【正文】 存在 x∈ R， 使x2＋ 2ax＋ 2－ a＝ 0” ， 若命題 “ p 且 q” 是真命題 ， 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A． {a|a≤ － 2 或 a＝ 1} B． {a|a≥ 1} C． {a|a≤ － 2 或 1≤ a≤ 2} D． {a|－ 2≤ a≤ 1} (2)命題 “ 存在 x∈ R,2x2－ 3ax＋ 90” 為假命題 ， 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ________． 答案 (1)A (2)[－ 2 2， 2 2] 解析 (1)由題意知， p： a≤ 1， q： a≤ － 2 或 a≥ 1， ∵ “ p 且 q” 為真命題， ∴ p、 q 均為真命題， ∴ a≤ － 2 或 a＝ 1. (2)因題中的命題為假命題，則它的否定 “ 任意 x∈ R,2x2－ 3ax＋ 9≥ 0” 為真命題，也就 是常 見(jiàn)的 “ 恒成立 ” 問(wèn)題，因此只需 Δ＝ 9a2－ 4 2 9≤ 0，即－ 2 2≤ a≤ 2 2. 借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參數(shù)范圍 典例： (12 分 )已知 c0， 且 c≠ 1， 設(shè) p： 函數(shù) y＝ cx在 R 上單調(diào)遞減 ； q： 函數(shù) f(x)＝ x2－ 2cx＋ 1 在 ?? ??12，＋ ∞ 上為增函數(shù) ， 若 “ p 且 q” 為假 ， “ p 或 q” 為真 ， 求實(shí)數(shù) c 的取值范圍 ． 思維啟迪 (1)p、 q 都為真時(shí)，分別求出相應(yīng)的 a 的取值范圍； (2)用補(bǔ)集的思想，求出綈 p、 綈 q 分別對(duì)應(yīng)的 a 的取值范圍； (3)根據(jù) “ p 且 q” 為假、 “ p或 q” 為真，確定 p、q 的真假 ． 規(guī)范解答 解 ∵ 函數(shù) y＝ cx在 R 上單調(diào)遞減， ∴ 0c1. [2 分 ] 即 p： 0c1， ∵ c0 且 c≠ 1， ∴ 綈 p： c1. [3 分 ] 又 ∵ f(x)＝ x2－ 2cx＋ 1 在 ?? ??12，＋ ∞ 上為增函數(shù)， ∴ c≤ 12. 即 q： 0c≤ 12， ∵ c0 且 c≠ 1， ∴ 綈 q： c12且 c≠ 1. [5 分 ] 又 ∵ “ p 或 q” 為真， “ p 且 q” 為假， ∴ p 真 q 假或 p 假 q 真 ． [6 分 ] ① 當(dāng) p 真， q 假時(shí)， {c|0c1}∩ ??? ???c|c12且 c≠ 1 ＝ ??? ???c|12c1 . [8 分 ] ② 當(dāng) p 假， q 真時(shí)， {c|c1}∩ ??? ???c|0c≤ 12 ＝ ?. [10 分 ] 綜上所述，實(shí)數(shù) c 的取值范圍是 ??? ???c|12c1 . [12 分 ] 第一步：求命題 p、 q 對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍 ． 第二步：求命題 綈 p、 綈 q 對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍 ． 第三步：根據(jù)已知條件構(gòu)造新命題，如本題構(gòu)造新命題 “ p 且 q” 或 “ p 或 q” ． 第四步：根據(jù)新命題的真假，確定參數(shù)的范圍 ． 第五步：反思回顧 ． 查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范 ． 溫馨提醒 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地 把每個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來(lái) ， 然后轉(zhuǎn)化為集合交 、 并 、 補(bǔ)的基本運(yùn)算 ． 答題時(shí) ， 可依答題模板的格式進(jìn)行 ， 這樣可使答題思路清晰 ， 過(guò)程完整 ． 老師在閱卷時(shí) ，便于查找得分點(diǎn) . 方法與技巧 1． 把握含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，特別是字面上未出現(xiàn) “ 或 ” 、 “ 且 ” ，要結(jié)合語(yǔ)句的含義理解 ． 2． 要寫(xiě)一個(gè)命題的否定，需先分清其是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，對(duì)照否定結(jié)構(gòu) 去寫(xiě)，并注意與否命題區(qū)別；否定的規(guī)律是 “ 改量詞，否結(jié)論 ” ． 失誤與防范 1． p 或 q 為真命題，只需 p、 q 有一個(gè)為真即可； p 且 q為真命題，必須 p、 q同時(shí)為真 ． 2． p 或 q 的否定：非 p 且非 q； p 且 q 的否定：非 p 或非 q. 3． 