【正文】 顯然，尋找使總距離最小的一致性排序問題等價(jià)于求解一個(gè)mm的分配問題。候選人的最終排名取決于Borda總分的高低，其數(shù)學(xué)表示式為(3) Cook－Seiford函數(shù)Cook和Seiford引進(jìn)了距離函數(shù)d以度量排序的不一致性，并將總距離最小的排序方式定義為一致性排序。(2) Borda函數(shù)在包含m個(gè)候選人的選舉問題中，Borda提議對(duì)每一個(gè)候選人依據(jù)其排序名次分別記分，稱為Borda分。這里，fC (x)的值表示x與其它候選人比較時(shí)所處的最不利情形。(1) Condorcet函數(shù)當(dāng)簡單多數(shù)勝出的候選人不存在時(shí)，Condorcet提議采用下面的方法。為此，許多學(xué)者對(duì)上述簡單多數(shù)原則進(jìn)行了推廣，并由此產(chǎn)生了多種多樣的社會(huì)選舉函數(shù)。Condorcet認(rèn)為，在簡單多數(shù)原則下，如果存在某一個(gè)候選人能夠擊敗所有的對(duì)手，則該候選人必然是最能代表大多數(shù)選民意愿的選舉結(jié)果。對(duì)于任何兩個(gè)候選人x, y∈A，采用符號(hào) (i：x i y) 表示x優(yōu)于y的票數(shù)，則有 (i：x i y) + (i：y i x) = n, ? x≠y。 社會(huì)選舉函數(shù)在社會(huì)選舉問題中，候選人集合是一個(gè)非空有限集合，記為A。LuceRaiffa (1957)，Rotheberg (1961)，Kelly (1978) 和Fishburn (1973, 1984, 1990) 對(duì)各種社會(huì)福利函數(shù)都有過精辟的論述。社會(huì)福利函數(shù)的概念由Bergson (1938) 提出，經(jīng)過Samuelson (1947)，Goodman Markowits (1952) 的改進(jìn)和發(fā)展，并由Arrow (1963) 加以創(chuàng)新和推廣。社會(huì)選舉函數(shù)基于Condorcet倡議的簡單多數(shù)原理，并由Borda (1784)，Copeland (1951)，Nanson (1883)，Dodgson (1876)，Kemeny (1959)，Cook和Seiford (1978)，F(xiàn)ishburn (1977)，Bernardo (1981), Miller (1983)，Shepsle和Weingast (1984)，Banks (1985)，Mckelvey (1986)，F(xiàn)eld 及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour (1987)，Dutta (1988)，Zavist 和Tideman (1989) 等人圍繞著Condorcet現(xiàn)象從不同角度對(duì)社會(huì)選舉函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)和推廣。前者主要用于政治選舉問題，后者主要用于經(jīng)濟(jì)決策問題。這就是十八世紀(jì)末由Condorcet揭示的選舉問題中的多數(shù)悖論，稱為Condorcet現(xiàn)象，或Condorcet效應(yīng)。那么兩兩比較的結(jié)果是： 優(yōu)于 有兩票贊成一票反對(duì)， 優(yōu)于 也有兩票贊成一票反對(duì)，但是 優(yōu)于 只有一票贊成兩票反對(duì)。但如果有多名候選人存在時(shí)，簡單多數(shù)的選舉原則卻有可能導(dǎo)致矛盾荒謬的結(jié)果。選舉需要解決的根本問題是如何在充分考慮個(gè)人意愿的基礎(chǔ)上形成合理的全社會(huì)的選舉結(jié)果。第二個(gè)歷史時(shí)期發(fā)生在十九世紀(jì)六十年代和九十年代之間的英國，其代表人物為Dodgson和Nanson。社會(huì)選舉方法的形成和發(fā)展可以劃分為三個(gè)主要的歷史時(shí)期。當(dāng)選民在投票的時(shí)候，心中對(duì)候選人的各方面條件，如資格、能力、誠信度等，都已經(jīng)作了綜合性的衡量與比較，才形成自己的選擇意愿。由于不同的決策者對(duì)同一問題的理解和愿望彼此不同，甚至是相互抵觸和矛盾的，如何根據(jù)每個(gè)成員的偏好形成整個(gè)群體的偏好，即從單一優(yōu)先關(guān)系或單一效用函數(shù)形成群體優(yōu)先關(guān)系或群體效用函數(shù)，進(jìn)而排列方案的優(yōu)劣次序，便成為解決多屬性群決策問題的關(guān)鍵?，F(xiàn)代群決策(GDM)理論的研究范疇已經(jīng)從早期的社會(huì)選舉理論發(fā)展到近代的多屬性群決策理論，又從多屬性群決策理論進(jìn)一步推廣到現(xiàn)代的專家系統(tǒng)理論和對(duì)策理論，并與模糊集理論結(jié)合在一起，形成了一個(gè)十分活躍而廣泛的研究領(lǐng)域。即使是人們每天碰到的日常決策，雖然本質(zhì)上不屬于群決策的范疇，但也會(huì)征求親友或同事們的意見，然后才作出決定。但在現(xiàn)代社會(huì)生活中，實(shí)際決策的形成往往不是一個(gè)人說了算的。