初等數(shù)論期末考試試卷張-文庫(kù)吧
2025-06-03 06:13 本頁(yè)面
【正文】 4391=40664.求解不定方程.（8分） 解：因?yàn)椋?，21）=3，所以有解；化簡(jiǎn)得；考慮，有， 所以原方程的特解為，因此，所求的解是。 解同余式. （8分）解 因?yàn)?12,45)=3166。5,所以同余式有解,而且解的個(gè)數(shù)為3. 又同余式等價(jià)于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個(gè)解是(10,3),. 因此同余式的3個(gè)解為, ,.求,其中563是素?cái)?shù). （8分）解 把看成Jacobi符號(hào),我們有（3分）（2分）,（2分）即429是563的平方剩余. （1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)證明對(duì)于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因?yàn)?=, （3分）而且兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), （2分）并且(2,3)=1, （1分）所以從和有,（3分）即是整數(shù). （1分）證明相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除. （11分） 證明 因?yàn)? （3分）所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由2,1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,177。1,177。2代入分別得值1，7，1，19，7.對(duì)于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T （7分）所以相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除。 （1分）證明形如的整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)的和. （11分） 證明 設(shè)是正數(shù),并且, （3分）如果, （1分）則因?yàn)閷?duì)于模4,只與0,1,2,1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, （4分）而這與的假設(shè)不符, （2分）即定理的結(jié)論成立. （1分）一、單項(xiàng)選擇題（C ）.A B C D 0如果，則(D ).A B C D 如果，則=（C ）.A B C D 小于30的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（A ）.A 10 B 9 C 8 D 7大于10且小于30的素?cái)?shù)有（ C ）.A 4個(gè) B 5個(gè) C 6個(gè) D 7個(gè)如果，則15（A ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定在整數(shù)中正素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（C ）.A 有1個(gè) B 有限多 C 無(wú)限多 D 不一定二、計(jì)算題 求24871與3468的最大公因數(shù)?解： 24871=34687+595 3468=5955+493 595=4931+102 493=1024+85102=851+17 85=175,所以,(24871,3468)=17. 求[24871,3468]=?解：因?yàn)椋?4871,3468）=17 所以 [24871,3468]= =5073684 所以24871與3468的最小公倍數(shù)是5073684。求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391]= =104391=40664.三、證明題 如果是兩個(gè)整
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