ 9ax，即 x＝ 300a 時取等號． 即當(dāng) x＝ 300a 時， ymin＝ 180 3a＋ 18； 當(dāng) 12≤ a＜ 34時， y′ ＝－ 2 700x2 ＋ 9a＜ 0，故 y＝ f(x)在 (0,20]上是減函數(shù)， 故當(dāng) x＝ 20 時， ymin＝ 2 70020 ＋ 180a＋ 18＝ 153＋ 180a. 答：若 12≤ a＜ 34，則當(dāng)車隊速度為 20 m/s 時，通過隧道所用時間最少； 若 34≤ a≤ 1 時，則當(dāng)車隊速度為 300a m/s 時，通過隧道所用時間最少． 10. 解： (1) ????? f?0?＝ 0，f?－ 2?＝ 0 ????? b＝ 6，c＝ 0， ∴ f(x)＝ 3x2＋ 6x； (2) g(x)＝ 3?? ??x＋ ?? ??1＋ m6 2－ 2－ 3 ?? ??1＋ m6 2，－ ?? ??1＋ m6 ≤ 2， m≥ － 18； (3) f(x)＋ n≤ 3 即 n≤ － 3x2－ 6x＋ 3，而 x∈ [－ 2,2]時，函數(shù) y＝－ 3x2－ 6x＋ 3 的最小值為－ 21， ∴ n≤ － 21，實數(shù) n 的最大值為－ 21. 第 6 講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1. f(x)＝ x2＋ 2x＋ 1 2. 98 解析： f′ (2)＝ － 4＝－ 98，切線方程為 y＝－ 98x＋ 92， ∴ f(2)＝ 94. 3. y＝ x－ 1 解析： y′ ＝ 3x2－ 2， k＝ y′ x＝ 1＝ 1，則切線方程 y－ 0＝ 14y， ∴ xy≤ 116，當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 4y，即 x＝ 12， y＝ 18時取等號． 5. 9 解析： ∵ x＞ 0， y＞ 0， 1x＋ 4y＝ 1， ∴ x＋ y＝ (x＋ y)?? ??1x＋ 4y ＝ 5＋ yx＋ 4xy ≥ 5＋ 2 yxf(－ 1)＜ 0，即 (3a＋ 1)(a＋ 1)＜ 0，－ 1＜ a＜－ 13. 7. 6 解析：????? － a＋ 22 ＝ 1，a＋ b2 ＝ 1＝ 6. 8. ①③④ 解析：函數(shù) f(x)＝－ |x|x2＋ bx2＋ c 為偶函數(shù)，當(dāng) x≥ 0 時， f(x)＝－ x3＋ bx2＋c， b＜ 0， ∴ f′ (x)＝－ 3x?? ??x－ 2b3 ≤ 0 對 x∈ [0，＋ ∞ )恒成立， ∴ x＝ 0 時， f(x)在 R上有最大值， f(0)＝ c；由于 f(x)為偶函數(shù)， ② 不正確；取 b＝ 3， c＝－ 2③ 正確；若 b＜ 0，取 a＝ 0，若 b≥ 0，取 a＝ 2b3 ，故一定存在實數(shù) a，使 f(x)在 [a，＋ ∞ )上單調(diào)減． 9. (1)證明：由條件知 f(2)＝ 4a＋ 2b＋ c≥ 2 恒成立． 又 ∵ x＝ 2 時， f(2)＝ 4a＋ 2b＋ c≤ 18(2＋ 2)2＝ 2 恒成立， ∴ f(2)＝ 2. (2)解： ∵ ????? 4a＋ 2b＋ c＝ 2，4a－ 2b＋ c＝ 0， ∴ 4a＋ c＝ 2b＝ 1， ∴ b＝12， c＝ 1－ 4a. 又 f(x)≥ x恒成立，即 ax2＋ (b－ 1)x＋ c≥ 0 恒成立． ∴ a＞ 0， Δ＝ ?? ??12－ 1 2－ 4a(1－ 4a)≤ 0， ∴ (8a－ 1)2≤ 0. 解得： a＝ 18， b＝ 12， c＝ 12， ∴ f(x)＝ 18x2＋ 12x＋ 12. (3)解： (解法 1) 由分析條件知道，只要 f(x)圖象 (在 y 軸右側(cè)部分，包含與 y 軸交點 )總在直線 y＝ m2 x＋ 14上方即可，也就是直線的斜率 m2 小于直線與拋物線相切時的斜率，∴??? y＝ 18x2＋ 12x＋ 12，y＝ m2x＋ 14， 解得 m∈ ??? ???－ ∞ ， 1＋ 22 . (解法 2)g(x)＝ 18x2＋ ?? ??12－ m2 x＋ 12＞ 14在 x∈ [0，＋ ∞ )必須恒成立， 即 x2＋ 4(1－ m)x＋ 2＞ 0 在 x∈ [0，＋ ∞ )恒成立． ① Δ0，即 [4(1－ m)]2－ 80，解得： 1－ 22 ＜ m＜ 1＋ 22 ； ② ????? Δ≥ 0，－ 2?1－ m?≤ 0，f?0?＝ 2＞ 0，解得： m≤ 1－ 22 . 綜上， m∈ ??? ???－ ∞ ， 1＋ 22 . 