【正文】 4 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 事件的概率 (probability) 1. 事件 A的概率是一個介于 0和 1之間的一個值 ，用以度量試驗完成時事件 A發(fā)生的可能性大小 ， 記為 P(A) 2. 當試驗的次數(shù)很多時 ， 概率 P(A)可以由所觀察到的事件 A發(fā)生次數(shù) (頻數(shù) )的比例來逼近 ? 在相同條件下 ， 重復進行 n次試驗 ， 事件 A發(fā)生了 m次 ， 則事件 A發(fā)生的概率可以寫為 pnmAAP ??? 重復試驗次數(shù) 發(fā)生的次數(shù)事件)(5 15 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 事件的概率 ?例如 ， 投擲一枚硬幣 ， 出現(xiàn)正面和反面的頻率 ， 隨著投擲次數(shù) n 的增大 ， 出現(xiàn)正面和反面的頻率 穩(wěn)定在 1/2左右 試驗的次數(shù) 正面 /試驗次數(shù) 0 25 50 75 100 125 5 16 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 概率的性質和運算法則 5 17 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 互斥事件及其概率 (mutually exclusive events) ? 在試驗中 ， 兩個事件有一個發(fā)生時 ， 另一個就不能發(fā)生 ， 則稱事件 A與事件 B是 互斥事件 (沒有公共樣本點 ) A B ? 互斥事件的文氏圖 (Venn diagram) 5 18 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 互斥事件及其概率 (例題分析 ) 【 例 】 在一所城市中隨機抽取 600個家庭 ， 用以確定擁有個人電腦的家庭所占的比例 。 貪得無厭的結果往往是一貧如洗 。 前者把買彩當作 “ 押寶” 、 “ 投資 ” ；而后者只是作為一種業(yè)余愛好 ， 作為增添生活情趣的方式之一 ?彩票投資中風險和收益并存 ， 眾多彩迷利用閑暇機會紛紛入市 ， 但在彩票市場上不會人人都賺 ， 只有一部分甚至一小部分人大賺 ， 而絕大多數(shù)人則是要賠的 ， 這是彩市不變的法則 5 4 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 統(tǒng)計應用 買彩不是“押寶” ?彩票只是一種數(shù)字游戲 ， 是社會籌集閑散資金的一種方式 ， 而不是金錢投資 ， 更不是賭博 ?一位彩民把發(fā)財?shù)膲艄伦⒁粩S地 “ 押 ” 在買彩上， 企盼著中一回大獎 ， 賺上一筆 ， 發(fā)大財 。5 1 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 數(shù)學定律不能百分之百確切地用在 現(xiàn)實生活里；能百分之百確切地用 數(shù)學定律描述的，就不是現(xiàn)實生活 Alber Einstein 5 2 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 第 5 章 概率與概率分布 作者：中國人民大學統(tǒng)計學院 賈俊平 5 3 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 統(tǒng)計應用 買彩不是“押寶” ?山東的一打工者為了碰運氣 ， 半個小時花去了 1000元錢 ， 買了 500張即開型福利彩票 ， 結果也沒撞上大獎 ?贏彩的人總是少數(shù) 。 一個博彩投機者和一個博彩業(yè)余愛好者相比 ， 他們的動機以及在彩票市場上所花費的時間是不完全一樣的 。 但事與愿違 ， 他買了不少 ， 卻中的不多 ， 結果生活越來越窘迫 ?博彩者必須記住一條真理：適可而止 。 有人曾做過統(tǒng)計 ， 最賺錢的彩票 ， 中彩的概率最高是 1/500萬 ， 有的甚至達到 1/1000萬 。 定義如下事件 A： 600個家庭中恰好有 265個家庭擁有電腦 B：恰好有 100個家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對事件是否為互斥事件 ， 并說明你的理由 (1) A與 B (2) A與 C (3) B與 C 5 19 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 互斥事件及其概率 (例題分析 ) 解： (1) 事件 A與 B是互斥事件 。 因為張三 也許正是這 265個家庭之一 ， 因而事 件 A與 C有可能同時發(fā)生 (3) 事件 B與 C不是互斥事件 。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？ 解 ：用 H表示正面 ， T表示反面 ， 下標 1和 2表示硬幣 1 和硬幣 2。 因為僅當 H1T2或 T1H2發(fā)生時 ， 才會恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生 ， 而事件 H1T2或T1H2又為互斥事件 ， 兩個事件中一個事件發(fā)生或者另一個事件發(fā)生的概率便是 1/2(1/4+1/4)。求出其點 數(shù)為 1點或 2點或 3點或 4點或 5點或 6點的概率 5 24 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 概率的性質 (小結 ) 1. 非 負性 ? 對任意事件 A， 有 P ?0 2. 規(guī)范性 ? 一個事件的概率是一個介于 0與 1之間的值 ， 即對于任意事件 A， 有 0 ? P ? 1 3. 必然事件的概率為 1；不可能事件的概率為 0。 A的補事件 (或稱逆事件 )， 記為 A 。 它是由屬于事件 A或事件 B的所有樣本點組成的集合 ， 記為 A∪ B或 A+B B A ? A∪ B 5 28 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 廣義加法公式 (事件的交或積 ) A B ? A∩B ? 事件 A與事件 B同時發(fā)生的事件 ， 稱為事件 A與事件 B的交 ， 它是由屬于事件 A也屬于事件 B的所有公共樣本點所組成的集合 ， 記為 B∩A 或 AB 5 29 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 廣義加法公式 (例題分析 ) 解： 設 A =員工離職是因為對工資不滿意 B =員工離職是因為對工作不滿意 依題意有： P(A)=； P(B)=； P(AB)= P(A∪ B)= P(A)+ P(B) P(AB)=+= 【 例 】 一 家計算機軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項調查 ， 發(fā)現(xiàn)在最近兩年內離職的公司員工中有 40%是因為對工資不滿意 ， 有 30%是因為對工作不滿意 ， 有15%是因為他們對工資和工作都不滿意 。 