【正文】 值作為 f(x)的近似值 ,不僅希 望 能較好地逼近 f(x),而且還希望它計(jì)算簡(jiǎn)單 。這一過程稱為 插值 ，點(diǎn) x稱為插值點(diǎn)。167。 引言 問題的提出 –函數(shù)解析式未知 ,通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的一組數(shù)據(jù) , 即在某個(gè)區(qū)間 [a, b]上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值 yi= f(xi) –或者給出函數(shù)表 y=f(x) y=p(x) x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn 第六章 插值法 插值法的基本原理 設(shè)函數(shù) y=f(x)定義在區(qū)間 [a, b]上 , 是 [a, b]上取定的 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn) ,且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值 為已知 ,即 若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù) ,滿足 則稱 為 f(x)的一個(gè) 插值函數(shù) , f(x)為 被插函數(shù) , 點(diǎn) xi為 插值節(jié)點(diǎn) , 稱 ()式為 插值條件 , 而誤差函數(shù) R(x)= 稱為 插值余項(xiàng) , 區(qū)間 [a, b]稱為 插值 區(qū)間 , 插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為 內(nèi)插 , 否則稱 外插 nxxx , 10 ?)(,),(),( 10 nxfxfxf ? )( ii xfy ?)(x?( ) ( ) ( 1 , 2 , , )iix f x i n? ??)(x?() )()( xxf ??插值函數(shù) 在 n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn) (i=0,1,…,n ) 處與 相等 ,在其它點(diǎn) x就用 的值作為 f(x) 的近似值。換 句話說(shuō) , 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表 “ 插出 ”所要點(diǎn)的函數(shù)值。 由于 代數(shù)多項(xiàng)式 具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。即求一個(gè)次數(shù)不超過 n次的多項(xiàng)式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。 )( xfy ? ixia由插值條件 : (i=0,1,2,… ,n),可得 )()(ii xfxp ?????????????????????????????)()()(01111011111100011010nnnnnnnnnnnnnnnnxfaxaxaxaxfaxaxaxaxfaxaxaxa???? 這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù) 的 n+1階線性方 程組 ,其系數(shù)矩陣行列式為 naaa , 10 ?? ???????niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV110212110200)(111????? 稱為 Vandermonde（ 范德蒙）行列式，因 xi≠ xj （ 當(dāng) i≠ j）， 故 V≠ 0。 naaa , 10 ?惟一性說(shuō)明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造，也不論用何種形式來(lái)表示插值多項(xiàng)式 ,只要滿足插值條件 ()其結(jié)果都是相互恒等的。 拉格朗日 （ Lagrange） 插值 為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,… ,n ) 的便于使用的插值多項(xiàng)式 P(x),先考察幾種簡(jiǎn)單情形 , 然后再推廣到一般形式 。假設(shè)給定了函數(shù) f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn)的值， ,現(xiàn)要求用線性函數(shù) 近似地代替 f(x)。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為 f(x)的線性插值函數(shù) 。且有 )(0 xl )(1 xl1,0,)(10???? ???kxxxxxlkjj jkjk于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合 1100 )()()( yxlyxlxp ??例 已知 , , 求 101 0 0 ? 11121 ? 115?y解 : 這里 x0=100， y0=10， x1=121， y1=11, 利用線性插值 11100121 10010121100 121)( ???????? xxxp)115(115 ??? py拉格朗日插值多項(xiàng)式 兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式 ,而三 個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。 與推導(dǎo)線性插值的基函數(shù)類似 ,先構(gòu)造一個(gè)特殊 n次多項(xiàng)式 的插值問題 ,使其在各節(jié)點(diǎn) 上滿足 ),1,0)(,( niyx ii ??)(xliix0 1 1( ) 0 , , ( ) 0 , , ( ) 0 , , ( )) 0(1kkk k k k k k nll x l x l xx lx??? ? ? ?????????)(0)(1)(kikixlkiik ?即 由條件 ( )知 , 都是 n次 的零點(diǎn) ,故可設(shè) 0)( ?ik xl ki ? nkk xxxxx , 1110 ?? ??)