【正文】 )（2） 伸縮規(guī)則性： (32)（3） 平移不變性： ，對所有 (33)（4） 逼近性： (34)（5） 正交基存在性： 存在一積分值非零的函數(shù)，使是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這種由粗及精對事物的分析就稱為多分辨率分析。若把尺度理解為照相機的鏡頭的話，當(dāng)尺度由大到小變化時，就相當(dāng)于將照相機鏡頭由遠(yuǎn)及近地觀察目標(biāo)。一種最通常的離散方法如下：尺度因子按冪級數(shù)進行離散化，位移因子在尺度內(nèi)均勻離散化，在尺度間具有冪次關(guān)系，即有： ， ； 。 離散小波變換下面再將二進小波變換中的平移因子也離散化。在小波變換中，常令a取離散值 () (210)稱之為二進離散化。將小波變換離散化就是對變換參數(shù)進行離散化。 連續(xù)小波變換對任意連續(xù)函數(shù)或信號f(t)進行小波變換，如果基函數(shù)(t)的兩個參數(shù)a和b均為連續(xù)變量，則被稱為連續(xù)變量，則被稱為連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform,CWT)。其中 = , a0, (28)a為尺度因子，b為位移因子。而小波函數(shù)就是為此而設(shè)計的。 小波變換上節(jié)的的分析表明，短時傅里葉變換的問題的癥結(jié)在于使用了固定的窗口，而對實際時變信號的分析需要時頻窗口具有自適應(yīng)性：對于高頻譜的信息，時間間隔要相對地小以給出較高的精度；對于低頻譜的信息，時間間隔要相對地寬以給出完全的信息。由測不準(zhǔn)原理可知，不可能在時間和頻率上均有任意高的分辨率，因為時間和頻率的最高分辨率受下式的制約： (24)式中和分別代表時間域和頻率域的窗口寬度。也就是說，它對所有的頻率都使用同樣的窗口。如果選取的窗口函數(shù)在時域和頻域都具有良好的局部性質(zhì)（如呈指數(shù)衰減的高斯函數(shù)），此時短時傅里葉變換能夠同時在頻域和時域內(nèi)提取關(guān)于信號的精確信息。這是時間頻率局部化的一種標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。 短時Fourier變換為了克服傅里葉分析的局限性，使其對非平穩(wěn)信號也能作較好的分析，通過對信號在時域上加一個窗函數(shù)g(t),使其對信號進行乘積運算以實現(xiàn)在附近的開窗盒平移，再對加窗的信號進行傅里葉分析，這就是短時傅里葉變換，或者稱為加窗傅里葉變換。對非平穩(wěn)信號用傅里葉變換進行分析，不能提供完全的信息，也即通過傅里葉變換可以知道信號所含有的頻率信息，但無法知道這些頻率信息究竟出現(xiàn)在哪些時間段上。此時所關(guān)心的恰恰是信號在局部時間范圍（特別是突變時刻）內(nèi)的信號特征（一般是頻率成分）。簡言之，傅里葉變換能提取出函數(shù)在整個頻率軸上的頻率信息，卻不能反映信號在局部時間范圍內(nèi)的特征。作為變換積分核的的幅值在任何情況下均為1，即=1，因此，頻譜在任一頻率處的值是由時間過程在整個時間域（）上的貢獻(xiàn)決定的；反之，過程在某一時刻的狀態(tài)也是由在整個頻率域（）上的貢獻(xiàn)決定的。傅里葉變換把時間域與頻率域聯(lián)系起來，具有明確的物理含義，通過研究來研究，許多在時間域內(nèi)難以看清的問題，在頻率中往往表現(xiàn)得非常清楚。第三個階段是進行對比和總結(jié)，得出結(jié)論。 課題研究方法本課題的研究分三個階段，第一個階段為理論分析階段，學(xué)習(xí)小波變換的原理，掌握小波多分辨率分析的概念和原理，以及應(yīng)用；學(xué)習(xí)Matlab。1989年，Mallat提出了多分辨率分析的概念，從空間的概念上形象的說明了小波的多分辨率分析特性，并將在此以前各種正交小波基的構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，給出了小波變換的快速算法，即Mallat算法。近年來，小波濾波這一概念不斷見之于有關(guān)信號及圖像處理研究的文獻(xiàn)中，這標(biāo)志著一種新的信號濾波思想的出現(xiàn)。 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀小波變換是近十幾年信號處理領(lǐng)域研究的一個熱點，許多學(xué)者將小波仔理論上的研究成果應(yīng)用到諸如圖像壓縮、特征提取、信號濾波和數(shù)據(jù)融合等方面，而且小波變換的應(yīng)用領(lǐng)域還在不斷發(fā)展當(dāng)中。