上一章所研究的多屬性決策問題是由單個(gè)決策者從有限個(gè)方案中，選擇一個(gè)決策者認(rèn)為滿意的方案。其決策行為主要表現(xiàn)在單一效用函數(shù)或單一優(yōu)先關(guān)系的構(gòu)造和分析，這一類決策是所謂的獨(dú)斷型決策。由于各種經(jīng)濟(jì)決策問題變得越來越復(fù)雜，在許多情況下都有必要集中一群人的智慧來共同解決決策問題。因此，根據(jù)群體各個(gè)成員的意見和偏好來制訂統(tǒng)一的決策是人類決策的普遍形式。多屬性決策問題從單個(gè)決策者的獨(dú)斷情形轉(zhuǎn)變到多個(gè)決策者集議的情形，給決策分析帶來許多復(fù)雜的因素，并提出一系列的新問題。 選舉函數(shù)和福利函數(shù) 社會(huì)選舉理論選舉是民主社會(huì)中表達(dá)民眾意愿的基本形式，也是最典型的群決策方法之一。所以，選舉過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)多屬性的群決策過程，只是這里的決策屬性沒有以外在的形式表現(xiàn)出來而已。第一個(gè)歷史時(shí)期發(fā)生在十八世紀(jì)八十年代的法國，其代表人物為 Borda和Condorcet。第三個(gè)歷史時(shí)期發(fā)生在二十世紀(jì)五十年代至八十年代的美國，其代表人物為Arrow，Gibbard和 Satterthwaite。對(duì)于只有兩個(gè)候選人的選舉情況，簡單多數(shù)的選舉原則被普遍認(rèn)為是公正可行21 / 21的。譬如，設(shè)有三個(gè)選民甲、乙、丙和三個(gè)候選人，如果甲認(rèn)為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 ；乙認(rèn)為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 ；而丙認(rèn)為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 。因此，按簡單多數(shù)原則得到的結(jié)果是不傳遞的，即 優(yōu)于 ， 優(yōu)于 ，但 卻不優(yōu)于 。為了克服Condorcet 現(xiàn)象在選舉理論上造成的極大困擾，許多不同的群決策程序相繼提出，形成了社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)兩大類別。當(dāng)方案集為有限集時(shí)，社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)是完全等價(jià)的，只有當(dāng)方案集為無限集時(shí)，社會(huì)福利函數(shù)才有別于社會(huì)選舉函數(shù)。Black (1958) 和 Fishburn (1977) 以及Gehrlein (1983) 對(duì)早期的這些方法進(jìn)行了總結(jié)，并從理論上作了詳細(xì)的比較性研究。此后，Kirkwood (1972)，BowmanColantoni (1973)，Gibbard (1973)，BlinWhinston (1974)，Satterthwaite (1975)，F(xiàn)arrisSage (1975)，Parks (1976)，Pollak (1979)，DyerSarin (1979)，Mackay (1980)，Bowers (1981)，GretherPlott (1982)，F(xiàn)ishburn (1983, 1987)，Nurmi (1987)，Merrill (1988)，EnelowHinich (1989) 等人在Arrow 的不可能性定理的基礎(chǔ)上，提出了各種各樣的改進(jìn)方法。下面我們將扼要介紹社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)的基本理論和方法。設(shè)有n位選民參加投票，每個(gè)人將按照自己的意愿對(duì)候選人進(jìn)行排隊(duì)。那么簡單多數(shù)原則可以被定義為：x y 當(dāng)且僅當(dāng) (i：x i y) (i：y i x)如果 (i：x i y) = (i：y i x)，則認(rèn)為x與y無差異。換言之，Condorcet原則被定義為：x = x* 當(dāng)且僅當(dāng)x∈A, x y, ? y∈A\{x}但是，當(dāng)選舉結(jié)果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時(shí)，不存在以簡單多數(shù)勝出的候選人。現(xiàn)選擇其中有代表性的幾種社會(huì)選舉函數(shù)分別介紹如下。設(shè)則候選人的優(yōu)先順序?qū)凑蘸瘮?shù)fC (x)的值來排列。因此，fC (x)是一個(gè)極大－極小型的保守函數(shù)。記分原則是排在第一位得m －1分，第二位得m －2分，這樣依次遞減，直到最后一位得0分。設(shè)rij表示選民i對(duì)候選人j的排序結(jié)果，令rj*表示候選人j的一致性排序結(jié)果，那么選民i排序的不一致性可以表示為故排序的總偏差為因?yàn)閞j*只能等于序數(shù)1, 2, …, m中的某一個(gè)，設(shè)rj* = k，則可定義從而假定每個(gè)候選人都有