高等代數(shù)張禾瑞版教案-第3章行列式-展示頁
2025-04-26 12:50本頁面
【正文】 元素乘以同一數(shù)k后，加到第i行(ij)的對(duì)應(yīng)元素上，我們得到行列式 D’= .由命題 D’=D+D此處 D= .D的第i行與第j列成比例；由推論 ， D=0。 證 D的每一項(xiàng)可以寫成 a…(b+c)…anjn的形式，它的符號(hào)是（—1）p（j1j2…jn）.去掉括弧，得a1j1…（bij1+cij1）…anjn=a1j1…biji…anjn+a1j1…ciji…anjn.但一切項(xiàng)a1j1…biji…jn附以原有符號(hào)后的和等于行列式D1= ，一切項(xiàng)a…c…a附以原有符號(hào)后的和等于行列式D= .因此 D=D+D.命題 顯然可以推廣到第i行（列）的元素是m項(xiàng)的和的情形（m179。命題 設(shè)行列式D的第i行的所有元素都可以表成兩項(xiàng)的和： D= 那么D等于兩個(gè)行列式D與D的和，其中D的第i行的元素是b,b,…,b,D的第i行的元素是c,c,…,c，而D與D的其它各行都和D的一樣。 證 設(shè)行列式D的第i行與第j行（i≠j）的對(duì)應(yīng)元素成比例。 推論 如果一個(gè)行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么這個(gè)行列式等于零。那么D的第i行的元素是 ka,ka,…,ka.D的每一項(xiàng)可以寫作 a…a…a. (6)D中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)可以寫作 a…（ka）…a= k a…a…a. (7) (6)在 D中的符號(hào)與（7）在D中的符號(hào)都是（1）。 命題 把一個(gè)行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù)k，等于以數(shù)k乘這個(gè)行列式。 交換行列式兩列的情形。并注意到p（1…j…i…n）是一奇數(shù)，（5）在D中的符號(hào)是 （1）=（1）因此（5）在D和D中的符號(hào)相反。D中的符號(hào)是（1）。反過來，D的每一項(xiàng)也是D的一項(xiàng)，并且D的不同項(xiàng)對(duì)應(yīng)著D的不同項(xiàng)。 證 設(shè)給定行列式 D=交換D的第I行與第j行得 D=(旁邊的i和j表示行的序數(shù))。于是有 命題 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。反過來，D’的任意一項(xiàng)也是D的一項(xiàng)，并且D中不同的兩項(xiàng)顯然也是D’中不同的兩項(xiàng)。這一項(xiàng)的元素位于D的不同的行和 不同的列，所以位于D的轉(zhuǎn)置行列式D’的不同的行和不同的列，因而也是D’的一項(xiàng)。引理被證明。根據(jù)行列式的定義，乘積（4），因而乘積（3）的符號(hào)是（1） 。因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是一個(gè)偶數(shù)，所以（s’+s）(s+t)=(s’s)+(t’t)是一個(gè)偶數(shù)。那么這一項(xiàng)在行列式中的符號(hào)是（1）,s=p( ii…i),t=p( jj...j).證 如果交換乘積（3）中某個(gè)因子的位置，那么（3）的元素的第一個(gè)下標(biāo)和第二個(gè)下標(biāo)所成的排列同時(shí)經(jīng)過一次對(duì)換。因此D=acfhadeh+bdegbcfg. 轉(zhuǎn)置行列式： 設(shè) D=..如果把D的行變?yōu)榱?，就得到一個(gè)新的行列式D’=D’叫做D的轉(zhuǎn)置行列式。與上面四項(xiàng)對(duì)應(yīng)的排列依次是1234，1324，4321，4231。特別，當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式|a|就是數(shù)a.例1 我們看一個(gè)四階行列式 D=.根據(jù)定義，D是一個(gè)4！=24項(xiàng)的代數(shù)。 定義 用符號(hào) 表示的 n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能的取自（1）的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積a a… a…a符號(hào)為（1） ,也就是說，當(dāng)j j…j是偶排列時(shí)，這一項(xiàng)的符號(hào)為正，當(dāng)j j…j是奇排列時(shí)，這一項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)。因此，一切位于（1）的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積一共有n!個(gè)。這種乘積可以寫成下面的形式：a a … a, ?。?）這里下標(biāo)j,j,...,j是1，2，…，n這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列。教學(xué)內(nèi)容： 行列式的定義：任意取n個(gè)數(shù)a（i=1,2,…,n。 n 階 行 列 式教學(xué)目的： 理解和掌握n階行列式的定義和性質(zhì)。 能熟練地應(yīng)用行列式的定義和性質(zhì)來計(jì)算和證明有關(guān)的行列式。j=1,2,…,n）
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