【正文】 22( ) ( )DLd t d tM J f Md t d t??? ? ?()( ) ( ) aa a a a bdi tu t R i t L edt? ? ?()bedtecdt??電樞回路電壓平衡方程為 力矩平衡方程為 ()D M aM c i t? 許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運(yùn)動規(guī)律可能完全一樣可以用一個運(yùn)動方程來表示，稱它們?yōu)榻Y(jié)構(gòu)相似系統(tǒng)。 例 3 電樞控制的它勵直流電動機(jī)如圖所示，電樞輸入電壓 ua，電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)角為 θ 。 理論依據(jù) :牛頓第二定律 ,物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積 . F m a??12()()F k y td y tFfdt??m F1(彈簧的拉力 ) F(t)外力 F2阻尼器的阻力 212222()()( ) ( )( ) ( )d y ta F t F F m adtdy t d y tF t k y t f mdt dt? ? ? ? ?? ? ?得22( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm f k y t F td t d t? ? ?根據(jù)上述的例子，可以得到列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟： 1）分析系統(tǒng)原理，確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量； 2）根據(jù)已知的定律，寫出運(yùn)動過程的微分方程； 3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程； 4）整理。 R L C ur(t) uc(t) i(t) 依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律 由（ 2）代入（ 1）得：消去中間變量 i(t) （兩邊求導(dǎo)） ()( ) ( ) ( ) , ( 1 )rcdi tu t Ri t L u tdt? ? ?22( ) ( ) ( ) ( )CCCrd u t d u tL C R C u t u td t d t? ? ?1( ) ( ) , ( 2)Cu t i t dtC? ?()() Cd u ti t Cdt??例 2 機(jī)械位移系統(tǒng) ,物體在外力 F(t)作用下產(chǎn)生位移 y(t)，寫出運(yùn)動方程。自動控制原理 第二章 連續(xù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第 2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 控制系統(tǒng)的動態(tài)微分方程 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效 信號流圖 MATLAB簡介及數(shù)學(xué)模型的表示 ? 定義： ? 控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為數(shù)學(xué)模型。 ? 用途： ? 1）分析實(shí)際系統(tǒng) ? 2）預(yù)測物理量 ? 3）設(shè)計(jì)控制系統(tǒng) 承上： 復(fù)習(xí)、引入 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 表達(dá)形式 ? 靜態(tài)模型與動態(tài)模型 ? 外部與內(nèi)部描述模型 ? 連續(xù)時(shí)間模型與離散時(shí)間模型 ? 參數(shù)模型與非參數(shù)模型 線性系統(tǒng) 傳遞函數(shù) 微分方程 頻率特性 拉氏 變換 傅氏 變換 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) ? 相似性 ? 簡化性和準(zhǔn)確性 建立數(shù)學(xué)模型的方法 ? 機(jī)理分析建模方法（分析法） ? 實(shí)驗(yàn)建模方法（系統(tǒng)辨識法） ? 混合法 控制系統(tǒng)的動態(tài)微分方程 例 1 如圖所示的 RLC電路，試建立以電容上電壓 uc(t)為輸出變量，輸入電壓 ur(t)為輸入變量的運(yùn)動方程。 輸入 F(t)，輸出 y(t)。與輸入有關(guān)的放在等號右面，與輸出有關(guān)的放在等號左面，并按照降階次進(jìn)行排列，成為標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。 Ra、 La、 ia分別為電樞電路的電阻、電感和電流， if為恒定激磁電流， eb為反電勢， f為電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)， G為電樞質(zhì)量， D為電樞直徑， ML為負(fù)載力矩。 上例的機(jī)械平移系統(tǒng)和 RLC電路就可以用同一個數(shù)學(xué)表達(dá)式分析，具有相同的數(shù)學(xué)模型。OFfiAOB?思路：以直代曲 線性化。求 i(t)之間的 ui(t)微分方程 。 （ 2）在運(yùn)行過程中偏離量滿足小偏差條件。 R0?0ii?()iut ()it ()out() ()id i di Ri u tdi dt? ? ?Φ0( ) ( )iiu t u u t? ? ? 0i i i? ? ?00() id idi?? ? ? ? ?( ) ( )iid i d iL R i u t L R i u td t d t? ? ? ? ? ? ? ? 用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀 ，但是一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。 22( ) ( ) ( ) ( )CCCrd u t d u tL C R C u t u td t d t? ? ?傳遞函數(shù)的定義和概念 RLC電路的微分方程為 傳遞函數(shù) 設(shè)初始狀態(tài)為零，對上式進(jìn)行拉氏變換，得到 2 ( ) ( ) ( ) ( )c c c rLCs U s R Cs U s U s U s? ? ?2 1 ( ) ( )crL Cs R Cs U s U s? ? ?（ ）2() 1( ) 1crUsU s L C s RC s???()()()CsGsRs? 零 初 始 條 件 下G(s) R(s) C(s) 定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用 G(s)表示。特征方程為 10 1 1() nn nnD s a s a s a s a? ?? ? ? ? ?L( ) ( )()( ) ( )C s M sGsR s N s??1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]C s G s R s c t L G s R s?? ? ?說明 （ 1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。 （ 3）傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定。 （ 4）傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出 (SISO)之間的關(guān)系，對多輸入多輸出 (MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示。 傳遞函數(shù)的形式 10 1 110 1 1()()()mmmmnnnnb s b s b s bCsGsR s a s a s a s a????? ? ? ???? ? ? ?1212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )mnT s T s T sG s Ks s s s? ?? ? ? ?? ? ??? ? ?多項(xiàng)式比值 型別、開環(huán)增益加時(shí)間常數(shù) j?2101?2?4 3 2 1? ? ? ?1212( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )mgns z s z s zG s Ks p s p s p? ? ??? ? ?零極點(diǎn) (1)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)； (2)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 1）比例環(huán)節(jié) 式中 —— 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。 常見的比例環(huán)節(jié)舉例 電子放大器，齒輪，電位器，感應(yīng)式變送器等。 特點(diǎn)：含一個儲能元件，對突變的輸入 ,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無振蕩。 Ru Li( ) 1 1 /()( ) / 1 1I s R KGsU s Ls R L R s Ts? ? ? ?? ? ?t K c(t) 3）積分環(huán)節(jié) ( ) ( )y t K r t d t? ?傳遞函數(shù)為 ： ()()()Y s KGsR s s?? 特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。 常見的積分環(huán)節(jié)舉例 電動機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。 ?特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。 5）振蕩環(huán)節(jié) 222( ) ( )2 ( ) ( )d y t d y tT T y t K r td t d t?? ? ?傳遞函數(shù)為 22()()( ) 2 1Y s