數(shù)學課件：2-3-2、3平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的坐標運算-展示頁
2025-06-28 16:22本頁面
【正文】 OA→、 OB→、 AB→，并求出它們的坐標． 命題方向 1 向量的坐標表示 [ 分析 ] 利用平行四邊形法則或三角形法則． [ 解析 ] OA→＝ 6 i＋ 2 j， OB→＝ 2 i＋ 4 j， AB→＝－ 4 i＋ 2 j， 它們的坐標表示為： OA→＝ (6,2) ， OB→＝ (2,4) ， AB→＝ ( －4, 2) ． 規(guī)律總結(jié)： 向量的坐標表示實質(zhì)上是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標表示后，可使向量運算代數(shù)化，將數(shù)和形緊密結(jié)合起來，從而使許多幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算． 在直角坐標系 x Oy 中，向量 a 、 b 、 c 的方向如圖所示，且| a |＝ 2 ， | b |＝ 3 ， | c |＝ 4 ，分別計算出它們的坐標． [ 分析 ] 題目中給出了向量 a 、 b 、 c 的模以及與坐標軸的夾角，要求 向量的坐標，先將向量正交分解，把它們分解為橫、縱坐標的形式，然后寫出其相應的坐標． [ 解析 ] 設 a ＝ ( a1， a2) ， b ＝ ( b1， b2) ， c ＝ ( c1， c2) ， 則 a1＝ | a | c os45176。 ＝ 2 22＝ 2 ， b1＝ | b | c os120176。 ＝ 3 32＝3 32， c1＝ | c | c os ( － 30176。 ) ＝ 4 ( －12) ＝－ 2. 因此 a ＝ ( 2 ， 2 ) ， b ＝ ( －32，3 32) ， c ＝ (2 3 ，－ 2) . 探索延拓創(chuàng)新 設向量 a 、 b 的 坐標分別是 ( － 1,2) ， (3 ，－ 5) ，求 a ＋b ， a － b, 3 a, 2 a ＋ 3 b 的坐標． [ 分析 ] 直接利用向量在坐標形式下的各種運算法則求解． [ 解析 ] a ＋ b ＝ ( － 1,2) ＋ (3 ，－ 5) ＝ ( － 1 ＋ 3,2 － 5) ＝ (2 ，－ 3) ； a － b ＝ ( － 1,2) － (3 ，－ 5) ＝ ( － 1 － 3,2 ＋ 5) ＝ ( － 4, 7) ； 3 a ＝ 3( － 1,2) ＝ ( － 3,6) ； 2 a ＋ 3 b ＝ 2( － 1,2) ＋ 3( 3 ，－ 5) ＝ ( － 2,4) ＋ (9 ，－ 15) ＝ ( － 2 ＋ 9,4 － 15) ＝ (7 ，－ 1 1) ． 規(guī)律總結(jié)： 準確、熟練掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的坐標運算公式．牢記公式、細心計算． 已知 a ＝ (2,1) ， b ＝ ( － 3, 4) ．求： (1) a ＋ 3 b ； (2)12a －14b . [ 解析 ] (1) a ＋ 3 b ＝ (2,1 ) ＋ 3( － 3,4) ＝ (2,1) ＋ ( － 9,12) ＝ ( － 7 ,13) ． (2)12a －14b ＝12(2,1) －14( － 3,4) ＝??????1 ，12－??????－34， 1 ＝??????74，－12. 規(guī)律總結(jié)： 向量的坐標表示實質(zhì)上就是用實數(shù)表示向量，因此，向量的坐標運算就可以轉(zhuǎn)化為實數(shù) 的運算 . 命題方向 3 向量的直角坐標運算 若向量 | a |＝ | b |＝ 1 ，且 a ＋ b ＝ (1,0) ，求 a 與 b 的坐標． [ 分析 1] 利用定義解題． [ 解法 1] 設 a ＝ ( m ， n ) ， b ＝ ( p ， q ) ，則有
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