命題的否定與否命題 “ 否命題 ” 是對(duì)原命題 “ 若 p，則 q” 的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論； “ 命題 p 的否定 ” 即 “ 非 p” ，只是否定命題 p 的結(jié)論 . A組 專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間： 40 分鐘 ) 一、選擇題 1． 設(shè)命題 p： 函數(shù) y＝ sin 2x 的最小正周期為 π2； 命題 q： 函數(shù) y＝ cos x 的圖像關(guān)于直線 x＝ π2對(duì)稱(chēng) ． 則下列判斷正確的是 ( ) A． p 為真 B． 綈 q 為假 C． p 且 q 為假 D． p 或 q 為真 答案 C 解析 p 是假命題， q 是假命題，因此只有 C 正確 ． 2． (2020重慶 )命題 “ 對(duì)任意 x∈ R， 都有 x2≥ 0” 的否定為 ( ) A． 對(duì)任意 x∈ R， 都有 x20 B． 不存在 x∈ R， 使得 x20 C． 存在 x0∈ R， 使得 x20≥ 0 D． 存在 x0∈ R， 使得 x200 答案 D 解析 因?yàn)?“ 任意 x∈ M， p(x)” 的否定是 “ 存在 x∈ M， 綈 p(x)” ，故 “ 對(duì)任意 x∈ R，都有 x2≥ 0” 的否定是 “ 存在 x0∈ R，使得 x200” ． 4． (2020 167。 全稱(chēng)量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞 1． 全稱(chēng)量詞與存在量詞 (1)常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞有 “ 所有 ”“ 每一個(gè) ”“ 任意一條 ”“ 一切 ” 等 ． (2)常見(jiàn)的存在量詞有 “ 有些 ”“ 至少有一個(gè) ”“ 有一個(gè) ”“ 存在 ” 等 ． 2． 全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題 (1)含有 全稱(chēng) 量詞的命題叫全稱(chēng)命題 ． (2)含有 存在 量詞的命題叫特稱(chēng)命題 ． 3． 命題的否定 (1)全稱(chēng)命題的否定是 特稱(chēng) 命題 ； 特稱(chēng)命題的否定是 全稱(chēng) 命題 ． (2)p 或 q 的否定 ： 非 p 且非 q； p 且 q 的否定 ： 非 p 或非 q. 4． 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的 “ 且 ” 、 “ 或 ” 、 “ 非 ” 叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞 ． (2)簡(jiǎn)單復(fù)合命題的真值表 ： p q 綈 p 綈 q p 或 q p 且 q 綈 (p或 q) 綈 (p 且 q) 綈 p 或 綈 q 綈 p 且 綈 q 真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 真 真 真 1． 判斷下面結(jié)論是否正確 (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 “√” 或 “” ) (1)命題且 q 為假命題 ， 則命題 p、 q 都是假命題 ． ( ) (2)已知命題 p： 存在 n0∈ N,2n01 000， 則 綈 p： 存在 n∈ N,2n0≤ 1 000. ( ) (3)命題 p 和 綈 p 不可能都是真 命題 ． ( √ ) (4)命題 “ 任意 x∈ R， x2≥ 0” 的否定是 “ 任意 x∈ R， x20” ． ( ) (5)若命題 p、 q 至少有一個(gè)是真命題 ， 則 p 或 q 是真命題 ． ( √ ) 2． 命題 p： 任意 x∈ R， sin x1； 命題 q： 存在 x∈ R， cos x≤ － 1， 則下列結(jié)論是真命題的 是 ( ) A． p 且 q B． 綈 p 且 q C． p 或 綈 q D． 綈 p 且 綈 q 答案 B 解析 p 是假命題， q 是真命題， ∴ 綈 p 且 q 是真命題 ． 3． (2020湖北 )在一次跳傘訓(xùn)練中 ， 甲 、 乙兩位學(xué)員各跳一次 ， 設(shè) 命題 p 是 “ 甲降落在指定范圍 ” ， q 是 “ 乙降落在指定范圍 ” ， 則命題 “ 至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍 ”可表示為 ( ) A． (綈 p)或 (綈 q) B. p 或 (綈 q) C． (綈 p)且 (綈 q) D． p 或 q 答案 A 解析 “ 至少有一位學(xué)員沒(méi)有落在指定范圍 ” ＝ “ 甲沒(méi)有落在指定范圍 ” 或 “ 乙沒(méi)有落在指定范圍 ” ＝ (綈 p)或 (綈 q)． 5． 若命題 “ 存在 x∈ R， x2－ mx－ m0” 是假命題 ， 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ________． 答案 [－ 4,0] 解析 “ 存在 x∈ R， x2－ mx－ m0” 是假命題，則 “ 任意 x∈ R， x2－ mx－ m≥ 0” 是真命題 ． 