【正文】 整個右棒在電場中受力為： ，方向沿x軸正向． 左棒受力 另解： 3. 一“無限長”圓柱面，其電荷面密度為： s = s0cos f ，式中f 為半徑R與x軸所夾的角，試求圓柱軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)． 解：將柱面分成許多與軸線平行的細(xì)長條，每條可視為“無限長”均勻帶電直線，其電荷線密度為 l = s0cosf Rdf，它在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為： 它沿x、y軸上的二個分量為： dEx=－dEcosf = dEy=－dEsinf = 積分：＝ ∴ 4. 如圖所示，一厚為b的“無限大”帶電平板 ， 其電荷體密度分布為r＝kx (0≤x≤b )，式中k為一正的常量．求： (1) 平板外兩側(cè)任一點(diǎn)P1和P2處的電場強(qiáng)度大??； (2) 平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度； (3) 場強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處？ 解： (1) 由對稱分析知，平板外兩側(cè)場強(qiáng)大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面．設(shè)場強(qiáng)大小為E． 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小為S，如圖所示． 按高斯定理，即得到 E = kb2 / (4e0) (板外兩側(cè)) (2) 過P點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面，底面為S．設(shè)該處場強(qiáng)為，如圖所示．按高斯定理有 得到 (0≤x≤b) (3) =0，必須是， 可得 5. 一“無限大”平面，中部有一半徑為R的圓孔，設(shè)平面上均勻帶電，電荷面密度為s．如圖所示，試求通過小孔中心O并與平面垂直的直線上各點(diǎn)的場強(qiáng)和電勢(選O點(diǎn)的電勢為零)． 解：將題中的電荷分布看作為面密度為s的大平面和面密度為－s的圓盤疊加的結(jié)果．選x軸垂直于平面，坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ在圓盤中心，大平面在x處產(chǎn)生的場強(qiáng)為  圓盤在該處的場強(qiáng)為   ∴ 該點(diǎn)電勢為 6．一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個半徑R1＝5104 m的圓柱形陰極A和一個套在陰極外的半徑R2＝103 m的同軸圓筒形陽極B，如圖所示．陽極電勢比陰極高300 V，忽略邊緣效應(yīng). 求電子剛從陰極射出時所受的電場力．(基本電荷e＝1019 C) 解：與陰極同軸作半徑為r (R1＜r＜R2 )的單位長度的圓柱形高斯面，設(shè)陰極上電荷線密度為l．按高斯定理有 2prE = l/ e0得到 E= l / (2pe0r) (R1＜r＜R2) 方向沿半徑指向軸線．兩極之間電勢差 得到 ， 所以 在陰極表面處電子受電場力的大小為 ＝1014 N 方向沿半徑指向陽極． 7. 如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷q．沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為l，長度為l，細(xì)線左端離球心距離為r0．設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能(設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零)．解：設(shè)x軸沿細(xì)線方向，原點(diǎn)在球心處，在x處取線元dx，其上電荷為，該線元在帶電球面的電場中所受電場力為： dF = qldx / (4pe0 x2) 整個細(xì)線所受電場力為： 方向沿x正方向． 電荷元在球面電荷電場中具有電勢能： dW = (qldx) / (4pe0 x) 整個線電荷在電場中具有電勢能： 四 研討題1. 真空中點(diǎn)電荷q的靜電場場強(qiáng)大小為 式中r為場點(diǎn)離點(diǎn)電荷的距離．當(dāng)r→0時，E→∞，這一推論顯然是沒有物理意義的，應(yīng)如何解釋？參考解答：點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式僅適用于點(diǎn)電荷，當(dāng)r→0時，任何帶電體都不能視為點(diǎn)電荷，所以點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式已不適用． 若仍用此式求場強(qiáng)E，其結(jié)論必然是錯誤的．當(dāng)r→0時，需要具體考慮帶電體的大小和電荷分布，這樣求得的E就有確定值．2. 用靜電場的環(huán)路定理證明電場線如圖分布的電場不可能是靜電場．參考解答：證：在電場中作如圖所示的扇形環(huán)路abcda．在ab和cd段場強(qiáng)方向與路徑方向垂直．在bc和da段場強(qiáng)大小不相等（電力線疏密程度不同）而路徑相等．