初等數(shù)論期末考試試卷張-展示頁
2025-06-27 06:13本頁面
【正文】 D 此方程無解。二，填空題（滿分10分，每題2分）1，當(dāng)= 時，和同時成立。3， 。5，余式等價于等式： 。 （ ）2， 設(shè)∈，a∈，（a,m）=1，若整數(shù)集合為模的一個簡化剩余系，則也為模的一個簡化剩余系。 （ ）4，循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長度為4。 （ ）四，求解題（滿分30分 ）1，用“棄九法”驗算下面式子是否正確：。（）3，求同余方程的所有解。（）五，證明題（滿分25分 ）1，證明：對一切正整數(shù)，都有 。（）初等數(shù)論考試試卷1一、單項選擇題(每題3分，共18分)如果，則( ).A B C D 如果，則15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定如果,是任意整數(shù),則A B C T D 如果( ),則不定方程有解.A B C D 整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或9二、填空題(每題3分，共18分)素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（ ）.同余式有解的充分必要條件是( ).如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( ).的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( ).如果是兩個正整數(shù),則存在( )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)求[136,221,391]=?求解不定方程.解同余式.求,其中563是素數(shù). （8分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.試卷1答案一、單項選擇題(每題3分，共18分)D. A C A A B 二、填空題(每題3分，共18分)素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（唯一的）.同余式有解的充分必要條件是().如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( 與互素 ).的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( 倍數(shù) ).如果是兩個正整數(shù),則存在( 唯一 )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分) 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391] = =104391=40664.求解不定方程.（8分） 解：因為（9，21）=3，所以有解；化簡得；考慮，有， 所以原方程的特解為，因此，所求的解是。5,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. 又同余式等價于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3),. 因此同余式的3個解為, ,.求,其中563是素數(shù). （8分）解 把看成Jacobi符號,我們有（3分）（2分）,（2分）即429是563的平方剩余. （1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因為==, （3分）而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), （2分）并且(2,3)=1, （1分）所以從和有,（3分）即是整數(shù). （1分）證明相鄰兩個整
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