即 Δ＝ m2＋ 4m≤ 0， ∴ － 4≤ m≤ 0. 題型一 全 (特 )稱(chēng)命題的否定 例 1 寫(xiě)出下列命題的否定 ， 并判斷其真假 ： (1)p： 任意 x∈ R， x2－ x＋ 14≥ 0； (2)q： 所有的正方形都是矩形 ； (3)r： 存在 x0∈ R， x20＋ 2x0＋ 2≤ 0； (4)s： 至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x0， 使 x30＋ 1＝ 0. 思維啟迪 否定量詞，否定結(jié)論，寫(xiě)出命題的否定；判斷命題的真假 ． 解 (1)綈 p：存在 x0∈ R， x20－ x0＋ 140，假命題 ． (2)綈 q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題 ． (3)綈 r：任意 x∈ R， x2＋ 2x＋ 20，真命題 ． (4)綈 s：任意 x∈ R， x3＋ 1≠ 0，假命題 ． 思維升華 (1)對(duì)全 (特 )稱(chēng)命題進(jìn)行否定的方法 ① 找到命題所含的量詞，沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定 ． ② 對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定 ． (2)判定全稱(chēng)命題 “ 任意 x∈ M， p(x)” 是真命題，需要對(duì)集合 M 中的每個(gè)元素 x，證明p(x)成立；要判斷特稱(chēng)命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少能找到一個(gè) x＝ x0，使 p(x0)成 立 ． (1)已知命題 p： 任意 x1， x2∈ R， (f(x2)－ f(x1))四川 )設(shè) x∈ Z， 集合 A 是奇數(shù)集 ， 集合 B 是偶數(shù)集 ． 若命題 p： 任意 x∈ A,2x∈ B，則 ( ) A． 綈 p： 任意 x∈ A,2x∈ B B． 綈 p： 任意 x?A,2x?B C． 綈 p： 存在 x?A,2x∈ B D． 綈 p： 存在 x∈ A,2x?B 答案 D 解析 命題 p：任意 x∈ A,2x∈ B 是一個(gè)全稱(chēng)命題，其命題的否定 綈 p 應(yīng)為存在 x∈ A,2x?B，選 D. 3． 已知命題 p： 所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù) ； 命題 q： 正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù) ， 則下列命題中為真命題的是 ( ) A． 綈 p 或 q B． p 且 q C． 綈 p 且 綈 q D． 綈 p 或 綈 q 答案 D 解析 不難判斷命題 p 為真命題，命題 q 為假命題，從而上述敘述中只有 綈 p 或 綈 q 為真命題 ． 4． 已知命題 p： 若 a1， 則 axlogax 恒成立 ； 命題 q： 在等差數(shù)列 {an}中 (其中公差 d≠ 0)，m＋ n＝ p＋ q 是 an＋ am＝ ap＋ aq 的充分不必要條件 (m， n， p， q∈ N＋ )． 則下面選項(xiàng)中真命題是 ( ) A． 綈 p 且 綈 q B． 綈 p 或 綈 q C． 綈 p 或 q D． p 且 q 答案 B 解析 對(duì)于命題 p，如圖所示，作出函數(shù) y＝ ax(a1)與 y＝ logax(a1) 在 (0，＋ ∞ )上的圖像，顯然當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) y＝ ax的圖像在函數(shù) y＝ logax 圖像的上方，即當(dāng) a1 時(shí)， axlogax 恒成立，故命題 p 為真命 題 ． 對(duì)于命題 q，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知當(dāng)公差不為 0 時(shí)， m＋ n＝ p＋ q 是 an＋ am＝ ap＋ aq的充要條件，故命題 q 為假命題 ． ∴ 命題 綈 p 為假， 綈 q 為真，故 綈 p 或 綈 q為真 ． 5． 下列命題中 ， 真命題是 ( ) A． 存在 x0∈ ?? ??0， π2 ， sin x0＋ cos x0≥ 2 B． 任意 x∈ (3，＋ ∞ )， x22x＋ 1 C． 存在 x0∈ R， x20＋ x0＝－ 1 D． 任意 x∈ ?? ??π2， π ， tan xsin x 答案 B 解析 對(duì)于選項(xiàng) A， 任意 x∈ ?? ??0， π2 ， sin x＋ cos x＝ 2sin?? ??x＋ π4 ≤ 2， ∴ 此命題為假命題； 對(duì)于選項(xiàng) B，當(dāng) x∈ (3，＋ ∞ )時(shí)， x2－ 2x－ 1＝ (x－ 1)2－ 20， ∴ 此命題為真命題； 對(duì)于選項(xiàng) C，任意 x∈ R， x2＋ x＋ 1＝ ?? ??x＋ 12 2＋ 340， ∴ 此命題為假命題； 對(duì)于選項(xiàng) D，當(dāng)