因而 按靜電場環(huán)路定理應(yīng)有，此場不滿足靜電場環(huán)路定理，所以不可能是靜電場． 3. 從工廠的煙囪中冒出的滾滾濃煙中含有大量顆粒狀粉塵，它們嚴(yán)重污染了環(huán)境，影響到作物的生長和人類的健康。靜電除塵是被人們公認(rèn)的高效可靠的除塵技術(shù)。加上電源，煙囪上面的煙塵不見了。請考慮如何計算出實(shí)驗(yàn)室管式靜電除塵器的工作電壓，即當(dāng)工作電壓達(dá)到什么數(shù)量級時，可以實(shí)現(xiàn)良好的靜電除塵效果。直流高壓電源的正極接在線圈上，負(fù)極接在電暈線上，如右上圖所示。 改變直流高壓電源的電壓值，就可以改變電暈線周圍的電場強(qiáng)度。 自由電子隨電場向正極飄移，在飄移的過程中和塵埃中的中性分子或顆粒發(fā)生碰撞，這些粉塵顆粒吸附電子以后就成了荷電粒子，這樣就使原來中性的塵埃帶上了負(fù)電。 （集電極可以是金屬線圈，也可以是金屬圓桶壁）當(dāng)塵埃積聚到一定程度時，通過振動裝置，塵埃顆粒就落入灰斗中。 如右中圖所示。如右下圖所示，ra與rb分別表示電暈極與集電極的半徑，L及D分別表示圓筒高度及直徑。 設(shè)單位長度的圓柱面帶電荷為l。內(nèi)外兩極間電壓U與電場強(qiáng)度E之關(guān)系為，將式(1)代入式(2)，積分后得: , 故 .由于電暈線附近的電場強(qiáng)度最大，使它達(dá)到空氣電離的最大電場強(qiáng)度時，就可獲得高壓電源必須具備的電壓代入空氣的擊穿電場，并取一組實(shí)測參數(shù)如下：,計算結(jié)果.若施加電壓U低于臨界值，則沒有擊穿電流，實(shí)現(xiàn)不了除塵的目的。靜電除塵器除了上述的管式結(jié)構(gòu)外還有其它的結(jié)構(gòu)形式，如板式結(jié)構(gòu)等。第13章 靜電場中的導(dǎo)體和電解質(zhì)一、選擇題1(D)，2(A)，3(C)，4(B)，5(C)二、填空題(1). s (x，y，z)/e 0，與導(dǎo)體表面垂直朝外(s 0) 或 與導(dǎo)體表面垂直朝里(s 0).(2). s ，s / ( e 0e r )； (3). ；(4). P ，－P ，0； (5). er ，er三、計算題，一內(nèi)半徑為a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電荷Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q．設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試求： (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷． (2) 球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢． (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢． 解：(1) 由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷q，外表面上帶電荷q+Q． (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的距離都是a，所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和 2. 如圖所示，一球形電容器，內(nèi)球殼半徑為R1，外球殼半徑為R2 (R2＜R1)，其間充有相對介電常數(shù)分別為er1和er2的兩層各向同性均勻電介質(zhì)(er2＝er1 / 2)，其界面半徑為R．若兩種電介質(zhì)的擊穿電場強(qiáng)度相同，問： (1) 當(dāng)電壓升高時，哪層介質(zhì)先擊穿？ (2) 該電容器能承受多高的電壓？ 解：(1) 設(shè)兩球殼上分別帶電荷＋Q和－Q，則其間電位移的大小為 D＝Q / (4pr2) 兩層介質(zhì)中的場強(qiáng)大小分別為 E1 = Q / (4pe0 er1r2) E2 = Q / (4pe0 er2r2) 在兩層介質(zhì)中場強(qiáng)最大處在各自內(nèi)表面處，即 E1M = Q / (4pe0 er1)， E2M = Q / (4pe0 er2R2)兩者比較可得 已知R2＜R1，可得E1M＜E2M，可見外層介質(zhì)先擊穿． (2) 當(dāng)外層介質(zhì)中最大場強(qiáng)達(dá)擊穿電場強(qiáng)度EM時，球殼上有最大電荷． QM = 4pe0er2R2EM 此時，兩球殼間電壓(即最高電壓)為 3. 如圖所示，一圓柱形電容器，內(nèi)筒半徑為R1，外筒半徑為R2 (R2＜2 R1)，其間充有相對介電常量分別為er1和er2＝er1 / 2的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R．若兩種介質(zhì)的擊穿電場強(qiáng)度相同，問：(1) 當(dāng)電壓升高時，哪層介質(zhì)先擊穿？(2) 該電容器能承受多高的電壓？ 解：(1) 設(shè)內(nèi)、外筒單位長度帶電荷為＋l和－l．兩筒間電位移的大小為 D＝l / (2pr)在兩層介質(zhì)中的場強(qiáng)大小分別為 E1 = l / (2pe0 er1r)， E2 = l / (2pe0 er2r) 在兩層介質(zhì)中的場強(qiáng)最大處是各層介質(zhì)