gs高階導數ppt課件-展示頁
2025-05-14 12:38本頁面
【正文】 一般，若 .))((1dcxbaxy ??? 則 y可分解成 .dcx Bbax Ay ???? 其中 A, B可用待定系數法確定 . 從而可按例 9的方法求 y(n). 例 10. 求由方程 x?y+siny=0所確定的隱函數 y=y(x)的二階導數 . 解： 先求 y=y(x)的一階導數 . 兩邊對 x求導 , y是 x的函數 039。 = u39。 = sin2x. = 2sinxcox 2)22s i n ( ??? ?x,2)222s i n ( 2)3( ???? ?xy…… .22)1(2s i n 1)( ???????? ???? nn nxy ?例 7. 求 y =ln(1+x)的 n階導數 . 解 : ,1 1 xy ???? ?????? ? 1)1( xy 2)1( ???? x,)1)(2)(1( 3)3( ????? xy,)1)(3)(2)(1( 4)4( ?????? xy…… nnnxny)1()!1()1( , 1)(???? ?一般.)( !)1()1( , 1)( ????? nnn ax nax類似定理 1. 設 u=u(x), v=v(x)在點 x處具有 n階導數 , 則 u 39。 = (sin2x)39。39。 = e?x??2, y(3)=e?x??3,…, 故 y(n) = e?x??n. 特別 , 取 ? = 1, 得 (ex)(n) = ex (ax)(n) = ( exlna)(n) 取 ? = –1, 得 (e–x)(n) =(–1)(n) ex. (2) 由于 ax = exlna, 由 (1)得 = ax (lna)n = exlna (lna)n 例 5. 求 y = sinx的 n階導數 y(n). 解 : 我們知道 y39。 = e?x??, y39。1 xn–n = n! 而 y(n+1)= (n!)39。 = n(n–1)xn–2, y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3, …, y(n)= n(n–1)… 3 = nxn–1, ., )1()( ?? nnn yynxy 和求為正整數設y39。 = V39。(t) 注意到 , ?V = V ( t +?t)?V(t)表示在 [t, t +?t]這段時間內速度 V(t)的增量 (改變量 ). 從而 . 度這段時間內的平均加速表示在 tatV ????故 ).( l i m0 tatVt ?????即 , S39。39。(t)的物理意義 . 解 : 我們知道 , S39。. 例 1. 設物體作變速運動 . 在 [0, t]這段時間內所走路程為 S = S(t), 指出 S39。, y(2)=y39。(x)存在且仍可導 , 記 f 39。 4－ 3 高階導數 一般 , 設 y= f (x)的導數 y39。39。39。39。(x))39。(x)仍可導 , 則可求 f 39。 設 y = f (x), 若 y =f (x)可導 , 則 f 39。(x)是 x的函數 .若 f 39。(x)的導數 .記作 (f 39。=f 39。(x).稱為 f (x)的二階導數 .若 f 39。(x)仍可導 , 則又可求 f 39。(x)的導數 ,…. 167。 = f 39。(x)的導數為 ).(,dd22xfyx y ????或,))(()(dd , 22????????? xfxfyx y
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