在小波變換域，可通過對小波系數(shù)進行切削、縮小幅度等非線性處理，以達(dá)到濾除噪聲的目的。而當(dāng)它們的頻譜重疊時，這種方法就無能為力了。小波變換時傅里葉變換的新發(fā)展，它既保留了傅里葉變換的優(yōu)點，又彌補了傅里葉變換在信號分析上的一些不足。對于非平穩(wěn)信號，傅里葉變換不再是有效地工具沒因為其無法描述信號的局部頻率特性。小波多分辨率分析在地震資料處理中的應(yīng)用畢業(yè)論文 目 錄1 緒論…………………………………………………………………………………….1 課題背景及意義…………………………………………………………………1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀…………………………………………………………………1 課題研究方法……………………………………………………………………22 小波變換基本理論…………………………………………………………………….3 Fourier變換……………………………………………………………………...3 短時Fourier變換………………………………………………………..............3 小波變換…………………………………………………………………………4 連續(xù)小波變換…………………………………………………………...5 二進小波變換…………………………………………………………...5 離散小波變換…………………………………………………………...53 多分辨率分析………………………………………………………………………….7 多分辨率分析概念的引入………………………………………………………7 小波函數(shù)與小波空間……………………………………………………………7 二維多分辨率分析………………………………………………………………84 小波域閾值濾波………………………………………………………………………10 小波域閾值濾波算法…………………………………………………………...10 閾值函數(shù)的選取………………………………………………………………...12 閾值確定方法…………………………………………………………………...125 小波域閾值濾波的Matlab實現(xiàn)……………………………………………………...15 一維離散小波變換的Matlab函數(shù)……………………………………………..15 二維離散小波變換的Matlab函數(shù)……………………………………………...17 Matlab信號去噪………………………………………………………………...20 Matlab圖像去噪………………………………………………………………...206 小波多分辨率分析對地震記錄去噪與地質(zhì)信息提取的Matlab實現(xiàn)……………...22 程序編寫…………………………………………………………………….......22 模型去噪與地質(zhì)信息提取……………………………………………………...22 實際資料去噪與地質(zhì)信息提取……………………………………...................247 結(jié)論與認(rèn)識……………………………………………………………………………48參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………………..49致謝………………………………………………………………………………………..50附錄1……………………………………………………………………………………...51附錄2……………………………………………………………………………………...561 緒 論 課題背景及目的小波變換是20世紀(jì)80年代中期發(fā)展起來的一種時頻分析方法，比離散傅里葉變換的性能更優(yōu)越，被廣泛應(yīng)用于調(diào)和分析、話音處理、圖像分割、石油勘探和雷達(dá)探測等方面，也被應(yīng)用于音頻、圖像和視頻的壓縮編碼。分析平穩(wěn)信號的理想工具是傅里葉變換。而小波變換正是分析非平穩(wěn)信號的有力工具。在傳統(tǒng)的基于傅里葉變換的信號處理方法中，要使信號和噪聲的頻帶重疊部分盡可能地小，這樣，在頻域就可以通過時不變?yōu)V波方法將信號同噪聲分開?；谛〔ㄗ儞Q的非線性濾波是完全不同的，在這種方法中，譜可以重疊，但是譜的幅度（而不是譜的位置）要盡可能不同。小波的多分辨率特性就是在不同尺度上描述信號的局部特征，如邊緣、尖峰、斷點等，處理的實質(zhì)在于減小甚至完全剔除由噪聲產(chǎn)生的系數(shù)，同時最大限度地保留真實信號的系數(shù)，最后由經(jīng)過處理的小波系數(shù)重構(gòu)源信號，得到真實信號的最優(yōu)估計。