(xlk)())(())(()( 1110 nkkkk xxxxxxxxxxAxl ?????? ?? ??其中 為待定常數(shù)。 事實(shí)上 ， 由于每個(gè)插值基函數(shù) 都是 n次值多項(xiàng)式 ,所以他們的線性組合 ),1,0)(( nkxl k ??),2,1,0()()( nixfxP ii ???nn yxlyxlyxlxP )()()()( 1100 ???? ?),1,0)(( nkxl k ?????nkkk yxlxP0)()(是次數(shù)不超過 n次的多項(xiàng)式 , 稱形如（ ）式的插 值多項(xiàng)式為 n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。 ttxxxxjkj???? j = 0, … , k 1, k + 1, … , n 輸入 ( xi,yi) , n i= 0,1 , … ,n 0 ? y 0 ? t 1 =t k = n ? 輸 出 y y+ t ? yk ? y k +1 ? k n y 拉格朗日插值算法實(shí)現(xiàn) x0x1 xixi+1 xn1 xn y=f(x) y=p(x) a b 在插值區(qū)間 ?a, b?上用 插值多項(xiàng)式 p(x)近似代替 f(x), 除了在插值節(jié)點(diǎn) xi上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。 插值多項(xiàng)式的誤差 定理 設(shè) f(x)在 ?a, b?有 n+1階導(dǎo)數(shù)， x0, x1,…, xn 為 ?a, b?上 n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn) , p(x)為滿足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的 n 次插值多項(xiàng)式，那么對(duì)于任何 x ? ?a, b?有 插值余項(xiàng) 其中 a?b 且依賴于 x ? ?0011( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ,nn iin x x x x x x ax x x b?? ??? ? ? ? ? ? ??證明 ( 略 ) ( 1 )1()( ) ( ) ( )(1())nnfR x f x p xnx? ???? ? ? ?對(duì)于線性插值 ， 其誤差為 對(duì)于拋物插值 （ 二次插值 ） ， 其誤差為 ? ?011( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2R x f x P x f x x x x a b????? ? ? ? ? ?? ?baxxxxxxfxPxfxR ,)())()((61)()()( 210 ?????????? ??( 1 )11n1m a x | ( ) | , | ( ) | | ( ) | , ( 1 ) !nna x bnnf x MMR x xn??????????若 則例 已知 =100, =121, 用線性插值估計(jì) 在 x=115時(shí)的 截?cái)嗾`差 xxf ?)(0x1x解 : 由插值余項(xiàng)公式知 )()(21)(1 xfxR ?????2341)( ????? xxf))((81)( 10231 xxxxxR ??????因?yàn)? )121115)(100115(81)115( 231 ??????R? ?231 2 1,1 0 0m a x)12 111 5)(10 011 5(81 ??????? ??)1 2 11 1 5)(1 0 01 1 5(1081 3 ????? ? 3 ????? ?例 已知 x0=100, x1=121, x2=144,當(dāng)用拋物插值求 在 x=115時(shí)的近似值，估計(jì)其的截?cái)嗾`差 0 0 1 )1 4 41 1 5)(1 2 11 1 5)(1 0 01 1 5(161)1 1 5()1 4 4)(1 2 1)(1 0 0(161)())()()((61)(52252210)3(2?????????????????RxxxxxRxxxxxxfxR ?解 ()f x x?0 2 0 1122 0 1 20 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 5 ( 1 1 5 ) 1 0 . 7 7 2 7 5 6x x x x x x x xx x x xp x y y yx x x x x x x x x x x xp? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ??= 2583)( ????? xxf∵ 例 設(shè) f(x)=x4, 用余項(xiàng)定理寫出節(jié)點(diǎn) 1, 0, 1, 2的三次插值多項(xiàng)式 解 : 根據(jù)余項(xiàng)定理 ( 4 )0 1 2 3432()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4!( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( ) 2 2ff x p x x x x x x x x xx p x x x x xp x x x x?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?167。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就是牛頓插值多項(xiàng)式。 )())(()()( 1101 ?? ????? nnnn xxxxxxaxNxN ?000][][],[xxxfxfxxf??? f[x0,x](x x0) = f(x) f(x0) f(x) + f[x0,x](x x0) =f(x0) 101001],[],[],[xxxxfxxfxxxf???f[x1,x0,x](xx1) =f[x0,x]f[x1,x0] f[x0,x] + f[x1,x0,x](xx1) = f[x1,x0] f(x) + (x x0) f[x1,x0] =f(x0) + (x x0) (xx1) f[x1,x0,x] 牛頓插值公式 (另一種推導(dǎo)方法） f(x)=f(x0)+(x x0)f[x1,x0]+(x x0)(xx1)f[x1,x0,x]