10. (1)證明： 當(dāng) x≥ 7 時， f(x＋ 1)－ f(x)＝ ?x－ 3??x－ 4?， 而當(dāng) x≥ 7 時，函數(shù) y＝ (x－ 3)(x－ 4)單調(diào)遞增，且 (x－ 3)(x－ 4)0， 故 f(x＋ 1)－ f(x)單調(diào)遞減， ∴ 當(dāng) x≥ 7 時，掌握程度的增長量 f(x＋ 1)－ f(x)總是下降． (2)解： 由題意可知 ＋ 15ln aa－ 6＝ ，整理得 aa－ 6＝ ， 解得 a＝ e－ 12 3(舍 )． ④ 12≤ p≤ 2， M＝ f(－ 1)， m＝ f(p)由 2M＋ m＝ 3，得 p＝ 8177。專題一 集合、簡單邏輯用語、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 第 1 講 集合與簡單邏輯用語 ＜ 0，有 x2≤ 0 2. (2,3) 解析： M＝ (－ ∞ ， 3)， N＝ (2，＋ ∞ )， ∴ M∩ N＝ (2,3)． 3. (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ ) 解析：不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，則 Δ＝ (a－ 1)2－ 4＞ 0. 4. [－ 1,1] 解析：集合 A＝ [－ 1,1]， B＝ (－ ∞ ， 1]， ∴ A∩ B＝ A. 5. 215 解析：????? 0≤ a，a＋ 45≤ 1 ≤ a≤15， ????? b－ 13≥ 0，b≤ 113≤ b≤ 1，利用數(shù)軸，分類討論可得集合 A∩ B 的 “ 長度 ” 的最小值為 13－ 15＝ 215. 6. ?? ??－ 12， 13 解析： p： x2＋ x－ 6＜ 0 為真，則不等式的解集為 A＝ (－ 3,2)，由 q： mx＋ 1＞ 0 得 m＝ 0 時，解集為 B＝ R， m＞ 0 時，解集為 B＝ ?? ??－ 1m，＋ ∞ ， m＜ 0 時，解集為B＝ ?? ??－ ∞ ，－ 1m ， m＝ 0時， 成立； m＞ 0 時，－ 1m≤ － 3,0＜ m≤ 13； m＜ 0時，－ 1m≥ 2，－ 12≤ m＜ 0，綜上 m∈ ?? ??－ 12， 13 . 7. 12 解析：這是一個典型的用韋恩圖來求解的問題，如圖．設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為 x，則只喜愛籃球的有 15－ x，只喜愛乒乓球的有 10－ x，由此可得 (15－ x)＋ (10－ x)＋ x＋ 8＝ 30，解得 x＝ 3，所以 15－ x＝ 12，即所求人數(shù)為 12. 8. (－ ∞ ，－ 4)∪ (4 2，＋ ∞ ) 解析：兩集合分別表示半圓和直線，畫圖利用幾何性質(zhì)可得答案． 9. 解： (1) 2－ x＋ 3x＋ 1≥ 2x＋ 2－ ?x＋ 3?x＋ 1 ≥ x－ 1x＋ 1≥ － 1)(x＋ 1)≥ 0且 x≠ － ≥ 1或 x＜－ 1.∴ 集合 A＝ {x|x≥ 1 或 x＜－ 1}． (2) (x－ a－ 1)(2a－ x)＞ － a－ 1)(x－ 2a)＜ 0.∵ a＜ 1， ∴ 2a＜ a＋ 1.∴ 2a＜ x＜ a＋ 1.∴ 不等式的解為 2a＜ x＜ a＋ 1.∴ 集合 B＝ {x|2a＜ x＜ a＋ 1}． ∵ ， ∴ 2a≥ 1 或 a＋ 1≤ － 1， ∴ a≥ 12或 a≤ － a1，則實 數(shù) a 的取值范圍是 (－ ∞ ，－ 2]∪ ?? ??12， 1 . 10. 解：若命題 p 為真，則????? m2－ 4＞ 0，－ m＜ 0 ＞ q 為真， Δ＝ 16(m－ 2)2－ 16＜0,1＜ m＜ 或 q為真， p 且 q 為假，所以若命題 p為真，命題 q為假，則 m≥ 3；若命題 p為假，命題 q 為真，則 1＜ m≤ 2，綜上，則實數(shù) m 的取值范圍是 {m|1＜ m≤ 2 或 m≥ 3}． 第 2 講 函數(shù)、圖象及性質(zhì) 1. f(x)＝ (x－ 2)2 解析：函數(shù)滿足 f(x)＝ f(x＋ 2)，函數(shù)周期為 x∈ [2,3]， x－ 2∈ [0,1]，f(x)＝ f(x－ 2)＝ (x－ 2)2. 2. (0,1] 解析： y＝ xx－ m＝ 1＋ mx－ m，由反比例函數(shù)性質(zhì)可得到 0＜ m≤ 1；也可以用導(dǎo)數(shù)求得． 3. 12 解析： f(－ x)＝ 12－ x－ 1＋ a＝ 2x1－ 2x＋ a， f(－ x)＝－ f(x) 2x