小波之所以在信號處理領(lǐng)域具有很大的優(yōu)勢，在于小波變換可以獲得信號的多分辨率描述。在早期的多尺度信號處理工作中，人們就已注意到信號和噪聲在不同尺度上有不同的特征表現(xiàn)，并試圖有效地利用這些特征，小波變換的出現(xiàn)為這一思想提供了一個自然而完美的工具，使信號圖像的多尺度處理技術(shù)得到迅速發(fā)展?？偠灾陙碛嘘P(guān)小波的多分辨率分析濾波的文獻(xiàn)很多，并取得了不少的成果。第二個階段為程序設(shè)計、模型驗證以及實際資料處理階段，利用所掌握的小波多分辨率分析和Matlab知識，編寫程序，對所給地震資料模型和實際資料進行處理，驗證模型，并對實際資料去噪。2 小波變換基本理論 Fourier變換Fourier變換由下列公式定義：正變換 (21)逆變換 (22)對于確定信號和平穩(wěn)隨機信號，傅里葉變換時信號分析和信號處理技術(shù)的理論基礎(chǔ)，有著非凡的意義，起著重大作用。但正是由于傅里葉變換的域變換特性，與彼此之間是整體刻畫，不能夠反映各自在局部區(qū)域上的特征，因此不能用于局部分析。如果要知道所分析的信號在突變時刻的頻率成分，那么傅里葉變換是無能為力的，因為傅里葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。然而，對于變頻信號如音樂、地震信號、雷達(dá)回波等。例如，在音樂和語音信號中，人們關(guān)心的是在什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波?？梢?，若要提取局部時間段（或瞬間）的頻率特征信號，傅里葉變換已經(jīng)不再適用了。短時傅里葉變換定義如下： (23)其中，窗口函數(shù)f(t)一般取為光滑的低通函數(shù)，保證只在點附近局部地測量了頻率分量的幅度值，得到信號在t=時刻附近的頻率信息。若采用高斯函數(shù)作為窗口函數(shù)，其相應(yīng)的傅里葉變換仍舊是高斯函數(shù)，從而保證短時傅里葉變換在時域和頻域內(nèi)均有局部化功能。但短時傅里葉變換存在其固有的局限，其時間頻率窗口是固定不變的，一旦窗口函數(shù)g(t)選定，其時頻分辨率也就確定了，并且不隨頻率和時間而變化。我們?nèi)粝胩岣邥r間分辨率，就要把窗口縮的很窄，但這樣勢必會降低頻率分辨率。這表明，任一方分辨率的提高都意味著另一方分辨率的降低。換句話說，重要的是要有一個靈活可變的時間頻率窗，能夠在“高中心頻率”時自動變窄，而在“低中心頻率”時自動變寬。設(shè)f(t)是平方可積函數(shù)，記作f(t)，為基本小波或母小波，它一般是時域上以t=0為中心的帶通函數(shù)，在時域和頻域都具有局部化（緊支撐），且均值為零，即 (25)如果滿足容許性條件 (26)則 (27)稱為f(t)的小波變換。小波變換的特點有：(1) 時頻局域性、多分辨分析、數(shù)學(xué)顯微鏡；(2) 自適應(yīng)窗口濾波：低頻寬、高頻窄；(3) 適用于去噪、濾波、邊緣檢測等。連續(xù)小波變換的形式可以寫為 (29) 二進小波變換為了將小波變換應(yīng)用于信號分析的實踐，需要將小波變換進行離散化，就像將傅里葉變換離散化一樣。本節(jié)先討論尺度因子a的離散化問題。這時，小波基函數(shù)的形式為 (211)對應(yīng)的小波變換為 (212)j稱為分辨率級別。令b=，則可得離散小波變換： (213) 對小波變換進行離散化的一般情形是小波基函數(shù)的尺度因子a和位移因子b都只限定在某些離散點上取值。 (214)此時的小波基函數(shù)表示為如下形式： (215)任意函數(shù)f(t)離散小波變換為 (216)3 多分辨率分析 多分辨率分析概念的引入1989年，Mallat提出了多分辨率分析的概念，從空間的概念上形象的說明了小波的多分辨率分析特性。在大尺度空間里，對應(yīng)遠(yuǎn)鏡頭下觀察到的目標(biāo)，只能看到目標(biāo)大致的概貌；在小尺度空間里，對應(yīng)近鏡頭下觀察目標(biāo)，可觀察到目標(biāo)的細(xì)節(jié)部分?？臻g的一個多分辨率分析是指滿足以下性質(zhì)的一個閉子空間序列。 稱為多分辨率分析的尺度函數(shù)，為尺度j上的尺度空間。 小波函數(shù)與小波空間記在的補空間為，即 ， (35)顯然，任意子空間和（m）是相互正交的，并且，由式（31）和式（34）可知 (36)因此，是的一系列正交子空間。與尺度函數(shù)的定義類似，稱為小波函數(shù)，相應(yīng)地，稱是尺度為j的小波空間。