求： (1)已知某顧客購買食品的條件下 ， 也購買其他商品的概率 (2)已知某顧客購買其他商品的條件下 ， 也購買食品的概率 5 33 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 條件概率 (例題分析 ) 【 例 】 一家電腦公司從兩個供應商處購買了同一種計算機配件 ， 質量狀況如下表所示 從這 200個配件中任取一個進行檢查 ， 求 (1) 取出的一個為正品的概率 (2) 取出的一個為供應商甲的配件的概率 (3) 取出一個為供應商甲的正品的概率 (4) 已知取出一個為供應商甲的配件 ， 它是正品的概率 甲乙兩個供應商提供的配件 正品數(shù) 次品數(shù) 合計 供應商甲 84 6 90 供應商乙 102 8 110 合計 186 14 200 IBM 5 34 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 條件概率 (例題分析 ) 解： 設 A = 取出的一個為正品 B = 取出的一個為供應商甲供應的配件 (1) (2) (3) (4) 0 01 8 6)( ??AP 0 090)( ??BP)( ??ABP )( )()( ??? BP ABPBAP5 35 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 乘法公式 (multiplicative law) 1. 用來計算兩事件交的概率 2. 以條件概率的定義為基礎 3. 設 A， B為兩個事件 ， 若 P(B)0， 則 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A) 5 36 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 乘法公式 (例題分析 ) 【 例 】 一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有 75%的住戶訂閱了該報紙的日報 ， 而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為 50%。 P(B|A)= = 5 37 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 獨立事件與乘法公式 (例題分析 ) 【 例 】 從一個裝有 3個紅球 2個白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回 )， 求連續(xù)兩次摸中紅球的概率 解： 設 A = 第 2次摸到紅球 B = 第 1次摸到紅球 依題意有 ： P(B)=3/5； P(A|B)=2/4 P(AB)=P(A) P(B) 3. 若事件 A1,A2,?,An相互獨立 ， 則 P(A1, A2, ?, An)= P(A1) ? 求接下來的兩個游客都照相留念的概率 解： 設 A = 第一個游客照相留念 B = 第二個游客照相留念 兩個游客都照相留念是兩個事件的交。 P(B)= = 5 40 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 獨立事件與乘法公式 (例題分析 ) 【 例 】 假定我們是從兩個同樣裝有 3個紅球 2個白球的盒子摸球 。 求連續(xù)兩次摸中紅球的概率 解： 設 A = 從第一個盒子里摸到紅球 B = 從第二個盒子里摸到紅球 依題意有 ： P(A)=3/5； P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A) 考試結束后發(fā)現(xiàn)他答對了 ， 那么他知道正確答案的概率是多大呢 ？ 解： 設 A = 該考生答對了 ， B = 該考生知道正確答案 依題意有 ： P(B)=1/2； P(?B )=11/2 = 1/2 P( A|?B ) =1/4； P(A|B)=1 4121121121)()()()()()()( ????????BAPBPBAPBPBAPBPABP5 46 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 離散型概率分布 隨機變量 離散型隨機變量的概率分布 離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差 幾種常用的離散型概率分布 5 47 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 隨機變量 5 48 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 隨機變量 (random variables) 1. 一次試驗的結果的數(shù)值性描述 2. 一般 用 X， Y， Z 來表示 3. 例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量 4. 根據取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量 5 49 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 離散型隨機變量 (discrete random variables) 1. 隨機變量 X 取有限個值或所有取值都可以逐個列舉 出來 x1 , x2， … 2. 以確定的概率取這些不同的值 3. 離散 型隨機變量的一些例子 試驗 隨機變量 可能的取值 抽查 100個 產品 一家餐館營業(yè)一天 電腦公司一個月的銷售 銷售一輛汽車 取到次品的個數(shù) 顧客數(shù) 銷售量 顧客性別 0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性為 0,女性為 1 5 50 統(tǒng)計學STATISTICS (第二版 ) 連續(xù)型隨機變量 (continuous random variables) 1. 可以取一個或多個區(qū)間中任何值 2. 所有可能取值不可以逐個列舉出來 ， 而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內的任意點 3. 連續(xù)型隨機變量的一些例子 試驗 隨機變量 可能的取值 抽查一批電子元件 新建一座住宅樓 測量一個產品的 長度